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\selectlanguage{german}
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\chapter{Das Standardskalarprodukt im $ℝ^n$}
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\label{chap:eukl}
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\section{Die Euklidische Norm und der Euklidische Abstand}
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\label{sec:end}
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\sideremark{Vorlesung 7}Bislang hatten wir in der Vorlesung „nur“ Vektorräume
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und lineare Abbildungen betrachtet. Viele Vektorräume, die einem in der freien
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Wildbahn begegnen haben aber noch mehr Struktur: es existiert oft ein Begriff
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von „Länge“ oder „Norm“ eines Vektors. Ich diskutiere diesen Begriff zuerst
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anhand der bekannten Euklidischen Länge des $ℝ^n$. Später diskutieren wir dann
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beliebige Vektorräume.
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\begin{defn}[Euklidische Norm auf dem $ℝ^n$]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung
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\[
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\begin{matrix}
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\| • \| & : & ℝ^n & → & ℝ \\
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& &
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\begin{pmatrix}
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x_1 \\
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\vdots \\
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x_n
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\end{pmatrix}
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& ↦ & \sqrt{ \sum_{i=1}^n x²_i}
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\end{matrix}
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\]
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heißt \emph{Euklidische Norm auf dem
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$ℝ^n$}\index{Norm!Euklidische}\index{Euklidische Norm auf dem $ℝ^n$}.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Euklidischer Abstand auf dem $ℝ^n$]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung
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\[
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\begin{matrix}
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d & :& ℝ^n ⨯ ℝ^n & → & ℝ \\
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&& (x,y) & ↦ & \|x-y\|
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\end{matrix}
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\]
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heißt \emph{Euklidischer Abstand auf dem $ℝ^n$}\index{Abstand|see{Metrik}}
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oder \emph{Euklidische Metrik auf dem
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$ℝ^n$}\index{Metrik!Euklidische}\index{Euklidische Metrik auf dem $ℝ^n$}.
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\end{defn}
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Konkret rechnet man also $\|x-y\| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)²}$.
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\section{Abstandserhaltende Abbildungen}
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Ähnlich wie bei den linearen Abbildungen (welche die Struktur des Vektorraumes
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respektieren) interessiere ich mich für Abbildungen, die die Euklidische Norm
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beziehungsweise den Euklidischen Abstand respektieren.
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\begin{defn}
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Abbildung $φ: ℝ^n → ℝ^n$ heißt
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\emph{abstandserhaltend bezüglich der Euklidischen
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Norm}\index{abstandserhaltende Abbildung|see{metrikerhaltende Abbildung}} oder
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\emph{metrikerhaltend bezüglich der Euklidischen Norm}\index{metrikerhaltende
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Abbildung!bezüglich der Euklidischen Norm}, falls gilt:
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\[
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d \bigl( φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr) = d(\vec{x},\vec{y}), \quad \text{für alle } \vec{x},
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\vec{y} ∈ ℝ^n.
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\]
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\end{defn}
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\begin{bsp}[Translationen]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $\vec{v} ∈ ℝ^n$ ein Vektor. Die
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Abbildung
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\[
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T_{\vec{v}} : ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ \vec{x}+\vec{v}
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\]
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ist abstandserhaltend bezüglich der Euklidischen Norm. Man nennt Abbildungen
|
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dieser Form \emph{Translationen}\index{Translation}.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Spiegelungen und Drehungen der Ebene $ℝ²$ sind abstandserhaltend.
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\end{bsp}
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\subsection{Die Gruppenstruktur}
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Wir nennen gleich einige einfache Eigenschaften von abstandserhaltenden
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Abbildungen.
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\begin{lem}[Einfache Eigenschaften abstandserhaltender Abbildungen]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $φ: ℝ^n → ℝ^n$ sei abstandserhaltend bezüglich
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der Euklidischen Norm. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:5-2-4-1} Die Abbildung $φ$ ist bijektiv.
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\item\label{il:5-2-4-2} Die Umkehrabbildung $φ^{-1}$ ist ebenfalls
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abstandserhaltend.
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\end{enumerate}
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Zusätzlich gilt:
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:5-2-4-3} Die Verknüpfung abstandserhaltender Abbildungen ist
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abstandserhaltend.
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\end{enumerate}
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Wir beweisen die Teilaussage „$φ$ ist injektiv“ von \ref{il:5-2-4-1}:
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angenommen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ seien zwei Vektoren mit $φ(\vec{v}_1) =
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φ(\vec{v}_2)$. Dann ist
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\[
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d(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = d\bigl( φ(\vec{v}_1), φ(\vec{v}_2) \bigr) = 0.
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\]
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Also ist $\vec{v}_1 = \vec{v}_2$, was zu beweisen war. Die Teilaussage „$φ$
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ist surjektiv“ beweise ich nicht. Die Beweise von \ref{il:5-2-4-2} und
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\ref{il:5-2-4-3} lasse ich Ihnen als Übungsaufgabe.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Abstandserhaltenden Abbildungen bilden Gruppe]\label{kor:5-2-5}
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Abstandserhaltende Abbildungen bilden mit der Verknüpfung eine Untergruppe der
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Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen $\Bij(ℝ^n)$. \qed
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\end{kor}
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\section{Orthogonale Transformationen}
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\label{sec:orthTrafo}
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Das Ziel im laufenden Kapitel~\ref{chap:eukl} ist, die abstandserhaltenden
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Abbildungen zu verstehen. Die folgende Beobachtung vereinfacht das Problem
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enorm.
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\begin{beobachtung}
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ irgendeine
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abstandserhaltende Abbildung und $\vec{c} := φ(\vec{0})$. Dann ist die
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Abbildung
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\[
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ψ: ℝ^n → ℝ^n, \quad \vec{x} ↦ φ(\vec{x}) - \vec{c}
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\]
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wieder abstandserhaltend. Zusätzlich gilt: $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
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\end{beobachtung}
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Um alle abstandserhaltenden Abbildungen zu kennen, genügt es also, diejenigen
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abstandserhaltenden Abbildungen zu verstehen, die den Nullvektor wieder auf den
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Nullvektor abbilden. Solche Abbildungen heißen „orthogonale Transformation“.
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\begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}%
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine \emph{orthogonale Transformation des $ℝ^n$
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bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des
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$ℝ^n$!orthogonal bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine
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abstandserhaltende Abbildung $ψ: ℝ^n ˝→ ℝ^n$ mit $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
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\end{defn}
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\subsection{Die Gruppenstruktur}
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Genau wie in Korollar~\ref{kor:5-2-5} stellen wir fest, dass die orthogonale
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Transformation eine Gruppe bilden.
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\begin{defn}[Orthogonale Gruppe]\label{def:5-3-3}
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die orthogonalen Transformationen bilden mit der
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Verknüpfung eine Untergruppe der Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen
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$\Bij(ℝ^n)$. Man nennt diese Gruppe die \emph{orthogonale Gruppe des $ℝ^n$
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bezüglich der Euklidischen Norm}\index{orthogonale Gruppe!des $ℝ^n$
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bezüglich der Euklidischen Norm}.
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\end{defn}
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\section{Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$}
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Wir wollen alle orthogonalen Transformationen beschreiben. Das wesentliche
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Hilfsmittel dabei ist das „Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$“.
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\begin{defn}[Standardskalarprodukt $ℝ^n$]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Abbildung
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\[
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\begin{matrix}
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||
\langle •, • \rangle & : & ℝ^n ⨯ ℝ^n & → & ℝ \\
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||
& &
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||
\left(
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\begin{pmatrix}
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x_1 \\
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\vdots \\
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x_n
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\end{pmatrix},
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\begin{pmatrix}
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y_1 \\
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\vdots \\
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||
y_n
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||
\end{pmatrix}
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\right)
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& ↦ & \sum_{i=1}^n x_i·y_i
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\end{matrix}
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\]
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heißt \emph{Standardskalarprodukt $ℝ^n$}\index{Standardskalarprodukt!auf $ℝ^n$}.
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\end{defn}
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Das Standardskalarprodukt ist natürlich schrecklich wichtig. Die folgenden
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einfachen Eigenschaften rechnet man sofort nach. Ich verzichte deshalb auf einen
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Beweis. Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere
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Eigenschaft einmal selbst?
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\begin{lem}[Einfache Eigenschaften des Standard-Skalarprodukts]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gilt Folgendes.
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\begin{description}
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||
\item[Linearität im ersten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
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||
$\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
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\[
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||
\langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{z}
|
||
\rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{z} \rangle.
|
||
\]
|
||
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||
\item[Linearität im zweiten Argument] Für alle $\vec{x}, \vec{y}$ und
|
||
$\vec{z} ∈ ℝ^n$ und alle $λ ∈ ℝ$ gilt
|
||
\[
|
||
\langle \vec{x}, \vec{y} + λ·\vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y}
|
||
\rangle + λ·\langle \vec{x}, \vec{z} \rangle.
|
||
\]
|
||
|
||
\item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$ gilt $\langle \vec{x},
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||
\vec{x} \rangle ≥ 0$. Außerdem gilt $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0 ⇔
|
||
\vec{x} = \vec{0}$.
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||
\item[Symmetrie] Für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
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$\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle$.
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||
\item[Satz des Pythagoras]\index{Pythagoras!für $ℝ^n$} Für alle $\vec{x}$
|
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und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ gilt
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\[
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||
\| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·\langle \vec{x}, \vec{y}
|
||
\rangle + \| \vec{y} \|². \eqno \qed
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||
\]
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||
\end{description}
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\end{lem}
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Die folgenden Begriffe sind sehr viel wichtiger, als es im Moment vielleicht
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scheint.
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\begin{defn}[Orthogonale Vektoren]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Man nennt zwei Vektoren $\vec{x}$ und
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$\vec{y} ∈ ℝ^n$ \emph{zueinander orthogonal}, falls
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$\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ ist\index{orthogonal!Paar von
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Vektoren}.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Orthonormalbasis]
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Eine Basis $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\} ⊂ ℝ^n$ heißt \emph{Orthonormalbasis
|
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bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter
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Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass $\langle \vec{v}_i,
|
||
\vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das Kronecker-Delta
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bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Die Standardbasis des $ℝ^n$ ist eine Orthonormalbasis bezüglich des
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Standardskalarprodukts.
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\end{bsp}
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Die folgende einfache Beobachtung und für viele der folgenden Beweise zentral.
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\begin{beobachtung}[Coefficient Picking]\label{bem:Ortho}
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Es sei eine Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ von Vektoren des $ℝ^n$
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gegeben, wobei $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$ sei. Weiter sei
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$\vec{x} ∈ ℝ^n$ ein Vektor, den ich als Linearkombination darstellen kann:
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\[
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\vec{x} = \sum_{i=1}^n λ_i·\vec{v}_i .
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\]
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Um die Koeffizienten $λ_i$ auszurechnen, muss ich normalerweise komplizierte
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Gleichungssysteme lösen. Hier ist alles viel einfachen, denn es gilt für
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jeden Index $j$
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\[
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\langle \vec{x}, \vec{v}_j \rangle %
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= \left\langle \sum λ_i·\vec{v}_i, \vec{v}_j \right\rangle %
|
||
= \sum λ_i·\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle %
|
||
= \sum λ_i·δ_{ij} = λ_j.
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||
\]
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||
Ich kann den Koeffizienten $λ_j$ also durch ein Skalarprodukt ausrechnen. Das
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geht meist \emph{viel} schneller als das Lösen von Gleichungssystemen!
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\end{beobachtung}
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\subsection{Standardskalarprodukt und orthogonale Transformationen}
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Was haben orthogonale Transformationen mit dem Standardskalarprodukt zu tun?
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Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
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\begin{lem}[Abbildung $φ$ erhält das Standardskalarprodukt]\label{lem:5-4-7}
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Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
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Euklidischen Abstands. Dann gilt für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ die
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Gleichung
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\[
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||
\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle.
|
||
\]
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ ℝ^n$ gegeben. Dann gilt
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\begin{align*}
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\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle &= -\langle \vec{x}, -\vec{y} \rangle \\
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&= -\frac{1}{2} \Bigl( \| \vec{x} - \vec{y} \|² - \| \vec{x} \|² - \| -\vec{y} \|² \Bigr) && \text{Pythagoras} \\
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||
&= -\frac{1}{2} \Bigl( d(\vec{x},\vec{y})² - d \bigl(\vec{x},\vec{0}\bigr)² - d\bigl(\vec{y},\vec{0}\bigr)² \Bigr) && \text{Definition}\\
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||
&= -\frac{1}{2} \Bigl( d\bigl(φ(\vec{x}),φ(\vec{y})\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{x}),\vec{0}\bigr)² - d\bigl(φ(\vec{y}),\vec{0}\bigr)² \Bigr) && φ\text{ ist abstandserhaltend}\\
|
||
&= -\frac{1}{2} \Bigl( \| φ(\vec{x}) - φ(\vec{y}) \|² - \| φ(\vec{x}) \|² - \|-φ(\vec{y}) \|² \Bigr) && \text{Definition}\\
|
||
&= -\bigl\langle φ(\vec{x}), -φ(\vec{y}) \bigr\rangle = \bigl\langle φ(\vec{x}), φ(\vec{y}) \bigr\rangle. && \text{Pythagoras.}
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||
\end{align*}
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Damit ist das Lemma bewiesen.
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\end{proof}
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\begin{lem}[Bild von ONB unter orthogonaler Transformation ist ONB]\label{claim:5-4-8}%
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Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
|
||
Euklidischen Abstands und es sei $\vec{v}_1, …, \vec{v}_n$ eine
|
||
Orthonormalbasis des $ℝ^n$. Dann ist $φ(\vec{v}_1), …, φ(\vec{v}_n)$ wieder
|
||
eine Orthonormalbasis des $ℝ^n$.
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||
\end{lem}
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||
\begin{proof}
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\video{7-1}
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\end{proof}
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||
\section{Beschreibung der orthogonalen Transformationen}
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\label{sec:5-5}
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||
Mithilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen
|
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Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden Abbildungen)
|
||
vollständig beschreiben.
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||
\begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1}
|
||
Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
|
||
Euklidischen Abstands. Dann ist die Abbildung $φ$ linear.
|
||
\end{satz}
|
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\begin{proof}
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||
Für jeden Index $i$ setze $\vec{v}_i := φ(e_i)$. Nach Lemma~\ref{claim:5-4-8}
|
||
bilden Sie $v_i$ dann eine ONB des $ℝ^n$ bilden. Überlegen Sie sich folgendes
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als Hausaufgabe: um die Linearität von $φ: ℝ^n → ℝ^n$ zu zeigen, genügt es
|
||
also, zu zeigen, dass für alle Indizes $j$ die $ℝ$-wertigen Abbildungen
|
||
\[
|
||
η_j : ℝ^n → ℝ, \quad \vec{x} ↦ \langle φ(\vec{x}), \vec{v}_j \rangle
|
||
\]
|
||
allesamt linear sind. Sei also ein Index $j$ gegeben, seien $\vec{x}$,
|
||
$\vec{y} ∈ ℝ^n$ und sei $λ ∈ ℝ$. Dann gilt
|
||
\begin{align*}
|
||
η_j(\vec{x}+λ·\vec{y}) &= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
|
||
&= \langle φ(\vec{x} + λ·\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle\\
|
||
&= \langle \vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
|
||
&= \langle \vec{x}, \vec{e}_j \rangle + λ·\langle \vec{y}, \vec{e}_j \rangle && \text{Linearität in der 2.~Kpte.}\\
|
||
&= \langle φ(\vec{x}), φ(\vec{e}_j) \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), φ(\vec{e}_j) \rangle && \text{Lemma~\ref{lem:5-4-7}} \\
|
||
&= \langle φ(\vec{x}), \vec{v}_j \rangle + λ·\langle φ(\vec{y}), \vec{v}_j \rangle \\
|
||
&= η_j(\vec{x}) + λ·η_j(\vec{y}).
|
||
\end{align*}
|
||
Damit ist die Linearität gezeigt. \qed
|
||
\end{proof}
|
||
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||
\begin{satz}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-2}
|
||
Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis
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||
des $ℝ^n$ durch die Matrix $Q$ dargestellt wird. TFAE:
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Die Abbildung $φ$ ist eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$
|
||
bezüglich des Euklidischen Abstands.
|
||
|
||
\item Die Matrix $Q$ erfüllt die Gleichung $Q^t·Q = \Id_{n ⨯ n}$, wobei $Q^t$
|
||
wie üblich die zu $Q$ transponierte Matrix bezeichnet.
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||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
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||
\video{7-2}
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||
\end{proof}
|
||
|
||
Wenn eine Matrix $A ∈ Gl_n(ℝ)$ die Gleichung $A^t·A = \Id_{n ⨯ n}$ erfüllt, ist
|
||
es \emph{extrem} einfach, die inverse Matrix $A^{-1}$ auszurechnen. Ich brauche
|
||
keine Gleichungssysteme und keinen langwierigen Gauß-Algorithmus.
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||
|
||
\begin{defn}[Orthogonale Matrix]\label{def:5-5-3}
|
||
Eine Matrix $A ∈ Gl_n(ℝ)$ heißt \emph{orthogonal}\index{orthogonal!Matrix},
|
||
falls die Gleichung $A^t·A = \Id_{n ⨯ n}$.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{defn}[Orthogonale Gruppe]
|
||
Die orthogonalen Matrizen bilden eine Untergruppe von $Gl_n(ℝ)$, genannt
|
||
\emph{Gruppe der orthogonalen Matrizen}\index{orthogonale Gruppe!Matrizen}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
Es ist üblich, die Gruppe der orthogonalen Matrizen auch kurz mit „orthogonale
|
||
Gruppe“ zu bezeichnen, obwohl sich das mit der Definition~\vref{def:5-3-3}
|
||
überschneidet. Um Verwirrung zu vermeiden, bevorzuge ich die ausführliche Form.
|
||
|
||
% !TEX root = LineareAlgebra2
|