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\chapter{Bilineare und multilineare Abbildungen}

\sideremark{Vorlesung 20}Ich beende die Vorlesung mit einem Kapitel über
``multilineare Algebra''.  In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
und multilineare Algebra systematisch einführen.  Der zentrale Begriff ist das
``Tensorprodukt''.  Bevor wir richtig ``multi'' werden, diskutiere ich erst noch
einmal bilineare Abbildungen und Funktionen.  Einige Beispiele für Bilinearität
kennen Sie schon.

\begin{bsp}[Bilineare Funktion]
  Skalarprodukte auf Euklidischen Vektorräumen sind bilinear.  Das bedeutet, die
  Abbildung $V ⨯ V → ℝ$ ist im ersten und im zweiten Argument linear.
\end{bsp}

Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein.

\begin{defn}[Bilineare Abbildungen]
  Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume.  Eine
  \emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
  $s: U ⨯ V → W$, so dass Folgendes gilt.
  \begin{description}
  \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
    $\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U, \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
    \[
      s(\vec{u}_1 + λ·\vec{u}_2, \vec{v}) = s(\vec{u}_1, \vec{v}) +
      λ·s(\vec{u}_2, \vec{v}).
    \]
  \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle
    $\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
    \[
      s(\vec{u}, \vec{v}_1 + λ \vec{v}_2) = s(\vec{u}, \vec{v}_1) + λ
      s(\vec{u}, \vec{v}_2).
    \]
  \end{description}
\end{defn}

Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle.

\begin{bsp}
  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V, W$ zwei $k$-Vektorräume und es seien
  lineare Funktionale $f ∈ V^*$ und $g ∈ W^*$ gegeben.  Dann ist die folgende
  Abbildung bilinear,
  \[
    V ⨯ W → k, \quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ f(\vec{v}) · g(\vec{w}).
  \]
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V$, $W$ und $U$ drei $k$-Vektorräume.  Dann
  ist die folgende Abbildung bilinear,
  \[
    \Hom_k(V, W) ⨯ \Hom_k(W, U) → \Hom_k(V, U), \quad (f, g) ↦ g ◦ f.
  \]
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann ist
  folgende Abbildung bilinear,
  \[
    V^*⨯W → \Hom_k(V, W), \quad (f, \vec{w}) ↦ \big(\vec{v} ↦ f(\vec{v})·\vec{w}\big).
  \]
\end{bsp}

\subsection*{Multilineare Abbildungen}

Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind
Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, so dass ….  Ich habe vom Tippen
schon wunde Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
zusammenbekommen.  Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.

\begin{bsp}[$n$-lineare Funktion]
  Betrachte die Determinantenabbildung
  \[
    \det : \Mat(n⨯ n, k) → k.
  \]
  Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den
  Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum
  $V ⨯ ⋯ ⨯ V$ identifizieren.  Wir erhalten also eine Abbildung
  \[
    \det : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → k.
  \]
  Aus dem ersten Semester wissen wir: diese Abbildung ist in jeder Komponente
  linear.
\end{bsp}

% !TEX root = LineareAlgebra2
</pre></body></html>