Update links and references

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -18,3 +18,4 @@ Quotientenvektorraums
 .te
 Erzeugendensystem
 Quotientenvektorräume
+Repräsentantenniveau

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -6,3 +6,4 @@
 {"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QFür jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bestimme den Hauptraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zum Eigenwert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q — Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität” ) sagt, wie das geht: der Hauptraum ist gegeben als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2020 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
 {"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt ssec:pjnf.\\E$"}

02-Jordan.tex

@@ -23,10 +23,9 @@ auch eine Menge Videos auf
 \href{https://www.youtube.com/results?search_query=jordansche+normalform}{YouTube}.
 
 \begin{defn}[Jordanblock]
-  Es sei $k$ ein Körper, $λ ∈ k$ ein Körperelement und $n ∈ ℕ$ sei eine
+  Es sei $k$ ein Körper, $λ ∈ k$ ein Körperelement und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl.
-  Zahl.  Der \emph{$(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der
+  Der \emph{$(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der
-    Diagonalen}\index{Jordanblock} ist die $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$
+  Diagonalen}\index{Jordanblock} ist die $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$ mit
-  mit
   $$
   a_{ij} =
   \begin{cases}
@@ -63,10 +62,10 @@ auch eine Menge Videos auf
 \end{bsp}
 
 \begin{defn}[Jordansche Normalform]
-  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl.  Eine $n ⨯ n$-Matrix
+  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl.  Eine $n ⨯ n$-Matrix $A =
-  $A = (a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform},
+  (a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform}, falls
-  falls $A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und
+  $A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und alle
-  alle anderen Blöcke gleich Null sind.
+  anderen Blöcke gleich Null sind.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
@@ -108,11 +107,11 @@ auch eine Menge Videos auf
 
 Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen.
 
-\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}
+\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
   es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.  Dann gibt es eine angeordnete Basis
-  $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$
+  $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche
-  Jordansche Normalform hat.
+  Normalform hat.
 \end{satz}
 
 \begin{notation}
@@ -147,7 +146,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Nilpotente Matrizen]
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $( n⨯ n)$-Matrix
   mit Werten in $k$.  Nenne die Matrix $A$
   \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert,
   sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist.  Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
@@ -166,7 +165,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 
 \begin{beobachtung}
   Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent.
-  Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
+  Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
   SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$.  Dann ist
   $$
   0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}.
@@ -185,7 +184,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
   \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
-\begin{defn}[Hauptraum eines Endomorphismus]\label{def:2-2-6}
+\begin{defn}[Hauptraum eines Endomorphismus]\label{def:2-2-6}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
   es sei $f ∈ \End(V)$.  Gegeben $λ ∈ k$, dann betrachte
   $$
@@ -196,7 +195,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
   \index{verallgemeinerter Eigenraum!Endomorphismus}.
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b}
+\begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix.  Gegeben $λ ∈ k$,
   dann betrachte
   $$
@@ -205,7 +204,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
   $$
   wobei $\Id_{n⨯ n}$ die Einheitsmatrix bezeichnet.  Man nennt dies den
   \emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!Matrix} oder \emph{verallgemeinerten
-    Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}.
+  Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}.
 \end{defn}
 
 \begin{beobachtung}
@@ -263,7 +262,7 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
   Beweis des Satzes wird dann in \video{3-1} beendet.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}\label{kor:2-2-11}
+\begin{kor}\label{kor:2-2-11}%
   In Situation~\ref{sit:2-1-6} seien $λ_1, …, λ_k ∈ ℂ$ die Eigenwerte von $f$
   mit algebraischen Multiplizitäten $r_1, …, r_k$.  Seien $W_1, …, W_k$ die
   zugehörenden Haupträume.  Dann ist
@@ -296,8 +295,8 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
     0 & & & A_k
   \end{pmatrix}
   $$
-  wobei für jeden Index $i$ gilt: $A_i$ ist quadratische Matrix der Größe
+  wobei für jeden Index $i$ gilt: $A_i$ ist quadratische Matrix der Größe $r_i ⨯
-  $r_i ⨯ r_i$ und $A_i$ ist von der Form
+  r_i$ und $A_i$ ist von der Form
   $$
   A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i,
   $$
@@ -306,8 +305,8 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
 \begin{proof}
   Korollar~\ref{kor:2-2-11} sagt exakt, dass $\mathcal{B}$ eine Basis von $V$
   ist.  Die Blockgestalt von $\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f)$ folgt aus
-  \ref{il:2-2-10-3}.  Die Beschreibung
+  \ref{il:2-2-10-3}.  Die Beschreibung $A_i = λ_i·\Id_{r_i} +
-  $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + (\text{nilpotent})$ ist \ref{il:2-2-10-5}.
+  (\text{nilpotent})$ ist \ref{il:2-2-10-5}.
 \end{proof}
 
 
@@ -346,9 +345,9 @@ nächsten Abschnitt.
 Wir betrachten das Problem „finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$
 Jordansche Normalform hat“ jetzt also für nilpotente Endomorphismen.
 
-\begin{situation}\label{sit:2-3-1}
+\begin{situation}\label{sit:2-3-1}%
-  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen,
+  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n
-  $n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus.
+  := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus.
 \end{situation}
 
 Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, sodass
@@ -382,14 +381,14 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
-\begin{prop}\label{prop:2-3-4}
+\begin{prop}\label{prop:2-3-4}%
   In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$.  Dann gilt
   Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$
     
-  \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass
+  \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔
-    $\vec{v} ∈ V^p ⇔ f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
+    f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
 
   \item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$.  Dann gilt alle Indizes $p >
     1$: Die Abbildung $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den
@@ -428,10 +427,9 @@ kann.\sideremark{Vorlesung 4} Allerdings ist die Partition $(m_1, m_2, …)$ noc
 nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: Wir müssen erst
 zur „dualen Partition“ übergehen.
 
-\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}
+\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}%
-  \index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl
+  \index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $P
-  und $P = (m_1, m_2, …)$ sei eine Partition von $n$.  Gegeben einen Index $i$,
+  = (m_1, m_2, …)$ sei eine Partition von $n$.  Gegeben einen Index $i$, setze
-  setze
   \[
     n_i := \# \{ j \:|\: m_j ≥ i \}.
   \]
@@ -439,9 +437,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $n = 19$ und $P = (5, 5, 4, 2, 2, 1)$.  Dann ist $P^* = (6, 5, 3, 3, 2)$
+  Es sei $n = 19$ und $P = (5, 5, 4, 2, 2, 1)$.  Dann ist $P^* = (6, 5, 3, 3,
-  wieder eine Partition der Zahl 19.  Abbildung~\vref{fig:part} veranschaulicht
+  2)$ wieder eine Partition der Zahl 19.  Abbildung~\vref{fig:part}
-  den Zusammenhang.
+  veranschaulicht den Zusammenhang.
 \end{bsp}
 
 \begin{figure}[t]
@@ -465,8 +463,8 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
 \begin{bemerkung}
   In der Situation von Definition~\ref{def:dualePart}, überlegen Sie sich, dass
   $P^*$ wieder eine Partition von $n$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass für
-  jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt.
+  jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part}
-  Abbildung~\ref{fig:part} kann ihnen dabei helfen.
+  kann ihnen dabei helfen.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}%
@@ -536,9 +534,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
   
   \paragraph{Schritt 1.2, Induktionsschritt, Konstruktion der $p$.ten Spalte}
 
-  Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert.
+  Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die
-  Die Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit
+  Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit $\vec w_1,
-  $\vec w_1, …, \vec w_a$.  Beachte, dass die Abbildung
+  …, \vec w_a$.  Beachte, dass die Abbildung
   \[
     \overline{f} : \factor{V^{p+1}}{V^p} → \factor{V^p}{V^{p-1}}
   \]
@@ -574,10 +572,9 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
 
   \paragraph{Schritt 2.2, Induktionsschritt}
 
-  Sei ein Index $p>1$ gegeben.  Induktionsannahme: die Vektoren
+  Sei ein Index $p>1$ gegeben.  Induktionsannahme: die Vektoren $\vec{α}_1, …,
-  $\vec{α}_1, …, \vec{α}_a$ aus den ersten $(p-1)$ Spalten bilden eine Basis von
+  \vec{α}_a$ aus den ersten $(p-1)$ Spalten bilden eine Basis von $V^{p-1}$.
-  $V^{p-1}$.  Seien $\vec{β}_1, …, \vec{β}_b$ die Vektoren der $p$.ten Spalte
+  Seien $\vec{β}_1, …, \vec{β}_b$ die Vektoren der $p$.ten Spalte und sei
-  und sei
   \[
     W^p := \langle \vec{α}_1, …, \vec{α}_a, \vec{β}_1, …, \vec{β}_b \rangle
     ⊂ V^p
@@ -595,8 +592,8 @@ zur „dualen Partition“ übergehen.
   \[
     \ker γ = V^{p-1} \quad \text{und} \quad \dim W^p = m_p + \dim V^{p-1} = \dim V^p.
   \]
-  Also ist die Menge ein Erzeugendensystem.  Weil sie aber genau
+  Also ist die Menge ein Erzeugendensystem.  Weil sie aber genau $(\dim
-  $(\dim V^p)$-viele Elemente enthält, muss es sich um eine Basis handeln.
+  V^p)$-viele Elemente enthält, muss es sich um eine Basis handeln.
 
 
   \paragraph{Schritt 3, Ende des Beweises}
@@ -737,9 +734,11 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
   hat.
 \end{enumerate}
 
-Wie wir oben gesehen haben, ist $\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …,
+Wie wir oben gesehen haben, ist 
-\vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …,
+$$
-\vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine Jordanbasis.
+\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}
+$$
+dann eine Jordanbasis.
 
 
 \subsection{Beispiele}

LineareAlgebra2.tex

@@ -111,10 +111,9 @@
 
 \section*{Vorbemerkung}
 
-Dieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird im Laufe des
+Dieses Skript zur Vorlesung „Lineare Algebra II“ wird ständig weiter
-Sommersemester 2025 ständig weiter geschrieben.  Sie finden die neueste Version
+geschrieben.  Sie finden die neueste Version dieses Skripts immer auf der
-dieses Skripts immer auf der
+\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/anr7bxB4aEdabiz}{Nextcloud}.
-\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/L8gbP7PCeXQqtCx?path=\%2F}{NextCloud}.
 
 Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
 ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen