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\chapter{Bilineare und multilineare Abbildungen}

\sideremark{Vorlesung 20}Ich beende die Vorlesung mit einem Kapitel über
„multilineare Algebra“.  In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
und multilineare Algebra systematisch einführen.  Der zentrale Begriff ist das
„Tensorprodukt“.  Bevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch
einmal bilineare Abbildungen und Funktionen.  Einige Beispiele für Bilinearität
kennen Sie schon.

\begin{bsp}[Bilineare Funktion]
  Skalarprodukte auf Euklidischen Vektorräumen sind bilinear.  Das bedeutet, die
  Abbildung $V ⨯ V → ℝ$ ist im ersten und im zweiten Argument linear.
\end{bsp}

Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein.

\begin{defn}[Bilineare Abbildungen]
  Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume.
  Eine \emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
  $s: U ⨯ V → W$, sodass Folgendes gilt.
  \begin{description}
  \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U,
    \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
    \[
      s(\vec{u}_1 + λ·\vec{u}_2, \vec{v}) = s(\vec{u}_1, \vec{v}) +
      λ·s(\vec{u}_2, \vec{v}).
    \]
  \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1,
    \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
    \[
      s(\vec{u}, \vec{v}_1 + λ \vec{v}_2) = s(\vec{u}, \vec{v}_1) + λ
      s(\vec{u}, \vec{v}_2).
    \]
  \end{description}
\end{defn}

Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle.

\begin{bsp}
  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V, W$ zwei $k$-Vektorräume und es seien
  lineare Funktionale $f ∈ V^*$ und $g ∈ W^*$ gegeben.  Dann ist die folgende
  Abbildung bilinear,
  \[
    V ⨯ W → k, \quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ f(\vec{v}) · g(\vec{w}).
  \]
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V$, $W$ und $U$ drei $k$-Vektorräume.  Dann
  ist die folgende Abbildung bilinear,
  \[
    \Hom_k(V, W) ⨯ \Hom_k(W, U) → \Hom_k(V, U), \quad (f, g) ↦ g ◦ f.
  \]
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Es sei $k$ ein Körper, es seien $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann ist
  folgende Abbildung bilinear,
  \[
    V^*⨯W → \Hom_k(V, W), \quad (f, \vec{w}) ↦ \big(\vec{v} ↦ f(\vec{v})·\vec{w}\big).
  \]
\end{bsp}

\subsection*{Multilineare Abbildungen}

Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind
Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass ….  Ich habe vom Tippen schon wunde
Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
zusammenbekommen.  Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.

\begin{bsp}[$n$-lineare Funktion]
  Betrachte die Determinantenabbildung
  \[
    \det : \Mat(n ⨯ n, k) → k.
  \]
  Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den
  Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum $k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n$
  identifizieren.  Wir erhalten also eine Abbildung
  \[
    \det : \underbrace{k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n}_{n ⨯} → k.
  \]
  Aus dem ersten Semester wissen wir: Diese Abbildung ist in jeder Komponente
  linear.
\end{bsp}

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