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\selectlanguage{german}
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\chapter{Komplexwertige Differenzialformen auf $ℂ$}
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\label{chap:8}
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\section{Elementare Definitionen}
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Wir betrachten im Folgenden $ℂ$ mit den üblichen Koordinatenfunktionen $z = x +
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iy$.
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\begin{definition}[Komplexer Kotangentialraum von $ℂ$]\label{def:8-1-1}%
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Es sei $ℰ = ℰ^{(0)}$ die Garbe der komplex-wertigen $𝒞^∞$-Funktionen. Gegeben
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ein Punkt $p ∈ ℂ$, betrachten wir Funktionskeime
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\[
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m_p² ⊆ m_p ⊆ ℰ_p,
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\]
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wobei
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\begin{align*}
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m_p & := \text{Funktionskeime, die bei $p$ Nullstelle haben} \\
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m²_p & := \text{Linearkombinationen von Produkten $f · g$ mit $f,g ∈ m_p$}
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\end{align*}
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und den $n$-\emph{komplexen Kotangentialraum}\index{Kotangentialraum!komplex}
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von $ℂ$ am Punkt $p$:
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\[
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T_p^* ℂ = m_p \big/ m_p².
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\]
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\end{definition}
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\sideremark{Vorlesung 12}
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\begin{lemma}
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In der Situation aus Definition~\ref{def:8-1-1} ist $\dim_{ℂ} T_p^* ℂ = 2$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Eine Basis ist $[x - p_x], [y - p_y]$. Eine andere Basis ist
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\[
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\underbrace{[x - p_x] + i\,[y - p_y]}_{= [x + iy - (p_x + ip_y)] = [z - p]},
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\quad
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\underbrace{[x - p_x] - i\,[y - p_y]}_{= [\bar{z} - \bar{p}]}.
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\]
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\end{proof}
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\begin{fakt}
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In der Situation aus Definition~\ref{def:8-1-1} sei $f ∈ ℰ_p$. Dann ist
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\begin{align*}
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[f - f(p)]
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&= \frac{∂ f}{∂ x}(p)\,[x - p_x]
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+ \frac{∂ f}{∂ y}(p)\,[y - p_y] \\
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&= \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p)
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- i\,\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right)[z - p]
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+ \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p)
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+ i\,\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right)[\bar{z} - \bar{p}] \\
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&= \frac{∂ f}{∂ z}(p)\,[z - p]
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+ \frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p)\,[\bar{z} - \bar{p}].
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\end{align*}
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\qed
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\end{fakt}
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\begin{definition}[Komplexwertige Differenzialform]
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{komplexwertige
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Differenzialform}\index{Differenzialform!komplexwertig 1.~Ordnung} 1.~Ordnung
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auf $U$ ist eine Abbildung
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\[
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η : U → \dot{\bigcup_{p ∈ U}} m_p \big/ m_p²,
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\]
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sodass für jeden Punkt $p ∈ U$ die Inklusion $η(p) ∈ m_p / m_p²$ gilt.
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\end{definition}
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\begin{bsp}[Äußere Ableitung]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ ℰ(U)$. Dann ist die Form
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\[
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df : U → \dot{\bigcup_{p ∈ U}} m_p \big/ m_p²,
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\quad
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p ↦ [f - f(p)]
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\]
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eine komplexwertige Differenzialform.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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Die komplexwertigen Differenzialformen 1.~Ordnung auf $U$ bilden einen Modul
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über dem Ring $ℰ(U)$. Es gilt
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\[
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df
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= \frac{∂ f}{∂ x}\,dx + \frac{∂ f}{∂ y}\,dy
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= \frac{∂ f}{∂ z}\,dz + \frac{∂ f}{∂ \bar{z}}\,d\bar{z}.
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\]
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\end{beobachtung}
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\begin{definition}[Komplexwertige $𝒞^∞$-Formen 1.~Ordnung]
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Eine komplexwertige Differenzialform 1.~Ordnung $η$ auf $U$ heißt
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$𝒞^∞$\index{Differenzialform!komplexwertig 1.~Ordnung!$𝒞^∞$ }, wenn sie
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lokal geschrieben werden kann als
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\[
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η = \sum f_i\,dg_i \qquad \text{mit } f_i,\, g_i ∈ ℰ.
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\]
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\end{definition}
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\begin{beobachtung}
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Die komplexwertigen $𝒞^∞$-Differentialformen 1.~Ordnung bilden eine Garbe
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(sogar eine $ℰ$-Modulgarbe), genannt $ℰ^{(1)}$.
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\end{beobachtung}
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\section{Exakte Sequenzen durch äußere Ableitung}
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Wir haben Garben $ℰ$, $ℰ^{(1)}$ und eine interessante Sequenz
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\begin{equation}\label{eq:dolbeault-d}
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0 → \underline{ℂ} → ℰ \xrightarrow{d} ℰ^{(1)}.
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\end{equation}
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Das wirft natürlich Fragen auf.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:8-1-8-2} Wie geht die Sequenz~\eqref{eq:dolbeault-d} weiter?
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\item\label{il:8-1-8-3} Wissen wir etwas über die Feinstruktur der
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Sequenz~\eqref{eq:dolbeault-d}?
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\end{enumerate}
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\subsection{Zur Frage~\ref*{il:8-1-8-3}: Feinstruktur der Sequenz~\eqref{eq:dolbeault-d}}
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Wir haben schon gesehen: Ich kann jeden Schnitt von $ℰ^{(1)}$ schreiben als
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\[
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f_1·dz + f_2·d\bar{z}, \qquad \text{wobei } f_1,\, f_2 ∈ ℰ.
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\]
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Definiere Untergarben:
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\begin{align*}
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ℰ^{1,0} & \quad … \quad \text{Differenzialformen der Form } f_1 · dz, \\
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ℰ^{0,1} & \quad … \quad \text{Differenzialformen der Form } f_2 · d\bar{z}.
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\end{align*}
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Dann ist für jede offene Menge $U ⊆ X$
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\[
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ℰ^{(1)}(U) = ℰ^{1,0}(U) ⊕ ℰ^{0,1}(U),
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\]
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und für alle $f ∈ ℰ^{(1)}(U)$ ist
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\[
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df = \underbrace{∂ f}_{\frac{∂ f}{∂ z}\,dz}
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+ \underbrace{\bar{∂} f}_{\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}\,d\bar{z}}.
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\]
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Man schreibt Sequenz~\eqref{eq:dolbeault-d} deshalb als
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\[
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0 → \underline{ℂ} → ℰ \xrightarrow{d = ∂ + \bar{∂}} ℰ^{1,0} ⊕ ℰ^{0,1} = ℰ^{(1)}.
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\]
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Man beachte die interessante Untersequenz
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\[
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0 → 𝒪_{ℂ} \longrightarrow ℰ \xrightarrow{\bar{∂}} ℰ^{0,1}.
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\]
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\begin{bemerkung}[Achtung!]
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Holomorphe Differenzialformen sind vom Typ $ℰ^{1,0}$ (holomorphe
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Differenzialform: $f·dz$ mit $f$ holomorph), aber nicht jede Differenzialform
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vom Typ $ℰ^{𝒞^∞,1,0}$ ist holomorph. Zum Beispiel ist die komplexwertige
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Differenzialform
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\[
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\sin(\bar{z}) · (x² + y²) · dz
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\]
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vom Typ $ℰ^{1,0}$ aber ganz sicher nicht holomorph.
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\end{bemerkung}
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\subsubsection*{Zur Frage~\ref*{il:8-1-8-3}: Differenzialformen 2.~Ordnung}
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\begin{erinnerung}[Lineare Algebra]
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Sei $T$ ein komplexer Vektorraum. Dann:
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\begin{align*}
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T^* &= \text{Linearformen} = \text{lineare Abb. } T → ℂ, \\
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T^* ⊗ T^* &= \text{Bilinearformen}, \\
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||
Λ² T^* &= \text{alternierende Bilinearformen}.
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\end{align*}
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Gegeben Linearformen $α, β ∈ T^*$, dann erhalten wir eine Bilinearform
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\[
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α ⊗ β\colon T ⨯ T → ℂ,
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\quad
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(\vec{v}_1, \vec{v}_2) ↦ α(\vec{v}_1) · β(\vec{v}_2)
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\]
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und eine alternierende Bilinearform
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\[
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α Λ β = α ⊗ β - β ⊗ α.
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\]
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\begin{itemize}
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\item Jede Bilinearform ist $ℂ$-Linearkombination von Bilinearformen vom
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Produkt-Typ. Ditto für alternierende Bilinearformen.
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\item Wenn $\dim T = 2$, dann ist $\dim Λ² T^* = 1$. Gegeben Basis $α, β ∈
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T^*$, dann ist $α Λ β$ Basis von $Λ² T^*$.
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\end{itemize}
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\end{erinnerung}
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\begin{kons}
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Gegeben $p ∈ ℂ$, betrachte $Λ²(T_p^*\,ℂ)^*$. Dies ist ein 1-dimensionaler
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$ℂ$-Vektorraum. Eine Basis ist $dx Λ dy$. Eine andere Basis ist $dz Λ
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d\bar{z}$. \qed
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\end{kons}
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\begin{definition}[Komplexwertige Differenzialform 2.~Ordnung]
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Eine komplexwertige Differenzialform
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2.~Ordnung\index{Differenzialform!komplexwertig 2.~Ordnung} auf offener einer
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Menge $U ⊂ ℂ$ ist eine Abbildung
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\[
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η : U → \dot{\bigcup_{p ∈ U}} Λ²(T_p^*\,ℂ)^*,
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\]
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sodass für jeden Punkt $p ∈ U$ die Inklusion $η(p) ∈ Λ²(T_p^*\,ℂ)^*$
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gilt.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Gegeben $f, g ∈ ℰ(U)$, dann ist $(df) Λ (dg)$ eine 2-Form.
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\end{bsp}
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\begin{definition}[Komplexwertige $𝒞^∞$-Differenzialform 2.~Ordnung]
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Eine komplexwertige 2-Form heißt $𝒞^∞$\index{Differenzialform!komplexwertig
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2.~Ordnung!$𝒞^∞$}, wenn sie lokal von der Form $\sum f_i · (dg_i) Λ (dh_i)$
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ist, mit $f_i, g_i, h_i ∈ ℰ$.
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\end{definition}
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\begin{beobachtung}
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Die 2-Formen bilden eine $ℰ$-Modulgarbe, genannt $ℰ^{(2)}$. Jeder Schnitt ist
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von der Form
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\[
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f(z) · dz Λ d\bar{z}
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\quad\text{beziehungsweise}\quad
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g(z) · dx Λ dy,
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\qquad \text{mit } f, g ∈ ℰ.
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\]
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\end{beobachtung}
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\begin{prop}[Äußere Ableitung]\label{prop:8-1-16}%
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Es gibt auf dem Raum $ℂ$ genau einen Garbenmorphismus $d¹ : ℰ^{(1)} →
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ℰ^{(2)}$, sodass Folgendes gilt:
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:8-1-16-1} Die Sequenz
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\[
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0 → \underline{ℂ} → ℰ \xrightarrow{d⁰} ℰ^{(1)} \xrightarrow{d¹} ℰ^{(2)} → 0
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\]
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ist ein Komplex. Mit anderen Worten: Es ist $d¹ ◦ d⁰ = 0$.
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\item Leibniz-Regel: Für jede $1$-Form $η$ und jede Funktion $f$ gilt
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$d¹(fη) = (d⁰f)Λ η + f\,(d¹η)$.
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\end{enumerate}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit. Gegeben eine $1$-Form $η$, schreibe
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\[
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η = f_1(z)\,d⁰z + f_2(z)\,d⁰\bar z.
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\]
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Dann gilt nach der Leibniz-Regel die Gleichheit
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\begin{align}
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\label{eq:8-1-16-3} d¹(η) &= (d⁰f_1)Λ d⁰z + f_1\,\underbrace{d¹d⁰z}_{=0} + (d⁰f_2)Λ d⁰\bar z + f_2\,\underbrace{d¹d⁰\bar z}_{=0} \\
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||
\label{eq:8-1-16-4} & = (d⁰f_1)Λ d⁰z + (d⁰f_2)Λ d⁰ \bar z.
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\end{align}
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Dadurch ist $d¹(η)$ eindeutig festgelegt. Um die Existenz zu zeigen, nehme
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man \eqref{eq:8-1-16-3}--\eqref{eq:8-1-16-4} als Definition und rechne nach,
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dass die Eigenschaften gelten.
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\end{proof}
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\begin{erinnerung}[Erweiterte Erinnerung aus der Analysis]
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Wenn $U ⊂ ℂ$ sternförmig ist, dann ist
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\[
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d¹(U) : ℰ^{(1)}(U) → ℰ^{(2)}(U)
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\]
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surjektiv und $\img\bigl(d⁰(U)\bigr)=\ker\bigl(d¹(U)\bigr)$. Die Sequenz
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$(x)$ ist eine exakte Sequenz von Garben.
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\end{erinnerung}
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\begin{konsequenz}
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Die Sequenz~\ref{il:8-1-16-1} ist exakt.
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\end{konsequenz}
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\begin{proof}
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Es gibt eine Basis der Topologie aus sternförmigen Mengen.
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\end{proof}
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\begin{notation}
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Die Abbildung $d¹$ aus Proposition~\ref{prop:8-1-16} heißt \emph{äußere
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Ableitung}\index{äußere Ableitung}. Sei $U⊂ ℂ$ offen. Eine $1$-Form $η ∈
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ℰ^{(1)}(U)$ heißt \emph{geschlossen}\index{geschlossene Differentialform},
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wenn $d¹(η)=0$ ist. Sie heißt \emph{exakt}\index{exakte Differenzialform},
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wenn es ein $f∈ ℰ(U)$ gibt mit $η=df$.
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\end{notation}
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% !TEX root = RiemannscheFlaechen
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