Add proof

01-Wiederholung.tex

@@ -56,7 +56,7 @@ und „Eigenraum“.
   gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
 \end{defn}
 
-Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In
+Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist.  In
 der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
 auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
 charakteristischen Polynoms

02-Jordan.tex

@@ -138,7 +138,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 
 \begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
-  es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$
+  es sei $f ∈ \End(V)$.  Nenne den Endomorphismus $f$
   \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$
   existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist.  Die kleinste
   solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von
@@ -258,8 +258,83 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  \video{2-2} beweist ein vorbereitendes Lemma.  \sideremark{Vorlesung 3}Der
+  Wir zerlegen den Beweis in mehrere Schritte.
-  Beweis des Satzes wird dann in \video{3-1} beendet.
+
+  \bigskip\noindent\emph{Schritt 1 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Wähle
+  einen Eigenvektor $\vec v_1$ von $f$ zum Eigenwert $λ$ und ergänze zu einer
+  Basis $B = \{\vec v_1, \vec v_2, …, \vec v_n\}$.  Dann ist die zugehörende
+  Matrix von der Form
+  $$
+  \Mat^B_B (f) = \left(
+    \begin{array}{l|l}
+      λ & * \\
+      \hline
+      0 & A
+    \end{array}\right).
+  $$
+  Es ist $χ_f(t) = (t-λ)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache
+  Nullstelle des Polynoms $χ_A$.
+
+
+  \bigskip\noindent\emph{Schritt 2 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Ich
+  werde jetzt per Induktion nach $r$ zeigen, dass es eine Basis $B$ von $V$
+  gibt, sodass die zu $f$ gehörende Matrix die folgende Form hat,
+  $$
+  \Mat^B_B (f) = \left(
+    \begin{array}{lll|l}
+      λ & & * & \\
+        & \ddots & & * \\
+      0 & & λ \\
+      \hline
+        & 0 & & A
+    \end{array}\right),
+  $$
+  dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $r ⨯ r$ und die
+  Matrix $A$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor.
+
+  \begin{description}
+    \item[Induktionsstart] Im Fall $r = 1$ erfüllt die in Schritt 1 gefundene
+    Basis bereits alle Bedingungen.
+
+    \item[Induktionsschritt] Sei jetzt $r > 1$ und sei die Behauptung für alle
+    Endomorphismen und Eigenwerte mit algebraischer Multiplizität kleiner $r$
+    bereits bewiesen.  Betrachte wieder die Basis $B$ aus Schritt 1, die diesmal
+    aber vielleicht noch nicht die gesuchten Eigenschaften hat.  Betrachte auch
+    den Untervektorraum
+    $$
+    W := \langle \vec v_2, …, \vec v_n \rangle ⊂ V.
+    $$
+    Die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen liefert eine
+    Endomorphismus $g ∈ \End(W)$, der bezüglich der Basis $B_W := \vec v_2, …,
+    \vec v_n ∈ W$ die Matrix $A$ hat.  Per Induktionsannahme gibt es aber auch
+    eine Basis $B'_W := \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ W$, sodass
+    $$
+    \Mat^{B'_W}_{B'_W} (g) = \left(
+      \begin{array}{lll|l}
+        λ & & * & \\
+          & \ddots & & * \\
+        0 & & λ \\
+        \hline
+          & 0 & & A'
+      \end{array}\right),
+    $$
+    dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $(r-1) ⨯ (r-1)$ und
+    die Matrix $A'$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor.  Man rechne jetzt nach, dass
+    $B' = \vec v_1, \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ V$ eine Basis von $V$ ist und dass
+    $$
+    \Mat^{B'}_{B'} (f) = \left(
+      \begin{array}{l|l}
+        λ & * \\
+        \hline
+        0 & \Mat^{B'_W}_{B'_W} (g)
+      \end{array}\right)
+    $$
+    ist.  Damit hat $\Mat^{B'}_{B'} (f)$ die gesuchte Form.
+  \end{description}
+
+
+  \bigskip\noindent\emph{Schritt 3 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:}
+  \sideremark{Vorlesung 3}Der Beweis des Satzes wird in \video{3-1} beendet.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}\label{kor:2-2-11}%
@@ -385,7 +460,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
   In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$.  Dann gilt
   Folgendes.
   \begin{enumerate}
-  \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$
+  \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$.
     
   \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔
     f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
@@ -409,7 +484,7 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
 \begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}]
   \video{3-4}.  Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$
   auf Repräsentantenniveau zu definieren.  Was müssen Sie genau zeigen, um
-  Wohldefiniertheit zu erhalten.  Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
+  Wohldefiniertheit zu erhalten?  Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
   in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle?
 \end{proof}
   
@@ -463,7 +538,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
 \begin{bemerkung}
   In der Situation von Definition~\ref{def:dualePart}, überlegen Sie sich, dass
   $P^*$ wieder eine Partition von $n$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass für
-  jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part}
+  jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt.  Abbildung~\ref{fig:part}
   kann ihnen dabei helfen.
 \end{bemerkung}
 
@@ -534,7 +609,7 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
   
   \paragraph{Schritt 1.2, Induktionsschritt, Konstruktion der $p$.ten Spalte}
 
-  Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die
+  Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert.  Die
   Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit $\vec w_1,
   …, \vec w_a$.  Beachte, dass die Abbildung
   \[
@@ -734,7 +809,7 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
   hat.
 \end{enumerate}
 
-Wie wir oben gesehen haben, ist 
+Wie wir oben gesehen haben, ist
 $$
 \mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}
 $$

09-Orthogonal-Unitary.tex

@@ -335,7 +335,7 @@ einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum macht.
   und die \emph{kanonische Inklusion}\index{kanonische Inklusion eines
     Vektorraum in seine Komplexifizierung}
   \[
-    ι : V → V^{\bC}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
+    ι : V → V^{ℂ}, \quad \vec{v} ↦ \bigl(\vec{v}, \vec{0}\bigr).
   \]
   Mit Hilfe der injektiven Abbildung $ι$ fassen wir den Vektorraum $V$ als
   Teilmenge von $V^{ℂ}$ auf; gegeben $\vec{v} ∈ V$ nennen wir $ι(\vec{v})$

11-Hauptachsen.tex

@@ -147,9 +147,9 @@ Matrix positive definit ist.
   \[
     A =
     \begin{pmatrix}
-      a_{11} & \ldots & a_{n1} \\
+      a_{11} & … & a_{n1} \\
       \vdots & & \vdots \\
-      a_{n1} & \ldots & a_{nn}
+      a_{n1} & … & a_{nn}
     \end{pmatrix}
     ∈ \Mat(n⨯ n, k)
   \]
@@ -158,9 +158,9 @@ Matrix positive definit ist.
   \[
     A_m :=
     \begin{pmatrix}
-      a_{11} & \ldots & a_{m1} \\
+      a_{11} & … & a_{m1} \\
       \vdots & & \vdots \\
-      a_{m1} & \ldots & a_{mm}
+      a_{m1} & … & a_{mm}
     \end{pmatrix}
     ∈ \Mat(m⨯ m, k).
   \]

12-Anwendungen.tex

@@ -102,11 +102,11 @@ Wir betrachten die folgende, symmetrische $n⨯n$-Matrix
 \[
   A =
   \begin{pmatrix}
-    f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & \cdots & \frac{1}{2}·f_{1n} \\
+    f_{11} & \frac{1}{2}·f_{12} & & ⋯ & \frac{1}{2}·f_{1n} \\
     \frac{1}{2}·f_{12} & f_{22} & \ddots & & \vdots \\
     \vdots & \ddots & \ddots \\
     & & & f_{n-1,n-1} & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} \\
-    \frac{1}{2}·f_{1n} & \cdots & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn}
+    \frac{1}{2}·f_{1n} & ⋯ & & \frac{1}{2}·f_{n-1,n} & f_{nn}
   \end{pmatrix}
 \]
 und den Vektor

15-tensor.tex

@@ -119,7 +119,7 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht.
   Beweisen Sie, dass der Tensor
   $\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner
   Tensor ist!  Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$,
-  $\vec{v}_2 ∈ ℝ^2$, so dass die Gleichheit
+  $\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, so dass die Gleichheit
   $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt!  Finden Sie Vektoren, so
   dass die Gleichheit nicht gilt!
 \end{aufgabe}

16-tensoralgebra.tex

@@ -165,7 +165,7 @@ jeweils ohne Beweis die wesentlichen Punkte auf.
 \label{sec:tAlg2}
 
 Gegeben einen Körper $k$, einen $k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$
-und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir wie folgt eine Abbildung
+und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir wie folgt eine Abbildung
 \[
   \begin{matrix}
     m_{ab} : & V^{⊗ a} ⨯ V^{⊗ b} & → & V^{⊗ (a+b)} \\

17-wedge.tex

@@ -223,7 +223,7 @@ verzichte ich darauf.
 
 Ganz analog zur Konstruktion der Tensoralgebra in Abschnitt~\ref{sec:tAlg2}
 definieren wir die äußere Algebra.  Konkret: Gegeben einen Körper $k$, einen
-$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir
+$k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$ und $b ∈ ℕ⁺$, definieren wir
 wie folgt eine Abbildung
 \[
   \begin{matrix}
@@ -450,11 +450,11 @@ ist.  Mit Hilfe des Dachproduktes können wir alle $a_i$ verstehen!
   \[
     B = (b_{ij}) =
     \begin{pmatrix}
-      a_{11}-t & a_{12} & \cdots & & a_{n1} \\
+      a_{11}-t & a_{12} & ⋯ & & a_{n1} \\
       a_{21} & \ddots & \ddots & & \vdots \\
       \vdots & \ddots \\
       & & & & a_{(n-1)n}\\
-      a_{n1} & \cdots & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t
+      a_{n1} & ⋯ & & a_{n(n-1)} & a_{nn}-t
     \end{pmatrix}
   \]
   Das charakteristische Polynom ist dann die Determinante von $B$, also

18-dehn.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 \marginpar{Vorlesung 24}Auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongress im
 August 1900 in Paris hielt David
 Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
-    Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Göttingen)
+    Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in Göttingen)
   war ein deutscher Mathematiker.} einen Vortrag, in dem er eine thematisch
 breit gefächerte \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme}{Liste
   von 23 ungelösten mathematischen Problemen} präsentierte.  Obwohl sein Vortrag
@@ -21,9 +21,9 @@ In
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertsche_Probleme#Hilberts_drittes_Problem}{Hilbert's
   drittem Problem} geht es um folgende Frage: gegeben sind zwei
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder}{Polyeder} $P_1$ und $P_2$ im Raum
-$\bR^3$.  Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein
+$ℝ³$.  Ich möchte den ersten Polyeder $P_1$ durch gerade Schnitte in ein
 Puzzle zerlegen, aus dem sich der zweite Polyeder $P_2$ zusammensetzen lässt.
-Kann ich entscheiden, ob das möglich ist? In Schlausprech frage ich, ob die
+Kann ich entscheiden, ob das möglich ist?  In Schlausprech frage ich, ob die
 Polyeder $P_1$ und $P_2$ \emph{zerlegungsgleich}\index{Zerlegungsgleichheit}
 sind.
 
@@ -40,7 +40,7 @@ werden hier nur eine Teilantwort diskutieren.  Eines ist von vornherein klar.
   ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge $\Pi$ aller Polyeder.  Die
   Volumenfunktion
   \[
-    \operatorname{vol} : \Pi \to \bR^{\geq 0}
+    \operatorname{vol} : \Pi → ℝ^{≥ 0}
   \]
   ist auf den Äquivalenzklassen konstant.  Man sagt, das Volumen ist eine
   \emph{Invariante}\index{Invariante}.
@@ -61,16 +61,16 @@ mit gleichem Volumen gibt, die aber nicht zerlegungsgleich sind.  Die Invariante
 ``Volumen'' ist also nicht fein genug um Hilbert's Frage vollständig zu
 beantworten.  Aus diesem Grund konstruierte Max
 Dehn\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_Dehn}{Max Wilhelm Dehn} (*
-  13. November 1878 in Hamburg; † 27. Juni 1952 in Black Mountain, North
+  13.  November 1878 in Hamburg; † 27.  Juni 1952 in Black Mountain, North
   Carolina) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.  Er studierte unter
   Anderem an der \href{http://www.uni-freiburg.de}{Albert-Ludwigs-Universität
     Freiburg}.} eine weitere, sehr interessante Invariante, die nicht so
 offensichtlich ist, wie das Volumen.  Die
 \emph{Dehn-Invariante}\index{Dehn-Invariante} ist eine Abbildung
 \[
-  \operatorname{dehn} : \Pi \to V,
+  \operatorname{dehn} : \Pi → V,
 \]
-wobei $V$ ein $\bQ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden.  Die
+wobei $V$ ein $ℚ$-Vektorraum ist, den wir gleich konstruieren werden.  Die
 Invarianteneigenschaft folgt daraus, dass die Dehn-Invariante \emph{additiv}
 ist.  Mit anderen Worten: wenn ein Polyeder $P$ auf beliebige Art in zwei
 Teilpolyeder zerlegt wird, $P = P_1 ∪ P_2$, dann gilt stets die folgende
@@ -84,13 +84,13 @@ Gleichung,
 
 Um den Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte $ℝ$ zuerst als Vektorraum über
 $ℚ$.  Elemente sind zum Beispiel die Zahlen $1$, $\sqrt{2}$ oder die Kreiszahl
-$π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
+$π$.  Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
 
 \begin{bemerkung}
-  Um mit dem $\bQ$-Vektorraum $\bR$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge
+  Um mit dem $ℚ$-Vektorraum $ℝ$ warm zu werden, fragen wir: ist die Menge
-  $\{ 1, \sqrt{2}\}$ $\bQ$-linear unabhängig?  Die Antwort ist ``Nein!''  Denn
+  $\{ 1, \sqrt{2}\}$ $ℚ$-linear unabhängig?  Die Antwort ist ``Nein!'' Denn
   falls es zwischen den Zahlen $1$ und $\sqrt{2}$ eine nicht-triviale
-  $\bQ$-lineare Relation gäbe,
+  $ℚ$-lineare Relation gäbe,
   \[
     p · 1 + q · \sqrt{2} = 0,
   \]
@@ -98,8 +98,8 @@ $π$. Dieser Vektorraum ist natürlich unendlich-dimensional.
   aber schon, dass $\sqrt{2}$ irrational ist.
 \end{bemerkung}
 
-Um jetzt den $\bQ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl
+Um jetzt den $ℚ$-Vektorraum $V$ zu konstruieren, betrachte den von der Zahl
-$π$ erzeugten $\bQ$-Untervektorraum $\langle π \rangle \subset ℝ$. Weiter
+$π$ erzeugten $ℚ$-Untervektorraum $\langle π \rangle ⊂ ℝ$.  Weiter
 betrachten wir den Quotientenvektorraum $\factor{ℝ}{\langle π \rangle}$.  Der
 Vektorraum $V$ von Max Dehn ist dann gleich dem Tensorprodukt,
 \[
@@ -110,23 +110,23 @@ Dies ist ein Tensorprodukt von $ℚ$-Vektorräumen, also selbst ein $ℚ$-Vektor
 
 \subsection{Konstruktion der Invariante}
 
-Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi \to V$
+Als nächstes müssen wir die Abbildung $\operatorname{dehn} : \Pi → V$
-konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P \subset \bR^3$ ein Element des
+konstruieren; wir müssen also jedem Polyeder $P ⊂ ℝ³$ ein Element des
-Vektorraumes $V$ zuordnen.  Sei also ein Polyeder $P$ gegeben. Wir bezeichnen
+Vektorraumes $V$ zuordnen.  Sei also ein Polyeder $P$ gegeben.  Wir bezeichnen
 die Kanten des Polyeders $P$ mit $E_1, …, E_n$ und die Längen der Kanten mit
-$\ell(E_1)$, …, $\ell(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen.  An jeder Kante
+$ℓ(E_1)$, …, $ℓ(E_n)$; dies sind positive reelle Zahlen.  An jeder Kante
 kommen zwei Flächen zusammen, wir bezeichnen den Winkel zwischen den Flächen mit
 $α(E_1)$, …, $α(E_n)$; dabei verwenden wir wie in der Mathematik üblich das
 Bogenmaß.  Nach diesen Vorbereitung definieren wir das die Dehn-Invariante von
 $P$ schließlich als
 \[
-  \operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} \ell(E_k) ⊗ α (E_k).
+  \operatorname{dehn}(P) := \sum_{k=1}^{n} ℓ(E_k) ⊗ α (E_k).
 \]
 Wir werden gleich zeigen, dass dies tatsächlich eine Invariante
-definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
+definiert.  Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
 
 \begin{beobachtung}
-  Kongruente Polyeder haben dieselbe Dehn-Invariante. \qed
+  Kongruente Polyeder haben dieselbe Dehn-Invariante.  \qed
 \end{beobachtung}
 
 % PRISMA
@@ -150,11 +150,11 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
     \foreach \i/\j in {B/C}
     \path[flaeche](\i1)--(\i2)--(\j2)--(\j1)--cycle;
     % sichtbare Kanten zeichnen
-    \path[draw, thick](C2) -- node[above]{$\ell$} (C1) -- (A1) --
+    \path[draw, thick](C2) -- node[above]{$ℓ$} (C1) -- (A1) --
-    node[above]{$\ell$} (A2) -- node[left]{$\ell_1$} cycle;
+    node[above]{$ℓ$} (A2) -- node[left]{$ℓ_1$} cycle;
-    \path[draw, thick](C2) -- node[right]{$\ell_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$\ell_3$} (A2);
+    \path[draw, thick](C2) -- node[right]{$ℓ_2$} (B2) -- node[below, right=.5mm]{$ℓ_3$} (A2);
     % verdeckte Kanten zeichnen
-    \path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$\ell$} (B2)   (B1) -- (C1);
+    \path[draw,dashed](A1) -- (B1) -- node[above]{$ℓ$} (B2) (B1) -- (C1);
     % Winkel zeichnen (im Uhrzeigersinn = Innenwinkel; Werte anpassen, damit es gut aussieht...)
     \pic ["$γ$", draw, angle radius=.4cm, angle eccentricity =
     0.55]{angle=C2--B2--A2};
@@ -169,9 +169,9 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
 \begin{bsp}[Dehn-Invariante eines Prismas]
   Es sei $P$ das in Abbildung~\ref{fig:prisma} gezeigte Prisma.  Dann berechnet sich die Dehn-Invariante als
   \begin{align*}
-    \operatorname{dehn}(P) &= \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} + \ell ⊗ β + \ell ⊗ α + \ell ⊗ γ + \ell_1 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_2 ⊗ \frac{π}{2} + \ell_3 ⊗ \frac{π}{2} \\
+    \operatorname{dehn}(P) &= ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ ⊗ β + ℓ ⊗ α + ℓ ⊗ γ + ℓ_1 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_2 ⊗ \frac{π}{2} + ℓ_3 ⊗ \frac{π}{2} \\
-                           &= \ell ⊗ (β + α + γ)\\
+                           &= ℓ ⊗ (β + α + γ)\\
-                           &= \ell ⊗ π = 0.
+                           &= ℓ ⊗ π = 0.
   \end{align*}
 \end{bsp}
 
@@ -204,7 +204,7 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
   \path[flaeche] (\i1)--(\j1)--(S)--cycle;
   
 % sichtbare Kanten zeichnen
-    \path[draw, thick] (B1) -- (S) -- (C1)   (S) -- (D1);
+    \path[draw, thick] (B1) -- (S) -- (C1) (S) -- (D1);
 % verdeckte Kanten zeichnen
     \path[draw, dashed] (S) -- (A1);
     
@@ -232,52 +232,52 @@ definiert. Vorher aber kommt noch eine triviale Beobachtung und ein Beispiel.
   \end{itemize}
   Nach Umnummerierung können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen,
   dass die Kanten $E_1$, …, $E_b$ grün und dass die Kanten $E_{b+1}$, …, $E_n$
-  schwarz sind.  Jetzt schaue ich mir die Kanten von $P_1$ und $P_2$ an. Dort
+  schwarz sind.  Jetzt schaue ich mir die Kanten von $P_1$ und $P_2$ an.  Dort
   gibt es drei unterschiedliche Arten von Kanten.
   \begin{itemize}
   \item Die grünen Kanten $E_1$, …, $E_b$.  Nach Umnummerierung können wir ohne
     Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Kanten $E_1$, …, $E_a$
     Kanten des Teilpolyeders $P_1$ und dass die Kanten $E_{a+1}$, …, $E_b$
-    Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind.  Wenn wir mit $α^1(E_1)$, …, $α^1(E_a)$
+    Kanten des Teilpolyeders $P_1$ sind.  Wenn wir mit $α¹(E_1)$, …, $α¹(E_a)$
-    und $α^2(E_{a+1})$, …, $α^2(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
+    und $α²(E_{a+1})$, …, $α²(E_b)$ die Winkel der Flächen der Teilpolyeder
     bezeichnen, dann gelten die Gleichungen
     \begin{equation}
       \begin{matrix}
-        α(E_1) = α^1(E_1) & … & α(E_a) = α^1(E_a) \\
+        α(E_1) = α¹(E_1) & … & α(E_a) = α¹(E_a) \\
-        α(E_{a+1}) = α^2(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α^2(E_b)
+        α(E_{a+1}) = α²(E_{a+1}) & … & α(E_b) = α²(E_b)
       \end{matrix}
     \end{equation}
     
   \item Teilstücke von schwarzen Kanten.  Wenn wir die Teilstücke der schwarzen
-    Kante $E_{\bullet}$ mit $E^1_{\bullet}$ und $E^2_{\bullet}$ bezeichnen, dann
+    Kante $E_{•}$ mit $E¹_{•}$ und $E²_{•}$ bezeichnen, dann
-    gilt für die Längen    und für die Winkel
+    gilt für die Längen und für die Winkel
     \begin{equation}
       \begin{aligned}
-        \ell(E_{\bullet}) & = \ell^1(E^1_{\bullet}) + \ell^2(E^2_{\bullet}) \\
+        ℓ(E_{•}) & = ℓ¹(E¹_{•}) + ℓ²(E²_{•}) \\
-        α(E_{\bullet}) & = α^1(E^1_{\bullet}) = α^2(E^2_{\bullet})
+        α(E_{•}) & = α¹(E¹_{•}) = α²(E²_{•})
       \end{aligned}
     \end{equation}
     
   \item Schließlich gibt es noch Kanten, die durch das Zerlegen neu
     hinzugekommen sind.  Eine solche Kante tritt immer zwei mal auf: ein mal in
-    $P_1$ und ein mal in $P_2$.  Wir bezeichnen diese Kanten mit $E^1_{n+1}$,
+    $P_1$ und ein mal in $P_2$.  Wir bezeichnen diese Kanten mit $E¹_{n+1}$,
-    $E^2_{n+1}$, …, $E^1_m$, $E^2_m$.  Es gilt für jeden Index $i > n$
+    $E²_{n+1}$, …, $E¹_m$, $E²_m$.  Es gilt für jeden Index $i > n$
     \begin{equation}
-      \ell^1(E^1_i) = \ell^2(E^2_i) \quad\text{und}\quad α^1(E^1_i) + α^2(E^2_i) = π
+      ℓ¹(E¹_i) = ℓ²(E²_i) \quad\text{und}\quad α¹(E¹_i) + α²(E²_i) = π
     \end{equation}
   \end{itemize}
   Mit diesen Bezeichnungen ist
   \begin{align*}
-    \operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a \ell^1(E_i)\otimes α^1(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\
+    \operatorname{dehn}(P_1) & = \sum_{i=1}^a ℓ¹(E_i)⊗ α¹(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\
-                             & = \sum_{i=1}^a \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^1(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes α^1(E^1_i) \\
+                             & = \sum_{i=1}^a ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ¹(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ α¹(E¹_i) \\
-    \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b \ell^2(E_i)\otimes α^2(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\
+    \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=a+1}^b ℓ²(E_i)⊗ α²(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\
-                             & = \sum_{i=a+1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell^2(E^1_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m \ell^2(E^2_i)\otimes α^2(E^2_i) \\
+                             & = \sum_{i=a+1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ²(E¹_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=n+1}^m ℓ²(E²_i)⊗ α²(E²_i) \\
   \end{align*}
   und deshalb
   \begin{align*}
-    \operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(\ell^1(E^1_i)+\ell^2(E^1_i)\bigr)}_{= \ell(E_i)} \otimes α(E_i) \\
+    \operatorname{dehn}(P_1) + \operatorname{dehn}(P_2) & = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \underbrace{\bigl(ℓ¹(E¹_i)+ℓ²(E¹_i)\bigr)}_{= ℓ(E_i)} ⊗ α(E_i) \\
-                                                        & \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m \ell^1(E^1_i)\otimes \underbrace{\bigl(α^1(E^1_i)+α^2(E^2_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\
+                                                        & \qquad\qquad + \sum_{i=n+1}^m ℓ¹(E¹_i)⊗ \underbrace{\bigl(α¹(E¹_i)+α²(E²_i)\bigr)}_{ = π\text{, also gleich 0 in }\factor{ℝ}{\langle π \rangle}} \\
-                                                        & = \sum_{i=1}^b \ell(E_i)\otimes α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n \ell(E_i) \otimes α(E_i) \\
+                                                        & = \sum_{i=1}^b ℓ(E_i)⊗ α(E_i) + \sum_{i=b+1}^n ℓ(E_i) ⊗ α(E_i) \\
                                                         & = \operatorname{dehn}(P).
   \end{align*}
   Das macht einen einfachen Mathematiker sehr glücklich.

19-ausblick.tex

@@ -11,7 +11,7 @@ mitgenommen haben.
 
 \bigskip
 
-Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium. Bleiben Sie gesund.
+Ich wünsche Ihnen weiterhin viel Erfolg in Ihrem Studium.  Bleiben Sie gesund.
 
 \bigskip
 
@@ -43,7 +43,7 @@ langfristigen Auswirkungen am ehesten mit denen der
 
 In dieser Situation erscheint mir unsere Gesellschaft als überfordert.  Sie
 wirkt unfähig oder unwillig, die unausweichlichen Änderungen aktiv zu
-gestalten. Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei;
+gestalten.  Unser Bildungssystem trägt nach meinem Eindruck wenig Positives bei;
 es scheint in weiten Teilen bemüht, die Änderungen der Welt so lang als möglich
 zu ignorieren.  Es gilt aber der alte Satz: Was ich nicht verstehe, kann ich
 nicht gestalten!  Was ich nicht verstehe, macht mir Angst!
@@ -72,6 +72,6 @@ Vielleicht schauen Sie sich auch die praktischen Kurse von
 \bigskip
 
 Es ist sicher keine gute Idee, zu warten, bis Ihnen die Universität Freiburg
-einen mundgerechten Kurs anbietet. Legen Sie los!
+einen mundgerechten Kurs anbietet.  Legen Sie los!
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2

LineareAlgebra2.tex

@@ -123,7 +123,7 @@ korrigieren schnellstmöglich!
 
 Es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos und anderem.
 Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte.  Wir fügen gerne einen
-Link in den Text ein. Vielleicht hören Sie sich auch einmal unseren
+Link in den Text ein.  Vielleicht hören Sie sich auch einmal unseren
 \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/kg4nYgnEiJS35Fd}{experimentellen
 Podcast} an?
 

stdPreamble.tex

@@ -50,7 +50,7 @@
 % Sloppy formatting -- often looks better
 \sloppy
 
-% Changes the layout of descriptions and itemized lists. The indent specified in
+% Changes the layout of descriptions and itemized lists.  The indent specified in
 % the original amsart style is too much for my taste.
 \setdescription{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
 \setitemize[1]{labelindent=\parindent, leftmargin=2\parindent}
@@ -59,129 +59,129 @@
 %
 % Input characters
 %
-\newunicodechar{α}{\ensuremath{\alpha}}
+\newunicodechar{α}{\ensuremath{α}}
-\newunicodechar{β}{\ensuremath{\beta}}
+\newunicodechar{β}{\ensuremath{β}}
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+\newunicodechar{χ}{\ensuremath{χ}}
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+\newunicodechar{ε}{\ensuremath{ε}}
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+\newunicodechar{η}{\ensuremath{η}}
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+\newunicodechar{ι}{\ensuremath{ι}}
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+\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{ψ}}
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+\newunicodechar{↦}{\ensuremath{↦}}
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+\newunicodechar{∈}{\ensuremath{∈}}
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+\newunicodechar{∖}{\ensuremath{∖}}
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+\newunicodechar{°}{\ensuremath{°}}
 \newunicodechar{…}{\ifmmode\mathellipsis\else\textellipsis\fi}
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+\newunicodechar{⋯}{\ensuremath{⋯}}
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+\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{⇒}}
 
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+\newunicodechar{⁰}{\ensuremath{⁰}}
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 %
@@ -227,7 +227,7 @@
 \DeclareMathOperator{\red}{red}
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@@ -237,30 +237,30 @@
 \DeclareMathOperator{\Frob}{Frob}
 
 % Sheaves
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@@ -275,32 +275,32 @@
 \newcommand{\cV}{\mathcal V}
 
 % Blackboard Bold Symbols
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 % Sans serif symbols
 \newcommand{\aB}{{\sf B}}
@@ -343,15 +343,15 @@
 \newtheorem{setting}[thm]{Setting}
 \newtheorem{warning}[thm]{Warning}
 
-% Numbering of equations. Number equation subordniate to theorems.
+% Numbering of equations.  Number equation subordniate to theorems.
 \numberwithin{equation}{thm}
 
-% Style for enumerated lists. The following makes sure that enumerated lists are
+% Style for enumerated lists.  The following makes sure that enumerated lists are
 % numbered in the same way as equations are.
 \setlist[enumerate]{label=(\thethm.\arabic*), before={\setcounter{enumi}{\value{equation}}}, after={\setcounter{equation}{\value{enumi}}}}
 
 % Shorthand notations
-\newcommand{\into}{\hookrightarrow}
+\newcommand{↪}{↪}
 \newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow}
 \newcommand{\wtilde}{\widetilde}
 \newcommand{\what}{\widehat}
@@ -374,4 +374,4 @@
 \newcommand\CounterStep{\addtocounter{thm}{1}\setcounter{equation}{0}}
 
 % factor - quotient groups
-\newcommand{\factor}[2]{\left. \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}
+\newcommand{\factor}[2]{\left.  \raise 2pt\hbox{$#1$} \right/\hskip -2pt\raise -2pt\hbox{$#2$}}