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\chapter{Euklidische und unitäre Vektorräume}
\label{sec:7}

\sideremark{Vorlesung 10}Wir haben im Kapitel~\ref{chap:eukl} das
Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ kennen gelernt.  Im
Kapitel~\ref{sec:bskalar} haben wir diesen Begriff auf beliebige
(endlich-dimensionale) reelle und komplexe Vektorräume verallgemeinert.  In
diesem Kapitel möchte ich Vektorräume mit Skalarprodukt systematisch diskutieren,
und Begriffe wie ``Norm'', ``Abstand'', ``Metrik'' und ``Orthogonalität'', die
wir zuerst am Beispiel des $ℝ^n$ kennen gelernt haben, jetzt in größerer
Allgemeinheit systematisch einführen.  Zuerst einmal kommen jede Menge
Definitionen und eine langweilige Rechnung, deshalb auch im Moment kein
Erklärvideo.

\begin{defn}[Euklidische und unitäre Vektorräume]
  Ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter
  symmetrischer Bilinearform) heißt \emph{Euklidischer
    Vektorraum}\index{Euklidischer Vektorraum}.  Ein komplexer Vektorraum
  zusammen mit einem Skalarprodukt (=positiv definiter Hermitescher
  Sequilinearform) heißt \emph{unitärer Vektorraum}\index{unitär!Vektorraum}.
\end{defn}


\section{Normen auf Vektorräumen}

In Abschnitt~\ref{sec:end} hatten wir die Euklidische Norm und den Euklidische
Abstand auf dem $ℝ^n$ definiert.  Jetzt machen wir das allgemein, für
beliebige reelle oder komplexe Vektorräume, und für beliebige Mengen.

\begin{erinnerung}[Betrag einer komplexen Zahl]
  Gegeben eine komplexe Zahl $λ = a+b·i ∈ ℂ$, dann nennen wir die reelle Zahl
  $\sqrt{a²+b²} = \sqrt{λ\overline{λ}}$ die \emph{Norm von $λ$}\index{Norm!einer
    komplexen Zahl} oder \emph{Betrag von $λ$}\index{Betrag einer komplexen
    Zahl} oder \emph{Absolutbetrag von $λ$}\index{Absolutbetrag einer komplexen
    Zahl}.  Man schreibt auch $\|λ\|$ oder $|λ|$.
\end{erinnerung}

\begin{defn}[Norm auf komplexen oder reellen Vektorraum]\label{def:norm}
  Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.
  Eine \emph{Norm}\index{Norm} auf ist eine Abbildung $\| · \|: V → ℝ$, so dass
  folgende Eigenschaften gelten.
  \begin{description}
  \item[Absolute Homogenität] Für alle $\vec{x} ∈ V$ und alle $λ ∈ k$ gilt:
    $\| λ · \vec{x} \| = |λ| · \| \vec{x} \|$.
    
  \item[Dreiecksungleichung] Für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gilt:
    $\| \vec{x} + \vec{y} \| ≤ \| \vec{x} \| + \| \vec{y} \|$
        
  \item[Positive Definitheit] Für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
    $\| \vec{x} \| = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
  \end{description}
\end{defn}

\begin{notation}[Normierte Vektorräume]
  \index{normiert!Vektorraum}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.
  Ein normierter $k$-Vektorraum $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ist ein
  $k$-Vektorraum $V$ zusammen mit einer Norm $\|•\|$.
\end{notation}

\begin{notation}[Normierte Vektorräume]
  \index{normiert!Vektor}Es sei $k = ℚ$ oder $k = ℝ$ oder $k = ℂ$.  und es
  sei $\bigl( V, \|•\|\bigr)$ ein normierter $k$-Vektorraum.  Ein Vektor
  $\vec{v} ∈ V$ heißt \emph{normiert}, falls $\|\vec{v}\| = 1$ ist.
\end{notation}

Wir halten gleich zwei wesentliche Eigenschaften von Normen fest, die
unmittelbar aus der Definition folgen.

\begin{bemerkung}[Nicht-negativität von Normen]
  In der Situation von Definition~\ref{def:norm} sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein
  Vektor.  Dann gilt
  \[
    0 = \| \vec{0} \| = \| \vec{x} - \vec{x} \| ≤ \| \vec{x} \| + \|
    -\vec{x} \| = \| \vec{x} \| + \| \vec{x} \| = 2\| \vec{x} \|.
  \]
  Also ist $\| \vec{x} \| ≥ 0$ für alle $\vec{x} ∈ V$.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
  \index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
  Definition~\ref{def:norm} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren
  $\vec{x}$ und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
  \[
    \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
    \vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
  \]
\end{bemerkung}


\subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen}

Als erstes und wichtigstes Beispiel von Normen möchte ich zeigen, dass jedes
Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert.  Also liefern die
Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennen gelernt haben,
sofort Beispiele für Normen.

\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin}
  Wenn $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder
  unitärer Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung
  \[
    \|•\| : V → ℝ, \quad \vec{x} ↦ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle}
  \]
  eine Norm.
\end{satz}

Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine
ziemliche Rechnerei.  Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung,
die sie vielleicht aus der Vorlesung ``Analysis'' schon kennen.

\begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]
  Sei V unitär oder euklidisch.  Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y}
  ∈ V$
  \[
    |\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| ≤ \sqrt{\langle \vec{x},
      \vec{x} \rangle} \sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle} .
  \]
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch unangenehme Rechnerei]
  Seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ gegeben und es sei $λ$ ein Skalar.  Für
  $\vec{y} = \vec{0}$ ist die Aussage klar.  Sei also $\vec{y} ≠ 0$.  Dann ist
  wegen positiver Definitheit der Hermiteschen Form
  \begin{align*}
    0 ≤ \langle \vec{x} - λ·\vec{y}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle &= \langle \vec{x}, \vec{x} - λ·\vec{y} \rangle - λ·\langle\vec{y},\vec{x}- λ·\vec{y}\rangle\\
                                                                 &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle - λ· \langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + λ \overline{λ}· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
                                                                 &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \overline{λ}·\overline{\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle} - λ·\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle + |λ|²·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle.
  \end{align*}
  Jetzt betrachte den Spezialfall wo
  $λ= \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y},
    \vec{y} \rangle}$ ist.  Dann ergibt sich
  \begin{align*}
    && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle - \frac{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle} - \frac{\overline{\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle}}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle}· \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle + \frac{|\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|²}{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle²}·\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
    ⇒ && 0 &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² - |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² + |\langle \vec{y}, \vec{x}\rangle|²\\
    ⇒ && |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle|² &≤ \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle· \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle\\
    ⇒ && |\langle \vec{y}, \vec{x} \rangle| &≤ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle}·\sqrt{\langle \vec{y}, \vec{y} \rangle},
  \end{align*}
  womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:sin}]
  Um zu zeigen, dass die Abbildung $\|•\| : V → ℝ$ aus
  Satz~\ref{satz:sin} tatsächlich eine Norm ist, müssen wir die drei
  Eigenschaften ``absolute Homogenität'', ``Dreiecksungleichung'' und ``positive
  Definitheit'' zeigen.  Auf geht's.

  \bigskip\noindent\emph{Absolute Homogenität.} Es sei $\vec{x} ∈ V$ irgendein
  Vektor und es sei $λ$ irgendein Skalar.  Dann ist
  \[
    \| λ·\vec{x} \| = \sqrt{\langle λ·\vec{x}, λ·\vec{x} \rangle} %
    = \sqrt{λ \overline{λ}· \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} %
    = \sqrt{|λ|²·\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} = |λ|\sqrt{\langle x, x \rangle} = |λ| ·
    \| x \| .
  \]
  Damit ist die absolute Homogenität gezeigt.

  \bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
  beliebige Vektoren.  Dann folgt mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
  folgendes.
  \begin{align*}
    \| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\
                 &= \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle + \langle \vec{y}, \vec{y} \rangle + \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle + \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle\\
                 &= \| \vec{x} \|² + \| \vec{y} \|² + \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle + \overline{\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle}\\
                 &= \| \vec{x} \|² + \| \vec{y} \|² + 2 · Re \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle\\
                 &≤ \| \vec{x} \|² + \| \vec{y} \|² + 2· \| \vec{x} \|· \| \vec{y} \|\\
                 &= \bigl( \| \vec{x} \| + \| \vec{y} \| \bigr)².
  \end{align*}
  Wurzelziehen liefert die Dreiecksungleichung.

  \bigskip\noindent\emph{Positive Definitheit.} Die positive Definitheit folgt
  leicht wegen der positiven Definitheit des Skalarprodukts.  Damit ist
  Satz~\ref{satz:sin} bewiesen.
\end{proof}


\subsection{Beispiele: Normen, die von Normen kommen}

Normen auf Vektorräumen induzieren Normen auf den Dualräumen und den Hom-Räumen,
die in der angewandten Mathematik und in der Analysis schrecklich wichtig sind.
Ich diskutiere hier nur den einfachsten Fall und verzichte auf alle Beweise (die
ein wenig Analysis voraussetzen).

\begin{bsp}[Operatornorm]\label{bsp:opNorm}
  Es seien $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ und $\bigl( W, \|•\|_W\bigr)$
  zwei endlich-dimensionale, normierte, reelle Vektorräume.  Dann definiert die
  Abbildung
  \[
    \|•\|_{\operatorname{op}} : \Hom_{ℝ}(V,W) → ℝ, \quad %
    f ↦ \max \{ \|f(\vec{v})\|_W \::\: \vec{v} ∈ V \text{ und }
    \|\vec{v}\|_V = 1\}
  \]
  eine äußerst wichtige Norm auf dem Raum der linearen Abbildungen, genannt
  \emph{Operatornorm}\index{Operatornorm}.  Die Operatornorm wird in der
  angewandten Mathematik für Abschätzungen verwendet.  Sie ist deshalb so
  nützlich, weil für jeden Vektor $\vec{v} ∈ V$ die Ungleichung
  \[
    \| f(\vec{v})\|_W ≤ \|f\|_{\operatorname{op}}·\| \vec{v}\|_V
  \]
  gilt.
\end{bsp}

Im besonders einfachen Fall, wo $W = ℝ$ mit der üblichen Norm ist, liefert
Beispiel~\ref{bsp:opNorm} eine Norm auf dem Dualraum.

\begin{bsp}[Norm auf dem Dualraum]
  Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein endlich-dimensionaler, normierter,
  reeller Vektorraum.  Dann definiert die Abbildung
  \[
    \|•\|_{\operatorname{op}} : V^* → ℝ, \quad f ↦ \max \{ |f(\vec{v})| \::\: \vec{v} ∈ V \text{ und } \|\vec{v}\|_V = 1\}
  \]
  eine Norm auf dem Dualraum.
\end{bsp}


\subsection{Weitere Beispiele für Normen}

Es gibt noch einige weitere Beispiele für Normen, die nicht offensichtlich von
Skalarprodukten kommen.  Ich nenne (wieder ohne Beweis) zwei der bekanntesten
Beispiele.

\begin{bsp}[Manhattan-Norm]\label{bsp:manhatNorm}
  Die Manhattan-Norm auf dem Vektorraum $ℝ^n$ ist gegeben als
  \[
    \| • \|_1 : ℝ^n → ℝ, \quad
    \begin{pmatrix}
      x_1 \\ \vdots \\ x_n
    \end{pmatrix}
    ↦ \sum_{i=1}^{n} |x_i| .
  \]
\end{bsp}

\begin{bsp}[Maximumsnorm für stetige Funktionen]
  Sei $V = \cC⁰([0,1], ℝ)$ der reelle Vektorraum der stetigen, reell-wertigen
  Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1]$, dann definiere die
  \emph{Maximumsnorm}\index{Maximumsnorm!für stetige Funktionen} wie folgt
  \[
    \| • \|_{∞} : V → ℝ, \quad f ↦ \max\{|f(x)| : 0≤x≤1\} .
  \]
\end{bsp}

\begin{bsp}[Einschränkungen von Normen]
  Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$
  sei ein Untervektorraum.  Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma
  auf $W$.
\end{bsp}


\section{Metriken}

\sideremark{Vorlesung 11}Genau wie in Abschnitt~\ref{sec:end} können wir mit
Hilfe einer Norm einen Begriff von ``Abstand'' oder ``Metrik'' definieren.  Der
Begriff ``Metrik'' ist aber viel allgemeiner und hat nichts mit Vektorräumen zu
tun; wir definieren Metriken ganz allgemein auf beliebigen Mengen.

\begin{defn}[Metrik]
  Sei $M$ eine Menge.  Eine Metrik\index{Metrik} auf $M$ ist eine Abbildung
  $d: M ⨯ M → ℝ$, so dass Folgendes gilt.
  \begin{description}
  \item[Symmetrie] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,y) = d(y,x)$.
    
  \item[Dreiecksungleichung] Für alle $x, y, z ∈ M$ gilt: $d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)$

  \item[Positive Definitheit] Für alle $x, y ∈ M$ gilt: $d(x,x) ≥ 0$.  Zusätzlich
    gilt: $d(x,y) = 0 ⇔ x = y$.
  \end{description}
\end{defn}

\begin{bsp}[Metriken, die von Normen kommen]
  Wenn ich auf einem reellen oder komplexen Vektorraum $V$ eine Norm habe, dann
  kann ich eine Metrik definieren durch
  \[
    d(\vec{x},\vec{y}) := \| \vec{x} - \vec{y} \| .
  \]
  Diese Metrik heißt \emph{von der Norm induziert}\index{Metrik!von Norm
    induziert}.  Alle Beispiele von Normen liefern also automatisch sofort auch
  Beispiele für Metriken.  Die Metrik, die man aus Beispiel~\ref{bsp:manhatNorm}
  erhält, heißt
  \emph{Manhattan-Metrik}\index{Manhattan-Metrik}\index{Metrik!Manhattan}; siehe
  auch \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Manhattan-Metrik}{hier}.
\end{bsp}

Es ist aber nicht richtig, dass jede Metrik von einer Norm induziert
wird.  Schauen Sie sich das folgende Beispiel an.

\begin{bsp}[Diskrete Metrik]
  Es sei $M$ eine Menge, zum Beispiel $M = ℝ^n$.  Dann definiere eine Metrik
  durch
  \[
    d: M ⨯ M → ℝ ,\quad (x,y) ↦
    \left\{
    \begin{matrix}
      0 & \text{falls $x=y$} \\1 & \text{sonst}
    \end{matrix}
    \right.
  \]
  Diese Metrik ist echt doof und heißt \emph{diskrete Metrik}\index{diskrete
    Metrik}\index{Metrik!diskrete}.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Einschränkungen von Metriken]
  Sei $M$ eine Menge und $d: M ⨯ M → ℝ$ sei eine Metrik.  Wenn $N ⊆ M$
  irgendeine Teilmenge ist, dann ist die Einschränkung $d|_{N⨯ N}$ eine
  Metrik auf $N$.
\end{bsp}

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