Fix typos

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -90,3 +90,10 @@ Hurwitz-Kriteriums
 Hurwitz-Kriterium
 Determinantenabbildung
 Eindeutigkeitsbeweis
+Tensorproduktraum
+Trivialbeispiel
+Erzeugendensysteme
+Kronecker-Produkt
+Kronecker
+Tensorprodukträume
+Tensorproduktkonstruktion

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -60,3 +60,6 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QEs sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Körper, es seien \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zwei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Vektorräume und es seien lineare Funktionale \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann existiert genau eine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q das folgende Diagramm kommutiert: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, kanon.\\E$"}
+{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QTrivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass für jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichheit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEntsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q univ. Eigenschaft \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Keine Lust mehr.\\E$"}

01-Wiederholung.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ Diagonalgestalt hat.
 \begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus]
   In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt
   \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine
-  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B$ eine Diagonalmatrix ist.
+  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.
 \end{defn}
 
 Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.

02-Jordan.tex

@@ -755,8 +755,8 @@ folgt vor.
   \]
   Um die Länge der Notation im Rahmen zu halten, schreibe $W_i := \Hau_f(λ_i)$.
 
-\item Für jeden Index $i$ betrachte $g_i := (f - λ·\Id_V)|_{W_i}$ --- wir wissen
+\item Für jeden Index $i$ betrachte $g_i := (f - λ_i·\Id_V)|_{W_i}$ --- wir
-  schon, dass dies ein nilpotenter Endomorphismus von $W_i$ ist.
+  wissen schon, dass dies ein nilpotenter Endomorphismus von $W_i$ ist.
   
 \item Für jeden Index $i$ bestimme die zu $g_i$ gehörende Partition $P_i$ und
   die duale Partition

04-Cayley-Hamilton.tex

@@ -197,7 +197,7 @@ Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.
 \end{bsp}
 
 \begin{beobachtung}
-  Beobachtung~\ref{beob:4-0-6} zeigt: ähnliche Matrizen haben dasselbe
+  Beobachtung~\ref{beob:4-0-6} zeigt: Ähnliche Matrizen haben dasselbe
   Minimalpolynom.
 \end{beobachtung}
 

05-Skalarprodukt-im-Rn.tex

@@ -249,7 +249,7 @@ scheint.
   Standardskalarprodukts.
 \end{bsp}
 
-Die folgende einfache Beobachtung und für viele der folgenden Beweise zentral.
+Die folgende einfache Beobachtung ist für viele der folgenden Beweise zentral.
 
 \begin{beobachtung}[Coefficient Picking]\label{bem:Ortho}%
   Es sei eine Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ von Vektoren des $ℝ^n$

12-Anwendungen.tex

@@ -12,12 +12,12 @@ Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über „Euklidische und
 Hermitesche Vektorräume“ haben enorm viele Anwendungen.  Tatsächlich handelt es
 sich bei vielen der heißen Themen zu „Machine Learning“, „Collective
 Intelligence“ oder „Artificial Intelligence“ um relativ einfache Methoden der
-linearen Algebra, die bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen können --
+linearen Algebra, die wir bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen
-schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es eine
+können -- schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es
-unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos, Projektvorschlägen
+eine unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos,
-und kleinen Wettbewerben gibt.  Es gilt der alte Satz, dass Mathematik nicht
+Projektvorschlägen und kleinen Wettbewerben gibt.  Es gilt der alte Satz, dass
-notwendig kompliziert sein muss, um Nützlich zu sein.  Ich reiße in diesem
+Mathematik nicht notwendig kompliziert sein muss, um Nützlich zu sein.  Ich
-Kapitel einige Anwendungen oberflächlich an
+reiße in diesem Kapitel einige Anwendungen oberflächlich an
 
 Der Abschnitt über die Klassifikation der reellen Quadriken ist klassischer
 Lehrstoff und prüfungsrelevant.  Die anderen Kapitel sollen Sie neugierig
@@ -445,9 +445,8 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 \begin{itemize}
 \item In der Schule haben wir gelernt, das Koniken auftreten, wenn sich Körper
   im Schwerefeld bewegen.  Wir kennen die Wurfparabel, die elliptischen
-  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und die Hyperbelbahnen von Satelliten
+  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und Hyperbelbahnen von Raumsonden beim
-  beim Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier eigentlich Koniken
+  Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier eigentlich Koniken auf?
-  auf?
 
 \item Wir diskutieren in diesem Abschnitt reelle Quadriken.  Ich behaupte, dass
   ähnliche Konstruktionen über den komplexen Zahlen die Gleichungen noch weiter
@@ -618,8 +617,8 @@ wird dann die Formel
   f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{-itx}dt.
 \]
 Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“.  Spektren
-gibt es in der reellen Welt überall zum Beispiel in unserem Ohr.  Das Ohr ist
+spielen in der reellen Welt überall eine Rolle.  Das Ohr ist ein
-ein „Spektralapparat“, der auf mechanische Weise die Fourier-Transformation der
+„Spektralapparat“, der auf mechanische Weise die Fourier-Transformation der
 eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn weiterleitet.  Wenn man Akustik
 verstehen will, muss man Fourier-Transformation verstehen.  Dann kann man
 super-interessante Sachen machen.

15-tensor.tex

@@ -15,12 +15,12 @@ mal wieder durch eine universelle Eigenschaft definiert, macht diese Bemerkung
 präzise.
 
 \begin{defn}[Tensorprodukt]
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Ein
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Ein
   \emph{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Vektorräumen} von $U$ und $V$ ist
-  ein $k$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $τ: U⨯V → T$, so
+  ein $k$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $τ: U ⨯ V → T$,
-  dass folgende Eigenschaft gilt: für alle bilinearen Abbildungen $s: U⨯V → W$
+  sodass folgende Eigenschaft gilt: für alle bilinearen Abbildungen $s: U ⨯ V →
-  gibt es genau eine lineare Abbildung $η: T → W$, so dass das folgende Diagramm
+  W$ gibt es genau eine lineare Abbildung $η: T → W$, so dass das folgende
-  kommutiert:
+  Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=2cm]
       U⨯V \ar[r, "τ\text{, bilinear}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃!η\text{, linear}"]\\
@@ -33,7 +33,7 @@ Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Tensorprodukte, falls sie
 überhaupt existieren, eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie.
 
 \begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-2}
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Weiter
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Weiter
   seien $τ_1 : U⨯ V → T_1$ und $τ_1 : U⨯ V → T_2$ zwei Tensorprodukte.  Dann
   gibt es einen kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅ T_2$.
 \end{satz}
@@ -44,33 +44,33 @@ Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Tensorprodukte, falls sie
 Für die Existenz von Tensorprodukten müssen wir relativ hart arbeiten.
 
 \begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-3}
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann
   existiert ein Tensorprodukt.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{21-2}
 \end{proof}
 
-\begin{notation}[Tensorproduktraum]\label{not:15-1-3}
+\begin{notation}[Tensorproduktraum]\label{not:15-1-3}%
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Wegen
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Wegen
   Satz~\ref{satz:15-1-2} und Satz~\ref{satz:15-1-3} werde ich (unter leichtem
   Missbrauch der Sprache) von \emph{dem Tensorprodukt} sprechen und jede
   Tensorproduktraum mit $U⊗V$ bezeichnen.  Die Elemente von $U⊗V$ heißen in der
   Literatur oft \emph{Tensoren}\index{Tensor}.
 \end{notation}
 
-\begin{notation}[Produkt von Vektoren]\label{not:15-1-4a}
+\begin{notation}[Produkt von Vektoren]\label{not:15-1-4a}%
   In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} seien Vektoren $\vec{u} ∈ U$
-  und $\vec{v} ∈ V$ gegeben.  Dann wird der Tensor
+  und $\vec{v} ∈ V$ gegeben.  Dann wird der Tensor $τ\bigl( (\vec{u}, \vec{v})
-  $τ\bigl( (\vec{u}, \vec{v}) \bigr) ∈ U⊗V$ auch \emph{Tensorprodukt der
+  \bigr) ∈ U⊗V$ auch \emph{Tensorprodukt der Vektoren $\vec{u}$ und
-    Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$}\index{Tensorprodukt!von Vektoren} genannt
+  $\vec{v}$}\index{Tensorprodukt!von Vektoren} genannt und mit $\vec{u}⊗\vec{v}$
-  und mit $\vec{u}⊗\vec{v}$ bezeichnet.
+  bezeichnet.
 \end{notation}
 
-\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
+\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]%
-  Betrachten Sie den Vektorraum $ℝ²$ mit der Standardbasis
+  Betrachten Sie den Vektorraum $ℝ²$ mit der Standardbasis $\{ \vec{e}_1,
-  $\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2 \}$ und beweisen Sie direkt mit Hilfe der Definition,
+  \vec{e}_2 \}$ und beweisen Sie direkt mithilfe der Definition, dass die
-  dass die Tensoren
+  Tensoren
   \[
     \vec{e}_1⊗\vec{e}_1,\quad \vec{e}_1⊗\vec{e}_2,\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_1,
     \quad\text{und}\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_2
@@ -83,15 +83,15 @@ Für die Existenz von Tensorprodukten müssen wir relativ hart arbeiten.
 
 Im Moment haben wir wahrscheinlich noch keine Vorstellung vom Tensorproduktraum
 $T$; wir wissen noch nicht einmal, wie viele Elemente der Tensorproduktraum
-überhaupt hat.  Die einzigen Element, die wir direkt sehen, sind die Elemente
+überhaupt hat.  Die einzigen Elemente, die wir direkt sehen, sind Elemente der
-der Form $\vec{u}⊗ \vec{v}$ --- von denen wir aber im Moment noch nicht einmal
+Form $\vec{u}⊗ \vec{v}$ --- von denen wir aber im Moment noch nicht einmal
 wissen, ob sie Null sind oder nicht.
 
-\begin{notation}[Reine Tensor]\label{not:15-1-4b}
+\begin{notation}[Reine Tensor]\label{not:15-1-4b}%
   In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} sei ein Tensor $\vec{τ} ∈ U⊗V$
   gegeben.  Man nennt $\vec{τ}$ einen \emph{reinen
-    Tensor}\index{Tensor!reiner}\index{reiner Tensor}, wenn es Vektoren
+  Tensor}\index{Tensor!reiner}\index{reiner Tensor}, wenn es Vektoren $\vec{u} ∈
-  $\vec{u} ∈ U$ und $\vec{v} ∈ V$ gibt, so dass $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v}$ ist.
+  U$ und $\vec{v} ∈ V$ gibt, sodass $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v}$ ist.
 \end{notation}
 
 \begin{bemerkung}[Darstellung von reinen Tensoren ist nicht eindeutig]
@@ -116,12 +116,11 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
-  Beweisen Sie, dass der Tensor
+  Beweisen Sie, dass der Tensor $\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ²
-  $\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner
+  ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner Tensor ist!  Finden Sie unterschiedliche Vektoren
-  Tensor ist!  Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$,
+  $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, sodass die Gleichheit $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 =
-  $\vec{v}_2 ∈ ℝ²$, so dass die Gleichheit
+  \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt!  Finden Sie Vektoren, sodass die Gleichheit nicht
-  $\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt!  Finden Sie Vektoren, so
+  gilt!
-  dass die Gleichheit nicht gilt!
 \end{aufgabe}
 
 In Tensorprodukten sind im Allgemeinen nicht alle Tensoren rein.  Es gilt aber
@@ -130,7 +129,7 @@ Das ist beruhigend, denn das bedeutet zumindest, dass wir alle Tensoren
 hinschreiben können.
 
 \begin{satz}[Reine Tensoren erzeugen des Tensorprodukt]\label{satz:15-2-5}
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann
+  Es sei $k$ ein Körper $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume.  Dann
   ist die Menge der reinen Tensoren,
   \[
     R := \{ \vec{u}⊗ \vec{v} ∈ U⊗ V \:|\: \vec{u} ∈ U \text{ und } \vec{v} ∈
@@ -167,9 +166,9 @@ hinschreiben können.
     Ψ: U⊗V → X, \quad \vec{u}⊗\vec{v} ↦ (\text{Formel mit } \vec{u} \text{ und } \vec{v}).
   \]
   Es wird also nur gesagt, was die Bilder der reinen Tensoren sein sollen!
-  Gemeint ist mit dieser ``Definition'' folgendes: gegeben einen Tensor
+  Gemeint ist mit dieser „Definition“ folgendes: gegeben einen Tensor $\vec{τ} ∈
-  $\vec{τ} ∈ U⊗V$, schreibe $\vec{τ}$ auf irgendeine Weise als Linearkombination
+  U⊗V$, schreibe $\vec{τ}$ auf irgendeine Weise als Linearkombination von reinen
-  von reinen Tensoren,
+  Tensoren,
   \[
     \vec{τ} = \sum a_i·\vec{v}_i⊗\vec{w}_i
   \]
@@ -178,11 +177,11 @@ hinschreiben können.
     Ψ(\vec{τ}) := \sum a_i· Ψ(\vec{v}_i⊗\vec{w}_i).
   \]
   Das kann man das als Definition einer linearen Abbildung $Ψ$ akzeptieren, wenn
-  man sich zuerst von der \emph{Wohldefiniert} überzeugt hat: der so
+  man sich zuerst von der \emph{Wohldefiniert} überzeugt hat: Der so
-  ``definierte'' Wert von $Ψ(\vec{τ})$ darf nicht von der Wahl der
+  „definierte“ Wert von $Ψ(\vec{τ})$ darf nicht von der Wahl der
   Linearkombination abhängen!  Wie sie sich vorstellen können, wird dieser Punkt
   in der Literatur eigentlich immer übergangen.  Schreckliche Fehler sind die
-  folge.
+  Folge.
 \end{notation}
 
 
@@ -193,7 +192,7 @@ Tensoren zu schreiben.  Das ist aber nicht das letzte Wort.  Die nächsten beide
 Korollar zeigen, wie man Erzeugendensysteme und sogar Basen für den
 Tensorproduktraum erhält.
 
-\begin{kor}[Erzeugendensystem für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-6}
+\begin{kor}[Erzeugendensystem für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-6}%
   In der Situation von Satz~\ref{satz:15-2-5} seien $(\vec{u}_i)_{i ∈ I} ⊂ U$
   und $(\vec{v}_j)_{j ∈ J} ⊂ V$ jeweils Erzeugendensysteme.  Dann ist die
   folgende Menge von reinen Tensoren,
@@ -217,7 +216,7 @@ Tensorproduktraum erhält.
     \vec{u}⊗\vec{v} &= \left(\sum_{i ∈ I} a_i·\vec{u}_i \right)⊗\vec{v} && \text{Einsetzen}\\
                     &= \sum_{i ∈ I} a_i·\big( \vec{u}_i⊗\vec{v} \big) && \text{Linearität von $τ$ in 1.~Komponente}\\
                     &= \sum_{i ∈ I} a_i·\Big( \vec{u}_i⊗\Big( \sum_{j ∈ J} b_j·\vec{v}_j \Big) \Big) && \text{Einsetzen}\\
-                    &= \sum_{(i,j) ∈ I⨯ J} a_ib_j· \big(\vec{u}_i⊗\vec{b}_j \big).  && \text{Linearität von $τ$ in 2.~Komponente}
+                    &= \sum_{(i,j) ∈ I⨯ J} a_ib_j· \big(\vec{u}_i⊗\vec{b}_j \big)  && \text{Linearität von $τ$ in 2.~Komponente}.
   \end{align*}
   Das beweist die Behauptung.
 \end{proof}
@@ -254,13 +253,13 @@ Tensorproduktraum erhält.
     0_k &= η_{ij}\bigl(\vec{0}_{U⊗V}\bigr) \\
         &= η_{ij} \left( \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}· \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \right) && \text{Relation \eqref{eq:fgh} eingesetzt}\\
         &= \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}·η_{ij}\big( \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \big) && \text{Linearität von }η_{ij}\\
-        &= a_{ij}
+        &= a_{ij}.
   \end{align*}
   Damit ist die Relation \eqref{eq:fgh} offenbar trivial.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Dimensionsformel für Tensorprodukte]
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
   $k$-Vektorräume.  Dann ist $\dim (U⊗V) = (\dim U)·(\dim V)$.  \qed
 \end{kor}
 
@@ -269,7 +268,7 @@ eine Basis für den Tensorproduktraum macht.  Das geht auch mit angeordneten
 Basen.
 
 \begin{konstruktion}[Lexikografisch angeordnete Basen für Tensorprodukte]
-  Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
+  Es sei $k$ ein Körper und $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
   $k$-Vektorräume, mit Basen $\vec{u}_1, …, \vec{u}_n$ von $U$ und
   $\vec{v}_1, …, \vec{v}_m$ von $V$.  Dann können wir die zugehörende Basis für
   das Tensorprodukt $U⊗ V$ wie folgt anordnen:
@@ -279,7 +278,7 @@ Basen.
     …,
     \underbrace{\vec{u}_n⊗ \vec{v}_1, …, \vec{u}_n⊗ \vec{v}_m}_{\text{beginnt mit }\vec{u}_n}.
   \]
-  Diese Anordnung heiße \emph{lexikographische Anordnung}\index{lexikographische
+  Diese Anordnung heiße \emph{lexikografische Anordnung}\index{lexikografische
     Anordnung}, weil das Verfahren daran erinnert, wie die Einträge in einem
     Lexikon oder einem Telefonbuch\footnote{Eine historische Erläuterung des
     Wortes finden Sie \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Telefonbuch}{hier}.
@@ -294,7 +293,7 @@ Abbildungen zwischen Vektorräumen auch Abbildungen zwischen den Tensorprodukten
 induzieren.  Der folgende Satz macht diese Aussage präzise.
 
 \begin{satz}[Tensorprodukte von Abbildungen]\label{satz:15-4-1}
-  Es sei $k$ ein Körper, und es seien $f_1: U_1 → V_1$ und $f_2: U_2 → V_2$
+  Es sei $k$ ein Körper und $f_1: U_1 → V_1$ und $f_2: U_2 → V_2$
   lineare Abbildungen von $k$-Vektorräumen.  Dann gibt es genau eine lineare
   Abbildung
   \[
@@ -329,7 +328,7 @@ Das Tensorprodukt von Abbildungen lässt sich natürlich auch auf dem Niveau von
 Matrizen diskutieren.
 
 \begin{konstruktion}
-  Es sei $k$ ein Körper, und es seien Zahlen $a_1$, $a_2$, $b_1$ und $b_2$ sowie
+  Es sei $k$ ein Körper und es seien Zahlen $a_1$, $a_2$, $b_1$ und $b_2$ sowie
   Matrizen
   \[
     A_1 ∈ \Mat(a_1⨯ b_1, k) \quad\text{und}\quad A_2 ∈ \Mat(a_2⨯ b_2, k)
@@ -338,10 +337,10 @@ Matrizen diskutieren.
   \[
     \varphi_{A_1} : k^{b_1} → k^{a_1},\quad %
     \varphi_{A_2} : k^{b_2} → k^{a_2} \quad\text{und}\quad %
-    \varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}
+    \varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}.
   \]
   Wir statten die Räume $k^{a_1}$, $k^{a_2}$, $k^{b_1}$ und $k^{b_2}$ jeweils
-  mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikographisch angeordneten
+  mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikografisch angeordneten
   Produktbasen auf $k^{a_1}⊗ k^{a_2}$ und $k^{b_1}⊗ k^{b_2}$ und betrachten die
   zugehörende darstellende Matrix von $\varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1}$ bezüglich
   dieser Produktbasen.  Diese Matrix wird häufig als
@@ -357,7 +356,7 @@ Matrizen diskutieren.
   Das Kronecker-Produkt ist also eine unangenehme Abbildung
   \[
     •⊗• : \Mat(a_1⨯ b_1, k)⨯\Mat(a_2⨯ b_2,
-    k) → \Mat\bigl((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k\bigr)
+    k) → \Mat\bigl((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k\bigr).
   \]
   Auf \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Produkt}{Wikipedia} ist
   erklärt, wie man das Kronecker Produkt ausrechnet; dort sind auch einige
@@ -368,7 +367,7 @@ Matrizen diskutieren.
   In der Situation von Satz~\ref{satz:15-4-1} seien angeordnete Basen
   $\mathcal{B}_{U, •}$ von $U_{•}$ und $\mathcal{B}_{V, •}$ von $V_{•}$ gegeben.
   Weiter seien $\mathcal{B}_{U, 1⨯ 2}$ und $\mathcal{B}_{V, 1⨯ 2}$ die
-  lexikographisch angeordneten Produktbasen von $U_1⨯U_2$ und $V_1⨯V_2$.  Dann
+  lexikografisch angeordneten Produktbasen von $U_1⨯U_2$ und $V_1⨯V_2$.  Dann
   gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung
   \[
     \Mat^{\mathcal{B}_{U,1⨯ 2}}_{\mathcal{B}_{V,1⨯ 2}}(f_1⊗ f_2) =
@@ -386,7 +385,7 @@ Ich nenne noch einige Eigenschaften der Tensorproduktkonstruktion.  Den Beweis
 des nächsten Satzes lasse ich weg; natürlich ist der Satz wieder einmal eine
 Folge der universellen Eigenschaften.
 
-\begin{satz}[Tensorprodukt und direkte Summe]\label{satz:15-5-1}
+\begin{satz}[Tensorprodukt und direkte Summe]\label{satz:15-5-1}%
   Es sei $k$ ein Körper und $(U_i)_{i ∈ I}$ sei eine Familie von
   $k$-Vektorräumen, zusätzlich sei $V$ ein weiterer $k$-Vektorraum.  Dann gibt
   es eine kanonische Isomorphie zwischen den direkten Summen