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\chapter{Orthogonale Projektion}
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In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein euklidischer
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oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, werden wir
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die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ bezeichnen.
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\section{Orthogonalität und Orthonormalität}
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Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist „orthogonal“, also „steht senkrecht
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aufeinander“. Wir definieren „orthogonal“ mithilfe des Skalarproduktes.
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\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}%
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Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer
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Vektorraum.
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\begin{enumerate}
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\item Es seien $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ zwei Vektoren. Man sagt,
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\emph{$\vec{x}$ und $\vec{y}$ sind orthogonal
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zueinander}\index{orthogonal!Vektoren} (oder \emph{$x$ steht senkrecht auf
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$y$})\index{senkrecht}, falls $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ gilt.
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Als Kurzschreibweise: $\vec{x} \perp \vec{y}$.
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\item Es seien $U$, $W ⊂ V$ Untervektorräume. Dann heißen $U$ und $W$
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\emph{orthogonal zueinander}\index{orthogonal!Untervektorräume}, falls für
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alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung $\langle \vec{u},
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\vec{w} \rangle = 0$ gilt.
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\item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann definieren
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wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales Komplement}
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als
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\[
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U^\perp := \{ \vec{v} ∈ V : \vec{v} \perp \vec{u} \text{ für alle }
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\vec{u} ∈ U \}.
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\]
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\item Eine Familie $\{ \vec{v}_i \}_{i ∈ I}$ von Vektoren aus $V$ heißt
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\emph{orthogonal}\index{orthogonal!Familie von Vektoren}, falls für alle
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Indizes $i ≠ j$ die folgende Gleichung gilt:
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\[
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\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = 0.
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\]
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Eine orthogonale Familie heißt \emph{orthonormal}\index{orthonormale Familie
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von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung $\|
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\vec{v}_i \| = 1$ gilt. Falls eine orthonormale Familie zusätzlich eine
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Basis ist, dann nenne die Familie
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\emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} und schreibe kurz: „ONB“.
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\end{enumerate}
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\end{defn}
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\begin{beobachtung}[Orthogonale Komplemente sind Untervektorräume]
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In der Situation von Definition~\ref{def:orth}, Punkt~\ref{il:8-1-1-3} ist das
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orthogonale Komplement $U^\perp$ wieder ein Untervektorraum von $V$.
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}
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In der Situation von Definition~\ref{def:orth}, Punkt~\ref{il:8-1-1-3} gilt
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folgendes: Wenn $(u_i)_{i ∈ I}$ eine Basis von $U$ ist und $\vec{v} ∈ V$
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irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn $\vec{v} \perp
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\vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
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\end{beobachtung}
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\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}%
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Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen
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Begriff von „orthogonalen Unterraum“. Die Situation war die, dass es einen
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$k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$. In dieser Situation
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war der „orthogonale Unterraum“ der Raum
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\[
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W⁰ := \{ f ∈ V^* \::\: W ⊆ \ker (f) \}.
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\]
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Manchmal hatte ich auch $W^\perp$ statt $W⁰$ geschrieben. Wir werden in
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Abschnitt~\vref{sec:dual} sehen, wie die Begriffe zusammenhängen.
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\end{rem}
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\begin{bsp}[Der Standardraum $ℝ^n$]
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Betrachten den Vektorraum $ℝ^n$ mit dem Standardskalarprodukt. Dann ist die
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Standardbasis eine Orthonormalbasis. Die Untervektorräume $\langle \vec{e}_1,
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\vec{e}_2 \rangle$ und $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal.
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Das orthogonale Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2
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\rangle$ ist $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$.
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\end{bsp}
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\section{Orthonormale Basisergänzung}
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Das folgende Beispiel zeigt, wie man zwei beliebige Vektoren orthogonal machen
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kann. Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral.
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\begin{bsp}[Rezept, um Vektoren orthogonal machen]
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Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein euklidischer oder unitärer
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Vektorraum und es seien $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ zwei Vektoren mit
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$\vec{v}_1 \ne \vec{0}$. Setze
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\[
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\vec{v}\,'_2 := \vec{v}_2 - \frac{\langle \vec{v}_2, \vec{v}_1
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\rangle}{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_1 \rangle}·\vec{v}_1.
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\]
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Dann gilt $\vec{v}_1 \perp \vec{v}\,'_2$. Zusätzlich gilt: wenn die Menge
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$\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch $\{\vec{v}_1,
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\vec{v}\,'_2\}$.
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\end{bsp}
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Wir bauen das „Rezept, um Vektoren orthogonal machen“ ein wenig aus und erhalten
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einen „Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen“.
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\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}%
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Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und
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sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jede Orthonormalbasis
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$\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m\}$ von $U$ zu einer Orthonormalbasis
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$\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$ ergänzen.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{11-1}
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\end{proof}
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\begin{kor}[Existenz von Orthonormalbasen]
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Jeder endlich-dimensionale euklidische oder unitäre Vektorraum besitzt eine
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Orthonormalbasis. \qed
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\end{kor}
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\begin{beobachtung}[Gram-Schmidt Verfahren]
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Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. Der
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Beweis des Basisergänzungssatzes~\ref{satz:8-2-2} für Orthonormalbasen liefert
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ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis $\{
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\vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$
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zu konstruieren. Man startet so:
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\begin{itemize}
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\item Normiere. $\vec{u}_1 := \frac{1}{\| \vec{v}_1 \|}·\vec{v}_1$.
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\item Definiere. $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1
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\rangle· \vec{u}_1$.
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\item Normiere. $\vec{u}_2 := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_2 \|}·\vec{u}\,'_2$.
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\end{itemize}
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Falls uns $\vec{u}_1, …, \vec{u}_k$ schon gegeben sind, gehe induktiv wie
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folgt vor:
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\begin{itemize}
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\item Definiere. $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle
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\vec{v}_{k+1}, \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$.
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\item Normiere.
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$\vec{u}_{k+1} := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_{k+1} \|}·\vec{u}\,'_{k+1}$.
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\end{itemize}
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Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB. Zusätzlich gilt für alle
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Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen $\langle \vec{u}_1,
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…, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …, \vec{v}_i \rangle$.
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\end{beobachtung}
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\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}%
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Es sei $V$ ein endlich-dimensionale euklidischer oder unitärer Vektorraum.
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Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jeder Vektor $\vec{v}
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∈ V$ eindeutig schreiben als
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\[
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\vec{v} = p(\vec{v}) + r(\vec{v}),
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\]
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wobei $p(\vec{v}) ∈ U$ ist und $r(\vec{v}) ∈ U^\perp$ ist.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{11-2}
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\end{proof}
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Der Beweis von Satz~\ref{satz:8-2-5} liefert noch eine ganze Reihe von
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Zusatzinformationen, die wir hier festhalten. Das allerwichtigste ist die
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Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als „orthogonale
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Projektion“ bezeichnen.
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\begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion]
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In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} können wir die $p(\vec{v})$ wie
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folgt ausrechnen. Wenn eine ONB $(\vec{u}_i)_i$ von $U$ gegeben ist, dann ist
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\[
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p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i.
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\]
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Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist $\ker p =
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U^\perp$. Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den Unterraum
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$U$}\index{orthogonale Projektion}.
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion minimiert Abstand zu Untervektorraum]
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In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} ist $p(\vec{v})$ genau derjenige
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Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat. Denn: Für $\vec{w}
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∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung
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\begin{align*}
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\| (p(\vec{v}) + \vec{w}) - \vec{v} \|² & = \| p(\vec{v})-\vec{v} \|² + \| \vec{w} \|² + \underbrace{\langle p(\vec{v})-\vec{v}, \vec{w} \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle \vec{w}, p(\vec{v})-\vec{v} \rangle}_{=0} \\
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& ≥ \| p(\vec{v})-\vec{v} \|².
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\end{align*}
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\end{beobachtung}
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\section{Kanonische Identifikationen}
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\subsection{Der Dualraum}
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\label{sec:dual}
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\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare
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Algebra I“ ist der des „Dualraum“. Alle Studenten lieben das. Ich erinnere:
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wenn $k$ ein Körper ist und $V$ ein $k$-Vektorraum, dann ist der Dualraum $V^*$
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genau der Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $k$. In Symbolen:
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$V^* := \Hom(V,k)$. Falls $V$ endlich-dimensional ist, haben wir bewiesen, dass
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$V$ und $V^*$ isomorph zueinander sind. Um einen konkreten Isomorphismus zu
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finden, wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und
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betrachtet dann die duale Basis $B^* = \{\vec{v}^{\:*}_1, …, \vec{v}^{\:*}_n\}$
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von $V^*$. Dabei waren die $\vec{v}^{\:*}_i : V → k$ diejenigen linearen
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Abbildungen, die die Gleichungen
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\[
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\vec{v}^{\:*}_i(\vec{v}_j) = δ_{ij}
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\]
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für alle Indizes $j$ erfüllen. Der Satz vom Wünsch-Dir-Was sagt genau, dass
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solche $\vec{v}^{\:*}_i$ existieren und durch die Gleichungen eindeutig bestimmt
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sind; wir haben in LA1 durch direkte Rechnung bewiesen, dass $B^*$ eine Basis
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von $V^*$ ist. Die Koordinatenabbildungen zu $B$ und $B^*$ liefern dann
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Isomorphismen
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\[
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\begin{tikzcd}
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||
V \ar[r, "Φ_B"] & k^n & V^* \ar[l, "Φ_{B^*}"']
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\end{tikzcd}
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\]
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und also eine Isomorphie von $V$ und $V^*$. Das große Problem bei der Sache
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war, dass die Isomorphie von der Wahl der Basis abhing, also nicht kanonisch
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war. Die zentrale Einsicht in dieser Vorlesung folgende: wenn ich auf $V$ ein
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Skalarprodukt festlege, dann gibt es eine kanonische Identifikation von $V$ und
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$V^*$.
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\begin{satz}\label{satz:8-3-1}%
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Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
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euklidischer Vektorraum. Dann ist die Abbildung
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\[
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s: V → V^*, \quad \vec{v} ↦ \langle • ,\vec{v} \rangle
|
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\]
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ein Isomorphismus.
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\end{satz}
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\video{12-1} erläutert noch einmal, was der Satz~\ref{satz:8-3-1} genau sagt.
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:8-3-1}]
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\video{12-2}
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\end{proof}
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In Bemerkung~\ref{rem:8-1-4} hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang
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zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“
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und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition~\ref{def:orth} zu klären. Der
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folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
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\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale
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Unterräume]\label{satz:8-3-3} Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$
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ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
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Untervektorraum. Weiter sei $s : V → V^*$ der kanonische Isomorphismus aus
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Satz~\ref{satz:8-3-1}. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:8-3-1-1} Es ist $s(U^\perp) = U⁰$. Insbesondere liefert die
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Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen den
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Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist $\dim U^\perp = \dim
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U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$).
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\item\label{il:8-3-1-2} Es existiert eine Zerlegung von $V$ in eine direkte
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Summe $V = U ⊕ U^\perp$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{12-3}
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\end{proof}
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\begin{kor}\label{kro:8-3-3}%
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In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit $\bigl( U^\perp
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\bigr)^\perp = U$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Es genügt, die Inklusion $U ⊂ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ zu zeigen; die
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Gleichheit folgt mithilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der
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Gleichheit der Dimensionen. Dazu verwende ich wieder meinen Textbaustein: Sei
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ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben. Die Aussage „$\vec{u} ∈ \bigl(
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U^\perp \bigr)^\perp$“ ist dann per Definition äquivalent dazu, ist zu zeigen,
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dass gilt:
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\[
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s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp.
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||
\]
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Das ist aber klar nach Definition von $U^\perp$.
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\end{proof}
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\begin{rem}
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In unendlich-dimensionalen Vektorräumen ist die Aussage von
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Korollar~\ref{kro:8-3-3} im Allgemeinen falsch!
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\end{rem}
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\subsubsection{Unitäre Vektorräume}
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Die Aussage von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt in leicht abgewandelter Form auch für
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den Fall von unitären Vektorräumen. Falls $\bigl(V, \langle •, • \rangle
|
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\bigr)$ ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum ist, dann ist die
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Abbildung $s$ bijektiv und \emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}.
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Dabei bedeutet „semi-linear“, dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$
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und alle Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen
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\[
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||
f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \quad\text{und}\quad
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||
f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x})
|
||
\]
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||
gelten.
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\begin{aufgabe}[Kanonische Identifikationen für unitäre Vektorräume]
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Schreiben Sie einen schulbuchmäßigen Beweis von Satz~\ref{satz:8-3-1} im Fall
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von unitären Vektorräumen.
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\end{aufgabe}
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||
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||
\begin{aufgabe}[Kanonische Identifikationen für unitäre Vektorräume]
|
||
Überlegen Sie sich, ob (und wenn ja: wie) Satz~\ref{satz:8-3-3} im Falle von
|
||
unitären Vektorräumen abgewandelt werden muss. Formulieren Sie den Satz und
|
||
schreiben Sie einen schulbuchmäßigen Beweis auf.
|
||
\end{aufgabe}
|
||
|
||
\begin{aufgabe}[Kanonische Identifikationen für unitäre Vektorräume]
|
||
Überlegen Sie sich, ob (und wenn ja: wie) Korollar~\ref{kro:8-3-3} im Falle
|
||
von unitären Vektorräumen abgewandelt werden muss. Formulieren Sie den Satz
|
||
und schreiben Sie einen schulbuchmäßigen Beweis auf.
|
||
\end{aufgabe}
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||
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\subsection{Quotientenräume}
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Wir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines
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Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$ identifiziert,
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der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war. Es gibt noch eine
|
||
andere kanonische Identifikation des orthogonalen Komplements mit einem
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bekannten Vektorraum.
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\begin{satz}\label{satz:8-3-6}%
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||
Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
|
||
euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann gibt es
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||
einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem Vektorraumquotienten
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||
$\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement $U^\perp$.
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||
\end{satz}
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||
\begin{proof}
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\video{12-4}
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||
\end{proof}
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||
|
||
\begin{aufgabe}[Kanonische Identifikationen für unitäre Vektorräume]
|
||
Überlegen Sie sich, ob (und wenn ja: wie) Satz~\ref{satz:8-3-6} im Falle von
|
||
unitären Vektorräumen abgewandelt werden muss. Formulieren Sie den Satz und
|
||
schreiben Sie einen schulbuchmäßigen Beweis auf.
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||
\end{aufgabe}
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||
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\section{Die adjungierte Abbildung}
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\label{sec:adAbb}
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Wir betrachten in diesem Abschnitt Abbildungen von euklidischen Vektorräumen und
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schauen, wie sich die kanonischen Identifikationen aus dem letzten Abschnitt
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unter Abbildungen verhalten --- das wird später noch sehr wichtig werden, wenn
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wir „selbstadjungierte Abbildungen“ diskutieren. Zuallererst legen wir die
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Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten.
|
||
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||
\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}%
|
||
Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und $\bigl(W, \langle •, •
|
||
\rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional euklidische Vektorräume. Die
|
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kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren Dualräumen bezeichnen wir mit
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\[
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||
s_V: V → V^* \quad\text{und}\quad s_W: W → W^*.
|
||
\]
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||
\end{situation}
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||
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\begin{erinnerung}
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||
Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung „Lineare
|
||
Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich
|
||
\[
|
||
f^* : W^* → V^*, \quad φ ↦ φ◦f.
|
||
\]
|
||
\end{erinnerung}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}%
|
||
In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
|
||
Betrachte das folgende Diagramm:
|
||
\begin{equation}\label{eq:8-5-3-1}
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=3cm]
|
||
V \arrow[r, "f"] \arrow[d, "s_V\text{, isomorph}"'] & W \arrow[d, "s_W\text{, isomorph}"]\\
|
||
V^* & W^*. \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"]
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\end{equation}
|
||
Beim Betrachten des Diagramms~\eqref{eq:8-5-3-1} fällt auf, dass die
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||
Abbildungen $s_V$ und $s_W$ von der Wahl der Skalarprodukte abhängen. Die
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||
Abbildungen $f$ und $f^*$ hängen nicht von der Wahl der Skalarprodukte ab.
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Daher können wir im Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass das
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Diagramm~\eqref{eq:8-5-3-1} kommutiert. Mit anderen Worten, wir können im
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Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦
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f$ besteht. Wir interessieren uns aber für Bedingungen, die Gleichheit der
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Abbildungen sicherstellen! Dazu beobachten wir, dass die Abbildungen $s_V$
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und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende
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Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
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\begin{equation}\label{eq:8-5-3-2}
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s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v}).
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\end{equation}
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Das lässt sich explizit hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$,
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$s_W$ und $f^*$ einsetze. Dann erhalte ich: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦
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s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von
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Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
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\begin{align*}
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\langle •, \vec{v} \rangle_V %
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= f^* ◦ \bigl\langle •, f(\vec{v}) \bigr\rangle_W %
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= \bigl\langle f(•), f(\vec{v}) \bigr\rangle_W.
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\end{align*}
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Das lässt sich noch einfacher formulieren: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W
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◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende
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Gleichheit von Skalaren gilt,
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\begin{align*}
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\langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle_V %
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= \bigl\langle f(\vec{v}_1), f(\vec{v}_2) \bigr\rangle_W.
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\end{align*}
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Etwas unpräzise können wir zusammenfassend sagen: das
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Diagramm~\eqref{eq:8-5-3-1} kommutiert genau dann, wenn die Abbildung $f$ die
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Skalarprodukte respektiert.
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\end{beobachtung}
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Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren.
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\begin{defn}[Adjungierte Abbildung]
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In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
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Die Kompositionsabbildung
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\[
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s^{-1}_V◦f^*◦s_W : W → V
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\]
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heißt \emph{die an $f$ adjungierte Abbildung}\index{adjungierte Abbildung} und
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wird mit dem Symbol $f^{\ad}$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}%
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In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
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Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item Die Abbildung $f^{\ad} : W → V$ ist linear.
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\item\label{il:8-5-4-2} Für alle Vektoren $\vec{v} ∈ V$ und $\vec{w} ∈ W$ gilt
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die folgende Gleichheit von Skalaren,
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\[
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\left\langle f(\vec{v}), \vec{w} \right\rangle_W %
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= \left\langle \vec{v}, f^{\text{ad}}(\vec{w}) \right\rangle_V
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\]
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\sideremark{Vorlesung 13}\video{13-1}
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\end{proof}
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\begin{prop}\label{prop:8-4-6}%
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In der Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$
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gegeben. Dann ist $f^{\ad} : W → V$ die einzige lineare Abbildung $W → V$,
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die Eigenschaft~\ref{il:8-5-4-2} erfüllt.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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\video{13-2}
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\end{proof}
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\begin{kor}
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In der Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$
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gegeben. Dann ist $(f^{\ad})^{\ad} = f$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Das folgt aus Proposition~\ref{prop:8-4-6}; Details sind Hausaufgabe.
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\end{proof}
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\subsection{Unitäre Vektorräume}
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Die Aussagen dieses Abschnittes gelten in leicht abgewandelter Form auch für
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unitäre Vektorräume.
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\begin{aufgabe}[Adjungierte Abbildung für unitäre Vektorräume]
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Finden Sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie
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schulbuchmäßige Beweise dieser Aussagen auf.
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\end{aufgabe}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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