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e319086277
7
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
vendored
7
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt
vendored
@ -90,3 +90,10 @@ Hurwitz-Kriteriums
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Hurwitz-Kriterium
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Determinantenabbildung
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Eindeutigkeitsbeweis
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Tensorproduktraum
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Trivialbeispiel
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Erzeugendensysteme
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Kronecker-Produkt
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Kronecker
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Tensorprodukträume
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Tensorproduktkonstruktion
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3
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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3
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -60,3 +60,6 @@
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||||
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Körper, es seien \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zwei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Vektorräume und es seien lineare Funktionale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
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||||
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
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||||
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
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||||
{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QTrivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass für jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichheit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEntsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q univ. Eigenschaft \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Keine Lust mehr.\\E$"}
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@ -21,7 +21,7 @@ Diagonalgestalt hat.
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\begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus]
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In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt
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||||
\emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine
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||||
Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B$ eine Diagonalmatrix ist.
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||||
Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.
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||||
\end{defn}
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Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.
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@ -755,8 +755,8 @@ folgt vor.
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\]
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Um die Länge der Notation im Rahmen zu halten, schreibe $W_i := \Hau_f(λ_i)$.
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\item Für jeden Index $i$ betrachte $g_i := (f - λ·\Id_V)|_{W_i}$ --- wir wissen
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||||
schon, dass dies ein nilpotenter Endomorphismus von $W_i$ ist.
|
||||
\item Für jeden Index $i$ betrachte $g_i := (f - λ_i·\Id_V)|_{W_i}$ --- wir
|
||||
wissen schon, dass dies ein nilpotenter Endomorphismus von $W_i$ ist.
|
||||
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||||
\item Für jeden Index $i$ bestimme die zu $g_i$ gehörende Partition $P_i$ und
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die duale Partition
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@ -197,7 +197,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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||||
Beobachtung~\ref{beob:4-0-6} zeigt: ähnliche Matrizen haben dasselbe
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||||
Beobachtung~\ref{beob:4-0-6} zeigt: Ähnliche Matrizen haben dasselbe
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||||
Minimalpolynom.
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\end{beobachtung}
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||||
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@ -249,7 +249,7 @@ scheint.
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Standardskalarprodukts.
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||||
\end{bsp}
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Die folgende einfache Beobachtung und für viele der folgenden Beweise zentral.
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||||
Die folgende einfache Beobachtung ist für viele der folgenden Beweise zentral.
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\begin{beobachtung}[Coefficient Picking]\label{bem:Ortho}%
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||||
Es sei eine Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ von Vektoren des $ℝ^n$
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@ -12,12 +12,12 @@ Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über „Euklidische und
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Hermitesche Vektorräume“ haben enorm viele Anwendungen. Tatsächlich handelt es
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||||
sich bei vielen der heißen Themen zu „Machine Learning“, „Collective
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Intelligence“ oder „Artificial Intelligence“ um relativ einfache Methoden der
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linearen Algebra, die bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen können --
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schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es eine
|
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unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos, Projektvorschlägen
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und kleinen Wettbewerben gibt. Es gilt der alte Satz, dass Mathematik nicht
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notwendig kompliziert sein muss, um Nützlich zu sein. Ich reiße in diesem
|
||||
Kapitel einige Anwendungen oberflächlich an
|
||||
linearen Algebra, die wir bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen
|
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können -- schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es
|
||||
eine unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos,
|
||||
Projektvorschlägen und kleinen Wettbewerben gibt. Es gilt der alte Satz, dass
|
||||
Mathematik nicht notwendig kompliziert sein muss, um Nützlich zu sein. Ich
|
||||
reiße in diesem Kapitel einige Anwendungen oberflächlich an
|
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||||
Der Abschnitt über die Klassifikation der reellen Quadriken ist klassischer
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Lehrstoff und prüfungsrelevant. Die anderen Kapitel sollen Sie neugierig
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@ -445,9 +445,8 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
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\begin{itemize}
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\item In der Schule haben wir gelernt, das Koniken auftreten, wenn sich Körper
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im Schwerefeld bewegen. Wir kennen die Wurfparabel, die elliptischen
|
||||
Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und die Hyperbelbahnen von Satelliten
|
||||
beim Vorbeiflug an einem Himmelskörper. Wieso treten hier eigentlich Koniken
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auf?
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Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und Hyperbelbahnen von Raumsonden beim
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||||
Vorbeiflug an einem Himmelskörper. Wieso treten hier eigentlich Koniken auf?
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\item Wir diskutieren in diesem Abschnitt reelle Quadriken. Ich behaupte, dass
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||||
ähnliche Konstruktionen über den komplexen Zahlen die Gleichungen noch weiter
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||||
@ -618,8 +617,8 @@ wird dann die Formel
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f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{-itx}dt.
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||||
\]
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||||
Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“. Spektren
|
||||
gibt es in der reellen Welt überall zum Beispiel in unserem Ohr. Das Ohr ist
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||||
ein „Spektralapparat“, der auf mechanische Weise die Fourier-Transformation der
|
||||
spielen in der reellen Welt überall eine Rolle. Das Ohr ist ein
|
||||
„Spektralapparat“, der auf mechanische Weise die Fourier-Transformation der
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||||
eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn weiterleitet. Wenn man Akustik
|
||||
verstehen will, muss man Fourier-Transformation verstehen. Dann kann man
|
||||
super-interessante Sachen machen.
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||||
|
||||
107
15-tensor.tex
107
15-tensor.tex
@ -15,12 +15,12 @@ mal wieder durch eine universelle Eigenschaft definiert, macht diese Bemerkung
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||||
präzise.
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||||
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||||
\begin{defn}[Tensorprodukt]
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||||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Ein
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Ein
|
||||
\emph{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Vektorräumen} von $U$ und $V$ ist
|
||||
ein $k$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $τ: U⨯V → T$, so
|
||||
dass folgende Eigenschaft gilt: für alle bilinearen Abbildungen $s: U⨯V → W$
|
||||
gibt es genau eine lineare Abbildung $η: T → W$, so dass das folgende Diagramm
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||||
kommutiert:
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||||
ein $k$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $τ: U ⨯ V → T$,
|
||||
sodass folgende Eigenschaft gilt: für alle bilinearen Abbildungen $s: U ⨯ V →
|
||||
W$ gibt es genau eine lineare Abbildung $η: T → W$, so dass das folgende
|
||||
Diagramm kommutiert:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}[column sep=2cm]
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||||
U⨯V \ar[r, "τ\text{, bilinear}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃!η\text{, linear}"]\\
|
||||
@ -33,7 +33,7 @@ Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Tensorprodukte, falls sie
|
||||
überhaupt existieren, eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie.
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||||
|
||||
\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-2}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Weiter
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Weiter
|
||||
seien $τ_1 : U⨯ V → T_1$ und $τ_1 : U⨯ V → T_2$ zwei Tensorprodukte. Dann
|
||||
gibt es einen kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅ T_2$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
@ -44,33 +44,33 @@ Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Tensorprodukte, falls sie
|
||||
Für die Existenz von Tensorprodukten müssen wir relativ hart arbeiten.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-3}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Dann
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Dann
|
||||
existiert ein Tensorprodukt.
|
||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}
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||||
\video{21-2}
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{notation}[Tensorproduktraum]\label{not:15-1-3}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Wegen
|
||||
\begin{notation}[Tensorproduktraum]\label{not:15-1-3}%
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Wegen
|
||||
Satz~\ref{satz:15-1-2} und Satz~\ref{satz:15-1-3} werde ich (unter leichtem
|
||||
Missbrauch der Sprache) von \emph{dem Tensorprodukt} sprechen und jede
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||||
Tensorproduktraum mit $U⊗V$ bezeichnen. Die Elemente von $U⊗V$ heißen in der
|
||||
Literatur oft \emph{Tensoren}\index{Tensor}.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Produkt von Vektoren]\label{not:15-1-4a}
|
||||
\begin{notation}[Produkt von Vektoren]\label{not:15-1-4a}%
|
||||
In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} seien Vektoren $\vec{u} ∈ U$
|
||||
und $\vec{v} ∈ V$ gegeben. Dann wird der Tensor
|
||||
$τ\bigl( (\vec{u}, \vec{v}) \bigr) ∈ U⊗V$ auch \emph{Tensorprodukt der
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||||
Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$}\index{Tensorprodukt!von Vektoren} genannt
|
||||
und mit $\vec{u}⊗\vec{v}$ bezeichnet.
|
||||
und $\vec{v} ∈ V$ gegeben. Dann wird der Tensor $τ\bigl( (\vec{u}, \vec{v})
|
||||
\bigr) ∈ U⊗V$ auch \emph{Tensorprodukt der Vektoren $\vec{u}$ und
|
||||
$\vec{v}$}\index{Tensorprodukt!von Vektoren} genannt und mit $\vec{u}⊗\vec{v}$
|
||||
bezeichnet.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
|
||||
Betrachten Sie den Vektorraum $ℝ²$ mit der Standardbasis
|
||||
$\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2 \}$ und beweisen Sie direkt mit Hilfe der Definition,
|
||||
dass die Tensoren
|
||||
\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]%
|
||||
Betrachten Sie den Vektorraum $ℝ²$ mit der Standardbasis $\{ \vec{e}_1,
|
||||
\vec{e}_2 \}$ und beweisen Sie direkt mithilfe der Definition, dass die
|
||||
Tensoren
|
||||
\[
|
||||
\vec{e}_1⊗\vec{e}_1,\quad \vec{e}_1⊗\vec{e}_2,\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_1,
|
||||
\quad\text{und}\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_2
|
||||
@ -83,15 +83,15 @@ Für die Existenz von Tensorprodukten müssen wir relativ hart arbeiten.
|
||||
|
||||
Im Moment haben wir wahrscheinlich noch keine Vorstellung vom Tensorproduktraum
|
||||
$T$; wir wissen noch nicht einmal, wie viele Elemente der Tensorproduktraum
|
||||
überhaupt hat. Die einzigen Element, die wir direkt sehen, sind die Elemente
|
||||
der Form $\vec{u}⊗ \vec{v}$ --- von denen wir aber im Moment noch nicht einmal
|
||||
überhaupt hat. Die einzigen Elemente, die wir direkt sehen, sind Elemente der
|
||||
Form $\vec{u}⊗ \vec{v}$ --- von denen wir aber im Moment noch nicht einmal
|
||||
wissen, ob sie Null sind oder nicht.
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Reine Tensor]\label{not:15-1-4b}
|
||||
\begin{notation}[Reine Tensor]\label{not:15-1-4b}%
|
||||
In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} sei ein Tensor $\vec{τ} ∈ U⊗V$
|
||||
gegeben. Man nennt $\vec{τ}$ einen \emph{reinen
|
||||
Tensor}\index{Tensor!reiner}\index{reiner Tensor}, wenn es Vektoren
|
||||
$\vec{u} ∈ U$ und $\vec{v} ∈ V$ gibt, so dass $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v}$ ist.
|
||||
Tensor}\index{Tensor!reiner}\index{reiner Tensor}, wenn es Vektoren $\vec{u} ∈
|
||||
U$ und $\vec{v} ∈ V$ gibt, sodass $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v}$ ist.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Darstellung von reinen Tensoren ist nicht eindeutig]
|
||||
@ -116,12 +116,11 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
|
||||
Beweisen Sie, dass der Tensor
|
||||
$\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner
|
||||
Tensor ist! Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$,
|
||||
$\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, so dass die Gleichheit
|
||||
$\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt! Finden Sie Vektoren, so
|
||||
dass die Gleichheit nicht gilt!
|
||||
Beweisen Sie, dass der Tensor $\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ²
|
||||
⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner Tensor ist! Finden Sie unterschiedliche Vektoren
|
||||
$\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, sodass die Gleichheit $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 =
|
||||
\vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt! Finden Sie Vektoren, sodass die Gleichheit nicht
|
||||
gilt!
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
In Tensorprodukten sind im Allgemeinen nicht alle Tensoren rein. Es gilt aber
|
||||
@ -130,7 +129,7 @@ Das ist beruhigend, denn das bedeutet zumindest, dass wir alle Tensoren
|
||||
hinschreiben können.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Reine Tensoren erzeugen des Tensorprodukt]\label{satz:15-2-5}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Dann
|
||||
Es sei $k$ ein Körper $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Dann
|
||||
ist die Menge der reinen Tensoren,
|
||||
\[
|
||||
R := \{ \vec{u}⊗ \vec{v} ∈ U⊗ V \:|\: \vec{u} ∈ U \text{ und } \vec{v} ∈
|
||||
@ -167,9 +166,9 @@ hinschreiben können.
|
||||
Ψ: U⊗V → X, \quad \vec{u}⊗\vec{v} ↦ (\text{Formel mit } \vec{u} \text{ und } \vec{v}).
|
||||
\]
|
||||
Es wird also nur gesagt, was die Bilder der reinen Tensoren sein sollen!
|
||||
Gemeint ist mit dieser ``Definition'' folgendes: gegeben einen Tensor
|
||||
$\vec{τ} ∈ U⊗V$, schreibe $\vec{τ}$ auf irgendeine Weise als Linearkombination
|
||||
von reinen Tensoren,
|
||||
Gemeint ist mit dieser „Definition“ folgendes: gegeben einen Tensor $\vec{τ} ∈
|
||||
U⊗V$, schreibe $\vec{τ}$ auf irgendeine Weise als Linearkombination von reinen
|
||||
Tensoren,
|
||||
\[
|
||||
\vec{τ} = \sum a_i·\vec{v}_i⊗\vec{w}_i
|
||||
\]
|
||||
@ -178,11 +177,11 @@ hinschreiben können.
|
||||
Ψ(\vec{τ}) := \sum a_i· Ψ(\vec{v}_i⊗\vec{w}_i).
|
||||
\]
|
||||
Das kann man das als Definition einer linearen Abbildung $Ψ$ akzeptieren, wenn
|
||||
man sich zuerst von der \emph{Wohldefiniert} überzeugt hat: der so
|
||||
``definierte'' Wert von $Ψ(\vec{τ})$ darf nicht von der Wahl der
|
||||
man sich zuerst von der \emph{Wohldefiniert} überzeugt hat: Der so
|
||||
„definierte“ Wert von $Ψ(\vec{τ})$ darf nicht von der Wahl der
|
||||
Linearkombination abhängen! Wie sie sich vorstellen können, wird dieser Punkt
|
||||
in der Literatur eigentlich immer übergangen. Schreckliche Fehler sind die
|
||||
folge.
|
||||
Folge.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
|
||||
@ -193,7 +192,7 @@ Tensoren zu schreiben. Das ist aber nicht das letzte Wort. Die nächsten beide
|
||||
Korollar zeigen, wie man Erzeugendensysteme und sogar Basen für den
|
||||
Tensorproduktraum erhält.
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Erzeugendensystem für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-6}
|
||||
\begin{kor}[Erzeugendensystem für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-6}%
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:15-2-5} seien $(\vec{u}_i)_{i ∈ I} ⊂ U$
|
||||
und $(\vec{v}_j)_{j ∈ J} ⊂ V$ jeweils Erzeugendensysteme. Dann ist die
|
||||
folgende Menge von reinen Tensoren,
|
||||
@ -217,7 +216,7 @@ Tensorproduktraum erhält.
|
||||
\vec{u}⊗\vec{v} &= \left(\sum_{i ∈ I} a_i·\vec{u}_i \right)⊗\vec{v} && \text{Einsetzen}\\
|
||||
&= \sum_{i ∈ I} a_i·\big( \vec{u}_i⊗\vec{v} \big) && \text{Linearität von $τ$ in 1.~Komponente}\\
|
||||
&= \sum_{i ∈ I} a_i·\Big( \vec{u}_i⊗\Big( \sum_{j ∈ J} b_j·\vec{v}_j \Big) \Big) && \text{Einsetzen}\\
|
||||
&= \sum_{(i,j) ∈ I⨯ J} a_ib_j· \big(\vec{u}_i⊗\vec{b}_j \big). && \text{Linearität von $τ$ in 2.~Komponente}
|
||||
&= \sum_{(i,j) ∈ I⨯ J} a_ib_j· \big(\vec{u}_i⊗\vec{b}_j \big) && \text{Linearität von $τ$ in 2.~Komponente}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Das beweist die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -238,7 +237,7 @@ Tensorproduktraum erhält.
|
||||
\vec{v}^{\:*}_i(\vec{v})
|
||||
\]
|
||||
bilinear ist. Entsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also
|
||||
eine lineare Abbildung $η_{ij}: U⊗V → k$, so dass für alle $(α,β) ∈ I⨯ J$ gilt
|
||||
eine lineare Abbildung $η_{ij}: U⊗V → k$, sodass für alle $(α,β) ∈ I⨯ J$ gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
η_{ij} (\vec{u}_α⊗\vec{v}_β) &= s_{ij}\bigl((\vec{u}_α, \vec{v}_β)\bigr) && \text{univ.~Eigenschaft} \\
|
||||
& = \vec{u}^{\:*}_i(\vec{u}_α) · \vec{v}^{\:*}_i(\vec{v}_β) && \text{Definition von } s_{ij} \\
|
||||
@ -254,13 +253,13 @@ Tensorproduktraum erhält.
|
||||
0_k &= η_{ij}\bigl(\vec{0}_{U⊗V}\bigr) \\
|
||||
&= η_{ij} \left( \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}· \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \right) && \text{Relation \eqref{eq:fgh} eingesetzt}\\
|
||||
&= \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}·η_{ij}\big( \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \big) && \text{Linearität von }η_{ij}\\
|
||||
&= a_{ij}
|
||||
&= a_{ij}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Damit ist die Relation \eqref{eq:fgh} offenbar trivial.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Dimensionsformel für Tensorprodukte]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
|
||||
$k$-Vektorräume. Dann ist $\dim (U⊗V) = (\dim U)·(\dim V)$. \qed
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
||||
@ -269,7 +268,7 @@ eine Basis für den Tensorproduktraum macht. Das geht auch mit angeordneten
|
||||
Basen.
|
||||
|
||||
\begin{konstruktion}[Lexikografisch angeordnete Basen für Tensorprodukte]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
|
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$k$-Vektorräume, mit Basen $\vec{u}_1, …, \vec{u}_n$ von $U$ und
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$\vec{v}_1, …, \vec{v}_m$ von $V$. Dann können wir die zugehörende Basis für
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das Tensorprodukt $U⊗ V$ wie folgt anordnen:
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@ -279,9 +278,9 @@ Basen.
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…,
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\underbrace{\vec{u}_n⊗ \vec{v}_1, …, \vec{u}_n⊗ \vec{v}_m}_{\text{beginnt mit }\vec{u}_n}.
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\]
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Diese Anordnung heiße \emph{lexikographische Anordnung}\index{lexikographische
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Diese Anordnung heiße \emph{lexikografische Anordnung}\index{lexikografische
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Anordnung}, weil das Verfahren daran erinnert, wie die Einträge in einem
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Lexikon oder einem Telefonbuch\footnote{Eine historische Erläuterung des
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Lexikon oder einem Telefonbuch\footnote{Eine historische Erläuterung des
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Wortes finden Sie \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Telefonbuch}{hier}.
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Wie sie wissen, komme ich aus einem anderen Zeitalter.} angeordnet sind.
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\end{konstruktion}
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@ -294,13 +293,13 @@ Abbildungen zwischen Vektorräumen auch Abbildungen zwischen den Tensorprodukten
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induzieren. Der folgende Satz macht diese Aussage präzise.
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\begin{satz}[Tensorprodukte von Abbildungen]\label{satz:15-4-1}
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Es sei $k$ ein Körper, und es seien $f_1: U_1 → V_1$ und $f_2: U_2 → V_2$
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Es sei $k$ ein Körper und $f_1: U_1 → V_1$ und $f_2: U_2 → V_2$
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lineare Abbildungen von $k$-Vektorräumen. Dann gibt es genau eine lineare
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Abbildung
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\[
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ν : U_1⊗U_2 → V_1⊗V_2 ,
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ν : U_1⊗U_2 → V_1⊗V_2,
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\]
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so dass das folgende Diagramm kommutiert:
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sodass das folgende Diagramm kommutiert:
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=2cm]
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U_1⨯U_2 \ar[d, "τ_1"'] \ar[r, "f_1⨯f_2"] & V_1⨯V_2 \ar[d, "τ_2"]\\
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@ -329,7 +328,7 @@ Das Tensorprodukt von Abbildungen lässt sich natürlich auch auf dem Niveau von
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Matrizen diskutieren.
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\begin{konstruktion}
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Es sei $k$ ein Körper, und es seien Zahlen $a_1$, $a_2$, $b_1$ und $b_2$ sowie
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Es sei $k$ ein Körper und es seien Zahlen $a_1$, $a_2$, $b_1$ und $b_2$ sowie
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Matrizen
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\[
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A_1 ∈ \Mat(a_1⨯ b_1, k) \quad\text{und}\quad A_2 ∈ \Mat(a_2⨯ b_2, k)
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@ -338,10 +337,10 @@ Matrizen diskutieren.
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\[
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\varphi_{A_1} : k^{b_1} → k^{a_1},\quad %
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\varphi_{A_2} : k^{b_2} → k^{a_2} \quad\text{und}\quad %
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\varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}
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\varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}.
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\]
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Wir statten die Räume $k^{a_1}$, $k^{a_2}$, $k^{b_1}$ und $k^{b_2}$ jeweils
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mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikographisch angeordneten
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mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikografisch angeordneten
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Produktbasen auf $k^{a_1}⊗ k^{a_2}$ und $k^{b_1}⊗ k^{b_2}$ und betrachten die
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zugehörende darstellende Matrix von $\varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1}$ bezüglich
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dieser Produktbasen. Diese Matrix wird häufig als
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@ -357,7 +356,7 @@ Matrizen diskutieren.
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Das Kronecker-Produkt ist also eine unangenehme Abbildung
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\[
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•⊗• : \Mat(a_1⨯ b_1, k)⨯\Mat(a_2⨯ b_2,
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k) → \Mat\bigl((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k\bigr)
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k) → \Mat\bigl((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k\bigr).
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\]
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Auf \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Produkt}{Wikipedia} ist
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erklärt, wie man das Kronecker Produkt ausrechnet; dort sind auch einige
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@ -368,7 +367,7 @@ Matrizen diskutieren.
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-4-1} seien angeordnete Basen
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$\mathcal{B}_{U, •}$ von $U_{•}$ und $\mathcal{B}_{V, •}$ von $V_{•}$ gegeben.
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Weiter seien $\mathcal{B}_{U, 1⨯ 2}$ und $\mathcal{B}_{V, 1⨯ 2}$ die
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lexikographisch angeordneten Produktbasen von $U_1⨯U_2$ und $V_1⨯V_2$. Dann
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lexikografisch angeordneten Produktbasen von $U_1⨯U_2$ und $V_1⨯V_2$. Dann
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gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung
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\[
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\Mat^{\mathcal{B}_{U,1⨯ 2}}_{\mathcal{B}_{V,1⨯ 2}}(f_1⊗ f_2) =
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@ -386,7 +385,7 @@ Ich nenne noch einige Eigenschaften der Tensorproduktkonstruktion. Den Beweis
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des nächsten Satzes lasse ich weg; natürlich ist der Satz wieder einmal eine
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Folge der universellen Eigenschaften.
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\begin{satz}[Tensorprodukt und direkte Summe]\label{satz:15-5-1}
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\begin{satz}[Tensorprodukt und direkte Summe]\label{satz:15-5-1}%
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Es sei $k$ ein Körper und $(U_i)_{i ∈ I}$ sei eine Familie von
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$k$-Vektorräumen, zusätzlich sei $V$ ein weiterer $k$-Vektorraum. Dann gibt
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es eine kanonische Isomorphie zwischen den direkten Summen
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@ -406,7 +405,7 @@ Folge der universellen Eigenschaften.
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m: k⨯V → V, \quad (λ, \vec{v}) ↦ λ·\vec{v}
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\]
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ist bilinear. Also gibt es gemäß der universellen Eigenschaft des
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Tensorprodukts genau eine lineare Abbildung $η$, so dass das folgende Diagramm
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Tensorprodukts genau eine lineare Abbildung $η$, sodass das folgende Diagramm
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kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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