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36843a3041
1
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
vendored
1
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
vendored
@ -18,3 +18,4 @@ Quotientenvektorraums
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.te
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Erzeugendensystem
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Quotientenvektorräume
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Repräsentantenniveau
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1
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
1
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -6,3 +6,4 @@
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||||
{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QFür jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bestimme den Hauptraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zum Eigenwert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q — Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität” ) sagt, wie das geht: der Hauptraum ist gegeben als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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||||
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2020 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
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||||
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt ssec:pjnf.\\E$"}
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||||
@ -23,10 +23,9 @@ auch eine Menge Videos auf
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\href{https://www.youtube.com/results?search_query=jordansche+normalform}{YouTube}.
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\begin{defn}[Jordanblock]
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||||
Es sei $k$ ein Körper, $λ ∈ k$ ein Körperelement und $n ∈ ℕ$ sei eine
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Zahl. Der \emph{$(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der
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||||
Diagonalen}\index{Jordanblock} ist die $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$
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mit
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||||
Es sei $k$ ein Körper, $λ ∈ k$ ein Körperelement und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl.
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||||
Der \emph{$(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der
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||||
Diagonalen}\index{Jordanblock} ist die $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$ mit
|
||||
$$
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||||
a_{ij} =
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\begin{cases}
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||||
@ -63,10 +62,10 @@ auch eine Menge Videos auf
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\end{bsp}
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\begin{defn}[Jordansche Normalform]
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||||
Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix
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||||
$A = (a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform},
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||||
falls $A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und
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||||
alle anderen Blöcke gleich Null sind.
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||||
Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A =
|
||||
(a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform}, falls
|
||||
$A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und alle
|
||||
anderen Blöcke gleich Null sind.
|
||||
\end{defn}
|
||||
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||||
\begin{bsp}
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||||
@ -108,11 +107,11 @@ auch eine Menge Videos auf
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Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen.
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\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}
|
||||
\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}%
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||||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
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||||
es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis
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||||
$\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$
|
||||
Jordansche Normalform hat.
|
||||
$\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche
|
||||
Normalform hat.
|
||||
\end{satz}
|
||||
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||||
\begin{notation}
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||||
@ -147,7 +146,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
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\end{defn}
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||||
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\begin{defn}[Nilpotente Matrizen]
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||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix
|
||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $( n⨯ n)$-Matrix
|
||||
mit Werten in $k$. Nenne die Matrix $A$
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||||
\emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert,
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||||
sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
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||||
@ -166,7 +165,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
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||||
Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent.
|
||||
Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
|
||||
Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
|
||||
SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist
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||||
$$
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||||
0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}.
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||||
@ -185,7 +184,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Hauptraum eines Endomorphismus]\label{def:2-2-6}
|
||||
\begin{defn}[Hauptraum eines Endomorphismus]\label{def:2-2-6}%
|
||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
|
||||
es sei $f ∈ \End(V)$. Gegeben $λ ∈ k$, dann betrachte
|
||||
$$
|
||||
@ -196,7 +195,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
|
||||
\index{verallgemeinerter Eigenraum!Endomorphismus}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b}
|
||||
\begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b}%
|
||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix. Gegeben $λ ∈ k$,
|
||||
dann betrachte
|
||||
$$
|
||||
@ -205,7 +204,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
|
||||
$$
|
||||
wobei $\Id_{n⨯ n}$ die Einheitsmatrix bezeichnet. Man nennt dies den
|
||||
\emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!Matrix} oder \emph{verallgemeinerten
|
||||
Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}.
|
||||
Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}
|
||||
@ -263,7 +262,7 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
|
||||
Beweis des Satzes wird dann in \video{3-1} beendet.
|
||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{kor}\label{kor:2-2-11}
|
||||
\begin{kor}\label{kor:2-2-11}%
|
||||
In Situation~\ref{sit:2-1-6} seien $λ_1, …, λ_k ∈ ℂ$ die Eigenwerte von $f$
|
||||
mit algebraischen Multiplizitäten $r_1, …, r_k$. Seien $W_1, …, W_k$ die
|
||||
zugehörenden Haupträume. Dann ist
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||||
@ -296,8 +295,8 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
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||||
0 & & & A_k
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||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
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||||
wobei für jeden Index $i$ gilt: $A_i$ ist quadratische Matrix der Größe
|
||||
$r_i ⨯ r_i$ und $A_i$ ist von der Form
|
||||
wobei für jeden Index $i$ gilt: $A_i$ ist quadratische Matrix der Größe $r_i ⨯
|
||||
r_i$ und $A_i$ ist von der Form
|
||||
$$
|
||||
A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i,
|
||||
$$
|
||||
@ -306,8 +305,8 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
|
||||
\begin{proof}
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||||
Korollar~\ref{kor:2-2-11} sagt exakt, dass $\mathcal{B}$ eine Basis von $V$
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||||
ist. Die Blockgestalt von $\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f)$ folgt aus
|
||||
\ref{il:2-2-10-3}. Die Beschreibung
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||||
$A_i = λ_i·\Id_{r_i} + (\text{nilpotent})$ ist \ref{il:2-2-10-5}.
|
||||
\ref{il:2-2-10-3}. Die Beschreibung $A_i = λ_i·\Id_{r_i} +
|
||||
(\text{nilpotent})$ ist \ref{il:2-2-10-5}.
|
||||
\end{proof}
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||||
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@ -346,9 +345,9 @@ nächsten Abschnitt.
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Wir betrachten das Problem „finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$
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Jordansche Normalform hat“ jetzt also für nilpotente Endomorphismen.
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\begin{situation}\label{sit:2-3-1}
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||||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen,
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$n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus.
|
||||
\begin{situation}\label{sit:2-3-1}%
|
||||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n
|
||||
:= \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus.
|
||||
\end{situation}
|
||||
|
||||
Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, sodass
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||||
@ -382,14 +381,14 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{beobachtung}
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||||
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||||
\begin{prop}\label{prop:2-3-4}
|
||||
\begin{prop}\label{prop:2-3-4}%
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||||
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt
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||||
Folgendes.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$
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||||
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||||
\item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass
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||||
$\vec{v} ∈ V^p ⇔ f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
|
||||
\item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔
|
||||
f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
|
||||
|
||||
\item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$. Dann gilt alle Indizes $p >
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||||
1$: Die Abbildung $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den
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||||
@ -428,10 +427,9 @@ kann.\sideremark{Vorlesung 4} Allerdings ist die Partition $(m_1, m_2, …)$ noc
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||||
nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: Wir müssen erst
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||||
zur „dualen Partition“ übergehen.
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||||
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||||
\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}
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||||
\index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl
|
||||
und $P = (m_1, m_2, …)$ sei eine Partition von $n$. Gegeben einen Index $i$,
|
||||
setze
|
||||
\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}%
|
||||
\index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $P
|
||||
= (m_1, m_2, …)$ sei eine Partition von $n$. Gegeben einen Index $i$, setze
|
||||
\[
|
||||
n_i := \# \{ j \:|\: m_j ≥ i \}.
|
||||
\]
|
||||
@ -439,9 +437,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
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||||
\end{defn}
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||||
\begin{bsp}
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||||
Es sei $n = 19$ und $P = (5, 5, 4, 2, 2, 1)$. Dann ist $P^* = (6, 5, 3, 3, 2)$
|
||||
wieder eine Partition der Zahl 19. Abbildung~\vref{fig:part} veranschaulicht
|
||||
den Zusammenhang.
|
||||
Es sei $n = 19$ und $P = (5, 5, 4, 2, 2, 1)$. Dann ist $P^* = (6, 5, 3, 3,
|
||||
2)$ wieder eine Partition der Zahl 19. Abbildung~\vref{fig:part}
|
||||
veranschaulicht den Zusammenhang.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[t]
|
||||
@ -465,8 +463,8 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
|
||||
\begin{bemerkung}
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||||
In der Situation von Definition~\ref{def:dualePart}, überlegen Sie sich, dass
|
||||
$P^*$ wieder eine Partition von $n$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass für
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||||
jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt.
|
||||
Abbildung~\ref{fig:part} kann ihnen dabei helfen.
|
||||
jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part}
|
||||
kann ihnen dabei helfen.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}%
|
||||
@ -536,9 +534,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
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||||
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||||
\paragraph{Schritt 1.2, Induktionsschritt, Konstruktion der $p$.ten Spalte}
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Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert.
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||||
Die Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit
|
||||
$\vec w_1, …, \vec w_a$. Beachte, dass die Abbildung
|
||||
Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die
|
||||
Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit $\vec w_1,
|
||||
…, \vec w_a$. Beachte, dass die Abbildung
|
||||
\[
|
||||
\overline{f} : \factor{V^{p+1}}{V^p} → \factor{V^p}{V^{p-1}}
|
||||
\]
|
||||
@ -574,10 +572,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
|
||||
|
||||
\paragraph{Schritt 2.2, Induktionsschritt}
|
||||
|
||||
Sei ein Index $p>1$ gegeben. Induktionsannahme: die Vektoren
|
||||
$\vec{α}_1, …, \vec{α}_a$ aus den ersten $(p-1)$ Spalten bilden eine Basis von
|
||||
$V^{p-1}$. Seien $\vec{β}_1, …, \vec{β}_b$ die Vektoren der $p$.ten Spalte
|
||||
und sei
|
||||
Sei ein Index $p>1$ gegeben. Induktionsannahme: die Vektoren $\vec{α}_1, …,
|
||||
\vec{α}_a$ aus den ersten $(p-1)$ Spalten bilden eine Basis von $V^{p-1}$.
|
||||
Seien $\vec{β}_1, …, \vec{β}_b$ die Vektoren der $p$.ten Spalte und sei
|
||||
\[
|
||||
W^p := \langle \vec{α}_1, …, \vec{α}_a, \vec{β}_1, …, \vec{β}_b \rangle
|
||||
⊂ V^p
|
||||
@ -595,8 +592,8 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
|
||||
\[
|
||||
\ker γ = V^{p-1} \quad \text{und} \quad \dim W^p = m_p + \dim V^{p-1} = \dim V^p.
|
||||
\]
|
||||
Also ist die Menge ein Erzeugendensystem. Weil sie aber genau
|
||||
$(\dim V^p)$-viele Elemente enthält, muss es sich um eine Basis handeln.
|
||||
Also ist die Menge ein Erzeugendensystem. Weil sie aber genau $(\dim
|
||||
V^p)$-viele Elemente enthält, muss es sich um eine Basis handeln.
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph{Schritt 3, Ende des Beweises}
|
||||
@ -737,9 +734,11 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
|
||||
hat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Wie wir oben gesehen haben, ist $\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …,
|
||||
\vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …,
|
||||
\vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine Jordanbasis.
|
||||
Wie wir oben gesehen haben, ist
|
||||
$$
|
||||
\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}
|
||||
$$
|
||||
dann eine Jordanbasis.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Beispiele}
|
||||
|
||||
@ -111,10 +111,9 @@
|
||||
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||||
\section*{Vorbemerkung}
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||||
Dieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des
|
||||
Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben. Sie finden die neueste Version
|
||||
dieses Skripts immer auf der
|
||||
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/L8gbP7PCeXQqtCx?path=\%2F}{NextCloud}.
|
||||
Dieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird ständig weiter
|
||||
geschrieben. Sie finden die neueste Version dieses Skripts immer auf der
|
||||
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/anr7bxB4aEdabiz}{Nextcloud}.
|
||||
|
||||
Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
|
||||
ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
|
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