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\chapter{Riemannsche Flächen}
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\section{Komplexe Mannigfaltigkeiten}
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In der Funktionentheorie betrachtet man statt $C^∞$-Funktionen meist holomorphe
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Funktionen. Statt $C^∞$-Mannigfaltigkeit betrachtet man komplexe
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Mannigfaltigkeiten.
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\begin{notation}[Komplexe-Karten und Atlanten]
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Sei $X$ ein topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis der Topologie.
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Weiter sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.
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\begin{enumerate}
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\item Eine komplexe-\emph{Karte}\index{Karte!komplex} ist ein
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Homöomorphismus $\varphi : U → V$, wobei $U ⊂ M$ und $V ⊂ ℂ^n$ jeweils
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offen sind.
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\item Zwei komplexe Karten $\varphi : U → V$ heißen komplex
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verträglich\index{Verträglichkeit!von komplexen Karten}, wenn
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\[
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\varphi_2 ◦ \varphi_1^{-1} : \varphi_1(U_1∩ U_2) \longrightarrow \varphi_2(U_1∩ U_2)
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\]
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biholomorph ist.
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\item Ein \emph{komplexer Atlas}\index{Atlas!komplex} ist eine Menge von
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komplexen Karten $(\varphi_i : U_i → V_i)_{i∈ I}$, sodass $M = \bigcup_i
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U_i$ und sodass je zwei Karten komplex verträglich sind.
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\item Zwei komplexe Atlanten Atlas$_1$ und Atlas$_2$ heißen komplex
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verträglich\index{Verträglichkeit!von komplexen Atlanten}, wenn jede Karte
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aus Atlas$_1$ mit jeder Karte aus Atlas$_2$ verträglich ist.
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\end{enumerate}
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\end{notation}
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\begin{beobachtung}
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Verträglichkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der komplexen
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Atlanten.
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\end{beobachtung}
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\begin{definition}[Komplexe Mannigfaltigkeit]\label{def:2-2-3}%
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Eine \emph{komplexe Mannigfaltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!komplex} der
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Dimension $n$ ist ein Hausdorffscher topologischer Raum mit abzählbarer Basis
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der Topologie, zusammen mit einer Äquivalenzklasse von komplexen Atlanten, mit
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Karten in den $ℂ^n$. Zusammenhängende, komplexe Mannigfaltigkeiten der
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Dimension eins heißen \emph{Riemannsche Flächen}\index{Riemannsche
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Flächen}\footnote{Georg Friedrich Bernhard Riemann (* 17.~September 1826 in
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Breselenz bei Dannenberg (Elbe); † 20.~Juli 1866 in Selasca, Gemeinde Intra
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[heute zu Verbania] am Lago Maggiore) war ein deutscher Mathematiker, der auf
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vielen Gebieten der Analysis, Differenzialgeometrie, mathematischen Physik und
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der analytischen Zahlentheorie bahnbrechend wirkte. Er gilt als einer der
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bedeutendsten Mathematiker. Seine Arbeit legte den Grundstein für die
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Allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein.}.
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\end{definition}
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\begin{rem}[Komplexe und $C^∞$-Mannigfaltigkeiten]
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Holomorphe Funktionen sind $C^∞$. Deshalb trägt jede komplexe Mannigfaltigkeit
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immer auch die Struktur einer $C^∞$-Mannigfaltigkeit. In der Literatur wird
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die Wahl eines komplexen Atlas auch als Wahl einer „komplexen Struktur“ auf
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der $C^∞$-Mannigfaltigkeit bezeichnet.
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\end{rem}
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\subsection{Beispiele}
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\begin{bsp}[Offene Mengen]
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Jede offene Teilmenge des $ℂ^n$ ist eine komplexe Mannigfaltigkeit.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Riemannsche Zahlenkugel]
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Betrachte die Menge $ℙ¹ := ℂ ∪ \{∞\}$. Definiere auf $ℙ¹$ wie folgt eine
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Topologie: Eine Teilmenge $U ⊂ ℙ¹$ ist offen, wenn
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\begin{itemize}
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\item $∞ \notin U$ und $U ⊂ ℂ$ offen ist, oder
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\item $∞ ∈ U$ und $ℂ ∖ U$ kompakt ist.
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\end{itemize}
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Beispiele für offene Mengen sind dann $U_0 := ℂ$ oder $U_∞ := ℙ¹ ∖ \{0\}$.
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Definiere dann komplexe Karten
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\[
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\varphi_0 : U_0 → ℂ, \quad z ↦ z,
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\qquad\text{und}\quad
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\varphi_∞ : U_∞ → ℂ, \quad z ↦ \begin{cases} 0, & z = ∞,\\ 1/z, & \text{sonst}.
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\end{cases}
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\]
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Diese Karten sind komplex verträglich und liefern daher einen komplexen Atlas.
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Wir erhalten also eine Riemannsche Fläche, genannt \emph{Riemannsche
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Zahlenkugel}\index{Riemannsche Zahlenkugel}. Man rechne nach: Der
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topologische Raum $ℙ¹$ ist kompakt.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Riemannsche Zahlenkugel]
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Analog zu Beispiel kann man die Riemannsche Zahlenkugel auch definieren, indem
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man $ℙ¹$ als Einheitssphäre im $ℝ³$ nimmt und komplexe Karten durch
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stereografische Projektion auf die Ebene $ℝ²$ konstruiert. Der Name
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\emph{Riemannsche Zahlenkugel} ist vermutlich durch diese Konstruktion
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motiviert.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Komplexe Tori]\label{bsp:2-1-8}%
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Gegeben $ℝ$-linear unabhängige Vektoren $ω_1, ω_2 ∈ ℂ = ℝ²$, betrachte das von
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diesen Vektoren erzeugte Gitter
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\[
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Γ := \{ m_1 · ω_1 + m_2 · ω_2 \mid m_1, m_2 ∈ ℤ \}.
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\]
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Nenne zwei Vektoren $v_1, v_2 ∈ ℂ$ äquivalent, wenn $v_1 - v_2 ∈ Γ$ ist. Wir
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bezeichnen den Quotienten\footnote{Quotient = Menge der Äquivalenzklassen}
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dieser Äquivalenzrelation mit $C/Γ$ und die Quotenentenabbildung wie üblich
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mit
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\[
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π : ℂ → C/Γ, \quad z ↦ [z].
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\]
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Als nächstes versehen wir $C/Γ$ mit der Quotiententopologie: eine Teilmenge $U
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⊂ C/Γ$ heißt offen, wenn das Urbild $π^{-1}(U) ⊂ ℂ$ offen ist. Man rechne
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nach: mit dieser Definition ist $C/Γ$ Hausdorffsch und hat abzählbare Basis
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der Topologie. Die Abbildung $π$ ist stetig und offen. Beobachte noch
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folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Der topologische Raum $C/Γ$ ist Bild der zusammenhängenden Menge $ℂ$
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unter der stetigen Abbildung $π$, also selbst zusammenhängend.
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\item Der topologische Raum $C/Γ$ ist Bild der kompakten Menge
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\[
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P := \{α_1 ω_1 + α_2 ω_2 \mid α_1,α_2∈[0,1]\}
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||
\]
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unter der stetigen Abbildung $π$, also selbst kompakt.
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\end{itemize}
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Schließlich müssen wir noch komplexe Karten und einen komplexen Atlas finden.
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Komplexe Karten findet man so: sei $V ⊂ ℂ$ offen, sodass keine zwei Punkte aus
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$V$ äquivalent sind. Dann ist $U := π(V)$ offen und $π : V → U$ bijektiv,
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offen und stetig, also homöomorph. Definiere eine komplexe Karte durch
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$\varphi := (π|_V)^{-1} : U → V$. Sind nun $\varphi_1 : U_1→ V_1$ und
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$\varphi_2 : U_2→ V_2$ zwei solche Karten, so ist die
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Koordinatenwechselabbildung
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\[
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\varphi_2 ◦ \varphi_1^{-1} : \varphi_1(U_1 ∩ U_2) \longrightarrow \varphi_2(U_1 ∩ U_2)
|
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\]
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auf jeder Zusammenhangskomponente von $\varphi_1(U_1 ∩ U_2)$ von der Form $z ↦
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z + \text{const}$, also holomorph! Die komplexen Karten $\varphi_1$ und
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$\varphi_2$ sind also verträglich. Da sich ganz $ℂ/Γ$ mit solchen Karten
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überdecken lässt, erhalten wir einen komplexen Atlas und damit eine
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Riemannsche Fläche, genannt \emph{komplexer Torus}\index{Torus} zum Gitter $Γ
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⊂ ℂ$.
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\end{bsp}
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\section{Holomorphe Funktionen}
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\sideremark{Vorlesung 2}
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Gegeben eine Riemannsche Fläche $X$ und eine Funktion $f : X → ℂ$. Wir wollen
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definieren, wann $f$ holomorph ist. Betrachte dazu die folgende Beobachtung für
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Funktionen auf offenen Mengen $X ⊂ ℂ$.
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\begin{beobachtung}[Holomorphe Funktionen auf offenen Teilmengen von $ℂ$]
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Es sei $X ⊆ ℂ$ offen und $f : X → ℂ$ eine Funktion. Dann sind die folgenden
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Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ ist holomorph.
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\item Für eine Überdeckung $X = \bigcup_i U_i$ sind alle Einschränkungen
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$f|_{U_i}$ holomorph.
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\item\label{il:2-2-1-3} Für jeden Atlas $(\varphi_i : U_i → V_i)_{i∈ I}$,
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der die Standardkarte $\Id_X : X → X$ enthält, sind alle Abbildungen $f ◦
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\varphi_i^{-1} : V_i → ℂ$ holomorph.
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\end{enumerate}
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\end{beobachtung}
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Punkt~\ref{il:2-2-1-3} sagt in Worten: „Holomorphie kann man in Karten
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überprüfen“. Dies nehmen wir als Definition.
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\begin{definition}[Holomorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen]\label{def:2-2-2}
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Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche mit Atlas $(\varphi_i : U_i → V_i)_{i∈ I}$.
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Es sei $f : U → ℂ$ eine Funktion, wobei $U ⊆ X$ offen ist. Nenne $f$
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\emph{holomorph}\index{holomorph!Funktion}, wenn für alle $i ∈ I$ die
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Abbildung
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\[
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f ◦ \varphi_i^{-1} : \varphi_i(U ∩ U_i) \longrightarrow ℂ
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\]
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holomorph ist. Die Menge der holomorphen Funktionen wird mit $𝒪_X(U)$
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bezeichnet.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}[Holomorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen]
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---
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\begin{enumerate}
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\item Der Begriff der holomorphen Funktion hängt nur bedingt an der Wahl des
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Atlas; verträgliche Atlanten liefern denselben Holomorphiebegriff.
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\item Man braucht gar keinen gesamten Atlas, es genügt eine Familie von (mit
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der komplexen Struktur verträglichen) Karten $(\varphi_j : U_j → V_j)_{j ∈
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J}$ mit $U ⊆ \bigcup_{j ∈ J} U_j$.
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\item Die Koordinatenabbildungen sind per Definition immer holomorph.
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\item Holomorphe Funktionen kann man addieren und multiplizieren; $𝒪_X(U)$
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ist also ein Ring.
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\end{enumerate}
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\end{bemerkung}
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\subsection{Erste Eigenschaften}
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Die folgenden Sätze gelten für holomorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen,
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weil sie für holomorphe Funktionen auf $ℂ$ gelten.
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\begin{satz}[Identitätssatz]\label{satz:2-2-4}%
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Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche und es sei $U ⊆ X$ offen und
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zusammenhängend, $f_1, f_2 ∈ 𝒪_X(U)$. Dann sind die folgenden Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ sind gleich.
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||
\item Es existiert eine Teilmenge $A ⊆ U$ mit Häufungspunkt, sodass $f_1|_A$
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gleich $f_2|_A$ ist. \qed
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\end{enumerate}
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||
\end{satz}
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\begin{cor}[Nullteilerfreiheit des Rings der holomorphen Funktionen]
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In der Situation des Identitätssatzes~\ref{satz:2-2-4} ist der Ring $𝒪_X(U)$
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nullteilerfrei. \qed
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\end{cor}
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\begin{satz}[Maximumprinzip]
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||
Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche, es sei $U ⊆ X$ offen und zusammenhängend
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und $f ∈ 𝒪_X(U)$. Falls $|f| : U → ℝ$ ein Maximum hat, dann ist $f$
|
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konstant. \qed
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||
\end{satz}
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\begin{cor}[Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen auf kompakten Räumen]\label{cor:2-2-7}%
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||
Wenn $X$ kompakt und zusammenhängend ist, dann ist jede holomorphe Funktion
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konstant. \qed
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||
\end{cor}
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\begin{satz}[Offenheitssatz]
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Holomorphe Funktionen sind offen: Bilder offener Mengen sind offen. \qed
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\end{satz}
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\begin{satz}[Ordnung von Nullstellen]\label{satz:2-2-9}%
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Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche, es sei $U ⊆ X$ offen und $f ∈ 𝒪_X(U)$.
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Gegeben $n ∈ ℕ$, $a ∈ U$ und Karten $\varphi_1 : U_1 → V_1$, $\varphi_2 : U_2
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→ V_2$ Karten mit $a ∈ U_1 ∩ U_2$, so sind folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_1^{-1} : \varphi_1(U ∩ U_1) → ℂ$ hat bei
|
||
$\varphi_1(a)$ eine Nullstelle der Ordnung $n$.
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||
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||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_2^{-1} : \varphi_2(U ∩ U_2) → ℂ$ hat bei
|
||
$\varphi_2(a)$ eine Nullstelle der Ordnung $n$. \qed
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
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\begin{rem}
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||
In der Situation von Satz~\ref{satz:2-2-9} sagen wir, dass $f : U → ℂ$ bei $a$
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eine \emph{Nullstelle der Ordnung $n$}\index{Nullstellenordnung} hat.
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\end{rem}
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\section{Holomorphe Funktionen mit Singularitäten}
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Die Definition von „holomorphen Funktionen mit Singularitäten“ entspricht genau
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dem, was wir aus der Vorlesung „Funktionentheorie“ kennen.
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\begin{definition}[Holomorphe Funktionen mit Singularitäten]
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Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche, $U ⊆ X$ offen. Funktionen
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\[
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||
f ∈ 𝒪_X(U ∖ (\text{diskrete, in $U$ abgeschlossene Teilmenge}))
|
||
\]
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heißen \emph{holomorphe Funktionen auf $U$ mit
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||
Singularitäten}\index{holomorphe Funktion!mit Singularitäten}.
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||
\end{definition}
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\begin{satz}[Klassifikation isolierter Singularitäten]\label{satz:2-3-1}%
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||
Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche, $U ⊆ X$ offen, $a ∈ U$, und $f ∈ 𝒪_X(U ∖
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||
\{a\})$. Weiter seien $\varphi_1 : U_1 → V_1$ und $\varphi_2 : U_2 → V_2$
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zwei Karten mit $a ∈ U_1 ∩ U_2$.
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||
\begin{itemize}
|
||
\item Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_1^{-1}$ hat bei $\varphi_1(a)$ eine
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||
hebbare Singularität.
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||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_2^{-1}$ hat bei $\varphi_2(a)$ eine
|
||
hebbare Singularität.
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||
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||
\item Die Funktion $f$ ist in einer Umgebung von $a$ beschränkt.
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||
\end{enumerate}
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||
|
||
\item Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_1^{-1}$ hat bei $\varphi_1(a)$ eine Polstelle.
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||
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||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_2^{-1}$ hat bei $\varphi_2(a)$ eine Polstelle.
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||
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\item Es ist $\lim_{z → a} |f(z)| = ∞$.
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\end{enumerate}
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||
Sind diese Bedingungen erfüllt, so stimmen die Polstellenordnungen der
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Funktionen $f ◦ \varphi_1^{-1}$ und $f ◦ \varphi_2^{-1}$ überein.
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||
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||
\item Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
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||
\begin{enumerate}
|
||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_1^{-1}$ hat bei $\varphi_1(a)$ eine
|
||
wesentliche Singularität.
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||
|
||
\item Die Funktion $f ◦ \varphi_2^{-1}$ hat bei $\varphi_2(a)$ eine
|
||
wesentliche Singularität.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{itemize}
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||
\end{satz}
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||
\begin{proof}
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Hausaufgabe!
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\end{proof}
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\begin{prov}[Casorati-Weierstraß]
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||
Erinnern Sie sich an den Satz von Casorati-Weierstraß und formulieren Sie als
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||
Hausaufgabe die fehlende Aussage~(2.3.1.9)!
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||
\end{prov}
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||
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||
\begin{definition}[Singularitäten]
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||
Satz~\ref{satz:2-3-1} erlaubt es, zu sagen, dass die Funktion $f$ bei $a$ eine
|
||
\emph{hebbare Singularität}\index{hebbare Singularität},
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||
\emph{Polstelle}\index{Polstelle} oder \emph{wesentliche
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||
Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat. Falls eine Polstelle
|
||
vorliegt, ist auch die \emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} ist
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definiert.
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\end{definition}
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\section{Meromorphe Funktionen}
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Genau wie in der Vorlesung „Funktionentheorie“ werden holomorphe Funktionen mit
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Singularitäten als „meromorph“ bezeichnet, wenn sie lediglich Polstellen
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besitzen.
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\begin{definition}[Meromorphe Funktionen]
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||
Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche und $U ⊆ X$ sei offen. Holomorphe
|
||
Funktionen auf $U$ mit Singularitäten werden als
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||
\emph{meromorph}\index{meromorphe Funktion} bezeichnet, wenn sie lediglich
|
||
Polstellen besitzen. Die Menge der meromorphen Funktionen wird mit $ℳ_X(U)$
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bezeichnet.
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||
\end{definition}
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||
|
||
\begin{beobachtung}[Meromorphe Funktionen]
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||
Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche und $U ⊆ X$ sei offen. Dann gilt
|
||
Folgendes.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Die Menge $ℳ_X(U)$ ist ein $ℂ$-Vektorraum.
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||
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||
\item Man kann meromorphe Funktionen multiplizieren, daher ist $ℳ_X(U)$
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||
sogar eine $ℂ$-Algebra. Ist $U$ zusammenhängend, so ist $ℳ_X(U)$ ein
|
||
Körper.
|
||
|
||
\item Holomorphe Funktionen sind meromorph, $𝒪_X(U) ⊆ ℳ_X(U)$. Man kann
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||
holomorphe Funktionen mit meromorphen Funktionen multiplizieren, also ist
|
||
$ℳ_X(U)$ eine Algebra über dem Ring $𝒪_X(U)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
\begin{satz}[Identitätssatz für meromorphe Funktionen]
|
||
Sei $X$ eine Riemannsche Fläche, $U ⊆ X$ offen und zusammenhängend,
|
||
$f_1, f_2 ∈ ℳ_X(U)$. Falls es eine Menge $A ⊆ U$ mit Häufungspunkt
|
||
gibt, sodass $f_1$ und $f_2$ bei $A$ definiert sind und $f_1|_A$ gleich
|
||
$f_2|_A$ ist, dann ist $f_1$ gleich $f_2$. \qed
|
||
\end{satz}
|
||
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\subsection{Beispiel: Meromorphe Funktionen auf $ℙ¹$}
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Die Riemannsche Zahlenkugel $ℙ¹$ ist in vieler Hinsicht die einfachste kompakte
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Riemannsche Fläche. Was können wir über die auf ganz $ℙ¹$ definierten
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meromorphen Funktionen $f ∈ ℳ_{ℙ¹}(ℙ¹)$ sagen? Polynome und rationale
|
||
Funktionen liefern die einfachsten Beispiele.
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\begin{bsp}[Polynome als meromorphe Funktionen auf $ℙ¹$]\label{bsp:2-4-3}%
|
||
Es sei $f ∈ ℂ[z]$ ein Polynom, aufgefasst als holomorphe Funktion mit
|
||
Singularität auf $ℙ¹ = ℂ ∪ \{∞\}$. Ist $f$ nicht konstant, so gilt
|
||
\[
|
||
\lim_{z → ∞} |f(z)| = ∞,
|
||
\]
|
||
also hat $f$ am Punkt $∞$ eine Polstelle. Man rechne nach, dass die
|
||
Polstellenordnung von $f$ am Punkt $∞$ exakt $\deg f$ ist.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}[Rationale Funktionen als meromorphe Funktionen auf $ℙ¹$]\label{bsp:2-4-4}%
|
||
Sei $\frac{f}{g} ∈ ℂ(z)$ eine rationale Funktion, geschrieben als Quotient von
|
||
zwei teilerfremden Polynomen. Fasse $\frac{f}{g}$ als holomorphe Funktion mit
|
||
Singularität auf $ℙ¹ = ℂ ∪ \{∞\}$ auf. Dann gilt:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Falls $\deg f > \deg g$ ist, dann hat $\frac{f}{g}$ bei $∞$ eine
|
||
Polstelle. Die Polstellenordnung ist gleich $\deg f - \deg g$.
|
||
|
||
\item Falls $\deg f = \deg g$ ist, dann hat $\frac{f}{g}$ bei $∞$ eine
|
||
hebbare Singularität.
|
||
|
||
\item Fall $\deg f < \deg g$ ist, dann hat $\frac{f}{g}$ bei $∞$ eine
|
||
Nullstelle. Die Nullstellenordnung ist gleich $\deg g - \deg f$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Wir stellen insbesondere fest: Wenn ich Vielfachheiten berücksichtige, dann
|
||
haben rationale Funktionen auf $ℙ¹$ immer genau so viele Nullstellen wie
|
||
Polstellen.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
Ich möchte in diesem Abschnitt zeigen, dass Beispiele~\ref{bsp:2-4-3} und
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||
\ref{bsp:2-4-3} bereits alle meromorphen Funktionen auf $ℙ¹$ liefern. Die
|
||
folgenden Beobachtungen helfen beim Beweis.
|
||
|
||
\begin{beobachtung}[Null-- und Polstellenmengen sind diskret]
|
||
Es sei $X$ irgendeine zusammenhängende Riemannsche Fläche und es sei $f ∈
|
||
ℳ_X(X)$ eine meromorphe Funktion, die nicht konstant $0$ ist. Dann folgt aus
|
||
dem Identitätssatz: Die Nullstellenmenge von $f$ ist diskret und
|
||
abgeschlossen. Die Polstellenmenge von $f$ ist exakt die Nullstellenmenge der
|
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Funktion $1/f$ und daher ebenfalls diskret und abgeschlossen.
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[Endlichkeit diskreter Mengen]
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Es sei $X$ ein kompakter Topologischer Raum. Erfüllt die Topologie das
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Fréchet\footnote{Maurice René Fréchet (* 2.~September 1878 in Maligny,
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Département Yonne; † 4.~Juni 1973 in Paris) war ein französischer
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Mathematiker, der grundlegende Arbeiten in der Topologie und
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Funktionalanalysis verfasste.}-Trennungsaxion $T_1$, dann sind diskrete und
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abgeschlossene Mengen endlich.
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\end{beobachtung}
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\begin{konsequenz}[Endlichkeit von Null-- und Polstellenmenge]
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Es sei $X$ eine zusammenhängende und kompakte Riemannsche Fläche, und $f ∈
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ℳ_X(X)$ nicht die Nullfunktion. Dann hat $f$ nur endlich viele Nullstellen
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und Polstellen. \qed
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\end{konsequenz}
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\begin{satz}[Meromorphe Funktionen auf $ℙ¹$]
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Jede meromorphe Funktion $f ∈ ℳ_{ℙ¹}(ℙ¹)$ ist rational,
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\[
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ℳ_{ℙ¹}(ℙ¹) = ℂ(z).
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\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei eine meromorphe Funktion $f ∈ ℳ_{ℙ¹}(ℙ¹)$ gegeben. Wir können annehmen,
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dass $f$ nicht konstant ist und bei $∞ ∈ ℙ¹$ keine Polstelle hat -- sonst
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betrachte die Funktion $1/f$. Die endlich vielen Polstellen seien dann $z_1,
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…, z_n ∈ ℂ ⊂ ℙ¹$. Sei $f_i$ der Hauptteil von $f$ am Punkt $z_i$. Dann gilt:
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\begin{itemize}
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\item Die Funktionen $f_i$ sind rational.
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\item Wir wissen aus Beispiel~\ref{bsp:2-4-4}: Die Funktionen $f_i$ hat
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haben nur bei $z_i$ eine Polstelle. Insbesondere ist $∞$ keine Polstelle
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von $f$.
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\end{itemize}
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Die meromorphe Funktion $f - \sum_{i=1}^n f_i$ hat dann überhaupt keine
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Polstellen, ist also holomorph. Nach dem Maximumsprinzip für holomorphe
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Funktionen auf kompakten Räumen, Korollar~\ref{cor:2-2-7}, ist die Funktion
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konstant. Also ist
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\[
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f = \sum_{i=1}^n f_i + \text{const}
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\]
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und deshalb selbst rational.
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\end{proof}
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% !TEX root = RiemannscheFlaechen
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