diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 24b1c4d..50018e6 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -18,3 +18,4 @@ Quotientenvektorraums .te Erzeugendensystem Quotientenvektorräume +Repräsentantenniveau diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index caccb8e..2354a5f 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -6,3 +6,4 @@ {"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QFür jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bestimme den Hauptraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zum Eigenwert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q — Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität” ) sagt, wie das geht: der Hauptraum ist gegeben als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2020 ständig weiter geschrieben.\\E$"} {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt ssec:pjnf.\\E$"} diff --git a/02-Jordan.tex b/02-Jordan.tex index 4fd2494..558332e 100644 --- a/02-Jordan.tex +++ b/02-Jordan.tex @@ -23,10 +23,9 @@ auch eine Menge Videos auf \href{https://www.youtube.com/results?search_query=jordansche+normalform}{YouTube}. \begin{defn}[Jordanblock] - Es sei $k$ ein Körper, $λ ∈ k$ ein Körperelement und $n ∈ ℕ$ sei eine - Zahl. Der \emph{$(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der - Diagonalen}\index{Jordanblock} ist die $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$ - mit + Es sei $k$ ein Körper, $λ ∈ k$ ein Körperelement und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. + Der \emph{$(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der + Diagonalen}\index{Jordanblock} ist die $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$ mit $$ a_{ij} = \begin{cases} @@ -63,10 +62,10 @@ auch eine Menge Videos auf \end{bsp} \begin{defn}[Jordansche Normalform] - Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix - $A = (a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform}, - falls $A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und - alle anderen Blöcke gleich Null sind. + Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A = + (a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform}, falls + $A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und alle + anderen Blöcke gleich Null sind. \end{defn} \begin{bsp} @@ -108,11 +107,11 @@ auch eine Menge Videos auf Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen. -\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF} +\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}% Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis - $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ - Jordansche Normalform hat. + $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche + Normalform hat. \end{satz} \begin{notation} @@ -147,7 +146,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \end{defn} \begin{defn}[Nilpotente Matrizen] - Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix + Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $( n⨯ n)$-Matrix mit Werten in $k$. Nenne die Matrix $A$ \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert, sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt @@ -166,7 +165,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \begin{beobachtung} Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent. - Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N := + Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N := SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist $$ 0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}. @@ -185,7 +184,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \end{enumerate} \end{bsp} -\begin{defn}[Hauptraum eines Endomorphismus]\label{def:2-2-6} +\begin{defn}[Hauptraum eines Endomorphismus]\label{def:2-2-6}% Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und es sei $f ∈ \End(V)$. Gegeben $λ ∈ k$, dann betrachte $$ @@ -196,7 +195,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \index{verallgemeinerter Eigenraum!Endomorphismus}. \end{defn} -\begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b} +\begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b}% Es sei $k$ ein Körper, es sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix. Gegeben $λ ∈ k$, dann betrachte $$ @@ -205,7 +204,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. $$ wobei $\Id_{n⨯ n}$ die Einheitsmatrix bezeichnet. Man nennt dies den \emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!Matrix} oder \emph{verallgemeinerten - Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}. + Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}. \end{defn} \begin{beobachtung} @@ -263,7 +262,7 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der Beweis des Satzes wird dann in \video{3-1} beendet. \end{proof} -\begin{kor}\label{kor:2-2-11} +\begin{kor}\label{kor:2-2-11}% In Situation~\ref{sit:2-1-6} seien $λ_1, …, λ_k ∈ ℂ$ die Eigenwerte von $f$ mit algebraischen Multiplizitäten $r_1, …, r_k$. Seien $W_1, …, W_k$ die zugehörenden Haupträume. Dann ist @@ -296,8 +295,8 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der 0 & & & A_k \end{pmatrix} $$ - wobei für jeden Index $i$ gilt: $A_i$ ist quadratische Matrix der Größe - $r_i ⨯ r_i$ und $A_i$ ist von der Form + wobei für jeden Index $i$ gilt: $A_i$ ist quadratische Matrix der Größe $r_i ⨯ + r_i$ und $A_i$ ist von der Form $$ A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i, $$ @@ -306,8 +305,8 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der \begin{proof} Korollar~\ref{kor:2-2-11} sagt exakt, dass $\mathcal{B}$ eine Basis von $V$ ist. Die Blockgestalt von $\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f)$ folgt aus - \ref{il:2-2-10-3}. Die Beschreibung - $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + (\text{nilpotent})$ ist \ref{il:2-2-10-5}. + \ref{il:2-2-10-3}. Die Beschreibung $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + + (\text{nilpotent})$ ist \ref{il:2-2-10-5}. \end{proof} @@ -346,9 +345,9 @@ nächsten Abschnitt. Wir betrachten das Problem „finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat“ jetzt also für nilpotente Endomorphismen. -\begin{situation}\label{sit:2-3-1} - Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, - $n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus. +\begin{situation}\label{sit:2-3-1}% + Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n + := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus. \end{situation} Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, sodass @@ -382,14 +381,14 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist. \end{itemize} \end{beobachtung} -\begin{prop}\label{prop:2-3-4} +\begin{prop}\label{prop:2-3-4}% In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$ - \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass - $\vec{v} ∈ V^p ⇔ f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$. + \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔ + f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$. \item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$. Dann gilt alle Indizes $p > 1$: Die Abbildung $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den @@ -428,10 +427,9 @@ kann.\sideremark{Vorlesung 4} Allerdings ist die Partition $(m_1, m_2, …)$ noc nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: Wir müssen erst zur „dualen Partition“ übergehen. -\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart} - \index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl - und $P = (m_1, m_2, …)$ sei eine Partition von $n$. Gegeben einen Index $i$, - setze +\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}% + \index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $P + = (m_1, m_2, …)$ sei eine Partition von $n$. Gegeben einen Index $i$, setze \[ n_i := \# \{ j \:|\: m_j ≥ i \}. \] @@ -439,9 +437,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. \end{defn} \begin{bsp} - Es sei $n = 19$ und $P = (5, 5, 4, 2, 2, 1)$. Dann ist $P^* = (6, 5, 3, 3, 2)$ - wieder eine Partition der Zahl 19. Abbildung~\vref{fig:part} veranschaulicht - den Zusammenhang. + Es sei $n = 19$ und $P = (5, 5, 4, 2, 2, 1)$. Dann ist $P^* = (6, 5, 3, 3, + 2)$ wieder eine Partition der Zahl 19. Abbildung~\vref{fig:part} + veranschaulicht den Zusammenhang. \end{bsp} \begin{figure}[t] @@ -465,8 +463,8 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. \begin{bemerkung} In der Situation von Definition~\ref{def:dualePart}, überlegen Sie sich, dass $P^*$ wieder eine Partition von $n$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass für - jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. - Abbildung~\ref{fig:part} kann ihnen dabei helfen. + jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part} + kann ihnen dabei helfen. \end{bemerkung} \begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}% @@ -536,9 +534,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. \paragraph{Schritt 1.2, Induktionsschritt, Konstruktion der $p$.ten Spalte} - Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. - Die Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit - $\vec w_1, …, \vec w_a$. Beachte, dass die Abbildung + Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die + Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit $\vec w_1, + …, \vec w_a$. Beachte, dass die Abbildung \[ \overline{f} : \factor{V^{p+1}}{V^p} → \factor{V^p}{V^{p-1}} \] @@ -574,10 +572,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. \paragraph{Schritt 2.2, Induktionsschritt} - Sei ein Index $p>1$ gegeben. Induktionsannahme: die Vektoren - $\vec{α}_1, …, \vec{α}_a$ aus den ersten $(p-1)$ Spalten bilden eine Basis von - $V^{p-1}$. Seien $\vec{β}_1, …, \vec{β}_b$ die Vektoren der $p$.ten Spalte - und sei + Sei ein Index $p>1$ gegeben. Induktionsannahme: die Vektoren $\vec{α}_1, …, + \vec{α}_a$ aus den ersten $(p-1)$ Spalten bilden eine Basis von $V^{p-1}$. + Seien $\vec{β}_1, …, \vec{β}_b$ die Vektoren der $p$.ten Spalte und sei \[ W^p := \langle \vec{α}_1, …, \vec{α}_a, \vec{β}_1, …, \vec{β}_b \rangle ⊂ V^p @@ -595,8 +592,8 @@ zur „dualen Partition“ übergehen. \[ \ker γ = V^{p-1} \quad \text{und} \quad \dim W^p = m_p + \dim V^{p-1} = \dim V^p. \] - Also ist die Menge ein Erzeugendensystem. Weil sie aber genau - $(\dim V^p)$-viele Elemente enthält, muss es sich um eine Basis handeln. + Also ist die Menge ein Erzeugendensystem. Weil sie aber genau $(\dim + V^p)$-viele Elemente enthält, muss es sich um eine Basis handeln. \paragraph{Schritt 3, Ende des Beweises} @@ -737,9 +734,11 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben. hat. \end{enumerate} -Wie wir oben gesehen haben, ist $\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, -\vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, -\vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine Jordanbasis. +Wie wir oben gesehen haben, ist +$$ +\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \} +$$ +dann eine Jordanbasis. \subsection{Beispiele} diff --git a/LineareAlgebra2.tex b/LineareAlgebra2.tex index 567a490..73b1b08 100644 --- a/LineareAlgebra2.tex +++ b/LineareAlgebra2.tex @@ -111,10 +111,9 @@ \section*{Vorbemerkung} -Dieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des -Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben. Sie finden die neueste Version -dieses Skripts immer auf der -\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/L8gbP7PCeXQqtCx?path=\%2F}{NextCloud}. +Dieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird ständig weiter +geschrieben. Sie finden die neueste Version dieses Skripts immer auf der +\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/anr7bxB4aEdabiz}{Nextcloud}. Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen