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\section{\for{toc}{German Summary}\except{toc}{Zusammenfassung}}
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\begin{otherlanguage}{ngerman}
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Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Hodge-Zerlegung für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten,
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welche eine der zentralen Aussagen der Hodge-Theorie ist. Sie liefert eine Zerlegung der
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de-Rahm-Kohomologie-Gruppen in passende Dolbeault-Kohomologie-Gruppen und stellt somit eine
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Verbindung zwischen den topologischen Eigenschaften und der komplexen Struktur einer kompakten
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Kähler-Mannigfaltigkeit her.
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Das Ziel dieser Arbeit ist die Ausarbeitung des Beweises dieser Zerlegung. Dafür muss die
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erforderlich Theorie eingeführt und erklärt werden. Dabei ist es zunächst sinnvoll, die lokale
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Theorie auszuarbeiten. Diese befasst sich hauptsächlich mit den Eigenschaften von euklidischen und
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unitären Vektorräumen im Zusammenhang mit der Existenz einer kompatiblen fastkomplexen Struktur.
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Dabei werden vor allem die Werkzeuge aus der Linearen Algebra gebraucht.
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Mit den gesammelten Eigenschaften werden dann jeweils der Lefschetz-Operator, der duale
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Lefschetz-Operator und der Hodge-Stern-Operator lokal definiert.
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Danach wird der Fokus zunehmend auf Mannigfaltigkeiten gelegt. Nachdem hermitesche
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Mannigfaltigkeiten definiert wurden, werden einige der zuvor erarbeiteten lokalen Aussagen in
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globale Aussagen übersetzt. Außerdem werden die entsprechenden globalen Operatoren definiert. Dabei
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wird jedoch angenommen, dass der Leser bereits mit den grundlegenden Begriffen und Eigenschaften von
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komplexen und fastkomplexen Mannigfaltigkeiten vertraut ist.
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Nachdem formal adjungierte Operatoren mithilfe einer vorher definierten $L^2$-Metrik eingeführt
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wurden, werden dann die Kähler-Identitäten behandelt. Diese stellen die zuvor eingeführten globalen
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Operatoren in Relation zueinander und sind äußerst essenzielle Eigenschaften von
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Kähler-Mannigfaltigkeiten. Diese Kähler-Identitäten werden in dieser Arbeit jedoch nicht bewiesen.
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Das nächste Ziel ist der Beweis der Hodge-Isomorphie-Sätze. Dafür wird die Theorie der harmonischen
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Differentialformen eingeführt und einige wichtige Eigenschaften werden bewiesen. Dafür werden die
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zuvor behandelten Kähler-Identitäten benötigt.
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Danach wird mithilfe dieser Isomorphie-Sätze die Hodge-Zerlegung bewiesen. Außerdem wird gezeigt,
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dass diese Zerlegung unabhängig von der Wahl der Kähler-Metrik ist. Am Ende wird dann eine nützliche
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topologische Anwendung der Hodge-Zerlegung präsentiert.
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