Typos

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -60,3 +60,27 @@ Determinanten-Multiplikationssatz
 Komplexifizierung
 komplexifizierten
 komplexifizierte
+Quadriken
+Quadrik
+Grund-Quadriken
+Vereinfachungsschritten
+Koniken
+Perge
+Hyperbelbahnen
+Konik
+Auxerre
+Loviscach
+psycho-akustisches
+SciKit
+Funktionalgleichung
+Schönhage-Strassen-Algorithmus
+Schönhage
+Strassen
+Thurstone
+Allport
+Odbert
+kulturstabile
+Stryker
+Gallup-Test
+OCEAN-Modell
+PCA

.vscode/ltex.disabledRules.de-DE.txt

@@ -1 +1,2 @@
 KARDINALZAHLEN
+DE_COMPOUND_COHERENCY

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -54,3 +54,5 @@
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qder von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q stabilisiert wird“.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QRechnen Sie nach, dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QProd.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qin \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QStandardskalarprodukt Folgern Sie mithilfe von Beispiel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q messerscharf, dass die Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann selbstadjungiert ist, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine symmetrische oder Hermitesche Matrix ist.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWie kommt man auf die Zahl „fünf“?.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q… und weiter?.\\E$"}

12-Anwendungen.tex

@@ -4,14 +4,14 @@
 \chapter{Anwendungen}
 
 \sideremark{Vorlesung 17}Haben Sie schon einmal nachts wach im Bett gelegen,
-weil Sie unbedingt eine symmetrische Matrix mit Hilfe eines orthogonalen
+weil Sie unbedingt eine symmetrische Matrix mithilfe eines orthogonalen
 Basiswechsels diagonalisieren wollten?  Drängt es Sie, die Koeffizienten von
-Linearkombinationen mit Hilfe von Skalarprodukten auszurechnen?
+Linearkombinationen mithilfe von Skalarprodukten auszurechnen?
 
-Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über ``Euklidische und
+Die Begriffe und Methoden des laufenden Kapitels über „Euklidische und
-Hermitesche Vektorräume'' haben enorm viele Anwendungen.  Tatsächlich handelt es
+Hermitesche Vektorräume“ haben enorm viele Anwendungen.  Tatsächlich handelt es
-sich bei vielen der heißen Themen zu ``Machine Learning'', ``Collective
+sich bei vielen der heißen Themen zu „Machine Learning“, „Collective
-Intelligence'' oder ``Artificial Intelligence'' um relativ einfache Methoden der
+Intelligence“ oder „Artificial Intelligence“ um relativ einfache Methoden der
 linearen Algebra, die bei unserem Stand der Debatte sehr gut verstehen können --
 schauen Sie sich bei \href{https://www.kaggle.com}{kaggle} um, wo es eine
 unendliche Menge von hervorragenden Tutorials, Erklärvideos, Projektvorschlägen
@@ -26,9 +26,9 @@ machen, können aber nicht sinnvoll geprüft werden.
 
 \section{Reelle Quadriken}
 
-Die erste ``Anwendung'' ist immer noch ziemlich theoretisch und stammt
+Die erste „Anwendung“ ist immer noch ziemlich theoretisch und stammt mindestens
-mindestens aus der hellenistischen Antike, also etwa der Zeit Alexander des
+aus der hellenistischen Antike, also etwa der Zeit Alexander des Großen.
-Großen.  Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt,
+Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt,
 \href{https://www.ams.org/notices/200809/tx080901076p.pdf}{wo Mathematik eine
 große Rolle spielte}.  Es geht um folgende Situation.
 
@@ -50,14 +50,14 @@ Großen.  Vielleicht war die Sache aber auch schon zu babylonischer Zeit bekannt
 
 Wir stellen in diesem Kapitel die Frage, was wir über die Geometrie von reellen
 Quadriken sagen können.  Es ist klar, dass das Bild einer Quadrik unter einer
-lineare Abbildung oder Translation wieder eine Quadrik ist.  Deshalb fragen wir
+linearen Abbildung oder Translation wieder eine Quadrik ist.  Deshalb fragen wir
 genauer: Wie sieht $Q$ aus nach geeigneter Wahl von Koordinaten und nach
 Translationen?  Wir formulieren die Frage präziser und führen die folgende
 Notation ein.
 
-\begin{defn}[Affine Abbildung]\label{def:12-1-3}
+\begin{defn}[Affine Abbildung]\label{def:12-1-3}%
-  Es sei $k$ ein Körper und $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Eine Abbildung
+  Es sei $k$ ein Körper und $V, W$ zwei $k$-Vektorräume.  Eine Abbildung $Φ : V
-  $Φ : V → W$ heißt \emph{affin}\index{affine Abbildung}, falls es eine lineare
+  → W$ heißt \emph{affin}\index{affine Abbildung}, falls es eine lineare
   Abbildung $φ : V → W$ und einen Vektor $\vec{w} ∈ W$ gibt, sodass für alle
   $\vec{v} ∈ V$ die Gleichung $Φ(\vec{v}) = φ(\vec{v}) + \vec{w}$ gilt.
 \end{defn}
@@ -73,23 +73,23 @@ Damit können wir unsere Frage präzise formulieren.
 
 \begin{frage}
   Gegeben sei Situation~\ref{sit:12-1-1}.  Gibt es dann eine bijektive, affine
-  Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$ unter der
+  Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von $Q$ unter der Abbildung $Φ$
-  Abbildung $Φ$ eine Quadrik von besonders einfacher Gestalt ist?  Gibt es
+  eine Quadrik von besonders einfacher Gestalt ist?  Gibt es eine (kleine)
-  eine (kleine) Mengen von ``Grund-Quadriken'' aus denen alle anderen durch
+  Mengen von „Grund-Quadriken“ aus denen alle anderen durch affine
-  affine Transformation (wie zum Beispiel: Translation, Drehung, Streckung,
+  Transformation (wie zum Beispiel: Translation, Drehung, Streckung,
   Verschiebung, …) entstehen?
 \end{frage}
 
 
-Die Antwort ist natürlich ``ja'', aber Sie haben ja zum Glück noch nicht weiter
+Die Antwort ist natürlich „ja“, aber Sie haben ja zum Glück noch nicht weiter
 nach vorn geblättert.  Sie kennen ähnliche Fragen aus der Schule.  Bei der
 Diskussion der Kongruenz von Dreiecken betrachtet man Dreiecke statt Quadriken
 und abstandserhaltende Abbildungen statt affiner Abbildungen.
 
 
-\subsection{Vereinfachung von Quadratischen Gleichungen}
+\subsection{Vereinfachung von quadratischen Gleichungen}
 
-Wir bleibe in Situation~\ref{sit:12-1-1} und werden jetzt eine Reihe von
+Wir bleiben in Situation~\ref{sit:12-1-1} und werden jetzt eine Reihe von
 bijektiven, affinen Abbildungen finden, sodass die Gleichung (der Bilder von)
 $Q$ immer einfacher wird.  Wie immer gibt es viel Material im Internet; ein
 Student wies mich auf
@@ -127,13 +127,13 @@ Witz ist aber, dass wir die symmetrische Matrix $A$ diagonalisieren können!
 
 Wir wissen: es existiert eine orthogonale $n⨯n$-Matrix $W$, sodass die
 Produktmatrix $W^t·A·W$ diagonal ist.  Es sei $Q^{(1)}$ das Bild von $Q$ unter
-der bijektiven linearen Abbildung $\vec{x} ↦ W^{-1}·\vec{x}$.  Dann gilt
+der bijektiven linearen Abbildung $\vec{x} ↦ W^{-1}·\vec{x}$.  Dann gilt für
-für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
+alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
 \begin{align*}
   \vec{x} ∈ Q^{(1)} & ⇔ W·\vec{x} ∈ Q \\
                       & ⇔ f(W·\vec{x}) = 0 \\
                       & ⇔ (W·\vec{x})^t·A·(W·\vec{x}) + 2 \vec{b} · (W·\vec{x}) + f_0 = 0 \\
-                      & ⇔ \vec{x}^{\:t}·(W^t·A·W)·\vec{x} + 2 (\vec{b}·W)·\vec{x} + f_0 = 0
+                      & ⇔ \vec{x}^{\:t}·(W^t·A·W)·\vec{x} + 2 (\vec{b}·W)·\vec{x} + f_0 = 0.
 \end{align*}
 Wir erkennen zum einen, dass die Bildmenge $Q^{(1)}$ wieder eine Quadrik ist.
 Die Gleichung $f^{(1)}$ der Quadrik $Q^{(1)}$ ist besonders einfach, weil es
@@ -169,8 +169,9 @@ gilt für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
   \vec{x} ∈ Q^{(2)} & ⇔ φ^{-1}(\vec{x}) ∈ Q^{(1)} \\
                   & ⇔ \sum_{i=1}^r
                     a^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i}
-                    \right)² + 2 · \sum_{i=1}^r b^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i} \right) + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + c^{(1)} = 0 \\
+                    \right)² + 2 · \sum_{i=1}^r b^{(1)}_i·\left(x_i-\frac{b^{(1)}_i}{a^{(1)}_i} \right)\\
-                  & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(1)}_i·x_i² + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + d^{(1)} = 0
+                  & \qquad + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + c^{(1)} = 0 \\
+                  & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(1)}_i·x_i² + 2·\sum_{i=r+1}^n b^{(1)}_i·x_i + d^{(1)} = 0.
 \end{align*}
 Die Bildmenge $Q^{(2)}$ ist also wieder eine Quadrik, gegeben durch ein Polynom
 \[
@@ -193,7 +194,7 @@ Diese Konstruktion ist nur relevant, falls mindestens eines der $b^{(2)}_i$
 ungleich Null ist.  Falls alle $b^{(2)}_i$ verschwinden, machen wir in diesem
 Schritt nichts und setzen
 \[
-  Q^{(3)} := Q^{(2)}, \quad f^{(3)} := f^{(2)}, \quad a^{(3)}_i := a^{(2)}_i, \quad b^{(3)}_i := b^{(2)}_i, \quad c^{(3)} := c^{(2)}
+  Q^{(3)} := Q^{(2)}, \quad f^{(3)} := f^{(2)}, \quad a^{(3)}_i := a^{(2)}_i, \quad b^{(3)}_i := b^{(2)}_i, \quad c^{(3)} := c^{(2)}.
 \]
 Ansonsten können wir nach umnummerieren der Variable annehmen, dass
 $b^{(2)}_{r+1} \ne 0$ ist.  Betrachte dann die affine Bijektion
@@ -213,15 +214,15 @@ gilt für alle $\vec{x} ∈ ℝ^n$:
   \vec{x} ∈ Q^{(3)} & ⇔ φ^{-1}(\vec{x}) ∈ Q^{(2)} \\
                       & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i + 2·b^{(2)}_{r+1}·X + 2·\sum_{i=r+2}^n b^{(2)}_i·x_i + c^{(2)} = 0 \\
                       & \qquad\qquad\qquad \text{wobei } X = \left(\frac{-c^{(2)}}{2·b^{(2)}_{r+1}} - \frac{1}{b^{(2)}_{r+1}}·x_{r+1} - \sum_{j=r+2}^n \frac{b^{(2)}_j}{b^{(2)}_{r+1}}·x_j \right) \\
-                      & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i - 2·x_{r+1} = 0
+                      & ⇔ \sum_{i=1}^r a^{(2)}_i·x²_i - 2·x_{r+1} = 0.
 \end{align*}
-In jedem Fall gilt: die Bildmenge $Q^{(3)}$ ist also wieder eine Quadrik,
+In jedem Fall gilt: Die Bildmenge $Q^{(3)}$ ist also wieder eine Quadrik,
 gegeben durch ein Polynom
 \[
-  f^{(3)}(\vec{x}) = \sum_{i=1}^r a^{(3)}_i·x_i² + b^{(3)}_{r+1}·x_{r+1} + c^{(3)}
+  f^{(3)}(\vec{x}) = \sum_{i=1}^r a^{(3)}_i·x_i² + b^{(3)}_{r+1}·x_{r+1} + c^{(3)},
 \]
-wobei $b^{(3)}_{r+1} ∈ \{0,-2\}$ und $c^{(3)} ∈ \{0, -1\}$ ist.  Weiterhin
+wobei $b^{(3)}_{r+1} ∈ \{0,-2\}$ und $c^{(3)} ∈ \{0, -1\}$ ist.  Weiterhin gilt:
-gilt: $b^{(3)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(3)} = 0$.
+$b^{(3)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(3)} = 0$.
 
 
 \subsubsection{Schritt 5: Skalierung}
@@ -259,10 +260,10 @@ $b^{(4)}_{r+1} \ne 0 ⇒ c^{(4)} = 0$.
 Insgesamt haben wir mit den oben genannten Vereinfachungsschritten jetzt
 folgenden Satz bewiesen.
 
-\begin{satz}[Klassifikation der Quadriken]\label{satz:12-1-6}
+\begin{satz}[Klassifikation der Quadriken]\label{satz:12-1-6}%
   In Situation~\ref{sit:12-1-1} gibt es Zahlen $r$, $k$ gibt es eine bijektive,
-  affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$
+  affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von $Q$ Nullstellenmenge
-  Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
+  einer der folgenden Gleichungen ist
   \begin{enumerate}
   \item $x_1² + x_2² + … + x_r² - x_{r+1}² - … - x_k²$
     
@@ -286,12 +287,11 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 \begin{kor}[Klassifikation der Koniken des Appollonius von
   Perge\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge}{Appollonius
-      von Perge} (* ca.  265 v.  Chr.  in Perge; † ca.  190 v.  Chr.  in Alexandria)
+  von Perge} (* ca.~265 v.~Chr.~in Perge; † ca.~190 v.~Chr.~in Alexandria) war
-    war ein antiker griechischer Mathematiker, bekannt für sein Buch über
+  ein antiker griechischer Mathematiker, bekannt für sein Buch über
-    Kegelschnitte.}]
+  Kegelschnitte.}] Betrachte Situation~\ref{sit:12-1-1} im Falle $n = 2$.  Dann
-  Betrachte Situation~\ref{sit:12-1-1} im Falle $n = 2$.  Dann gibt es eine
+  gibt es eine bijektive, affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, sodass das Bild von
-  bijektive, affine Abbildung $Φ : ℝ^n → ℝ^n$, so dass das Bild von $Q$
+  $Q$ Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
-  Nullstellenmenge einer der folgenden Gleichungen ist
   \begin{enumerate}
   \item $x² = 0:$ Doppelgerade \label{Q.1}
 
@@ -444,10 +444,10 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 \begin{itemize}
 \item In der Schule haben wir gelernt, das Koniken auftreten, wenn sich Körper
-  im Schwerefeld bewegen.  Wir kenne die Wurfparabel, die elliptischen
+  im Schwerefeld bewegen.  Wir kennen die Wurfparabel, die elliptischen
-  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und die Hyperbelbahnen von die
+  Umlaufbahnen von Planeten um die Sonne und die Hyperbelbahnen von Satelliten
-  Satelliten beim Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier
+  beim Vorbeiflug an einem Himmelskörper.  Wieso treten hier eigentlich Koniken
-  eigentlich Koniken auf?
+  auf?
 
 \item Wir diskutieren in diesem Abschnitt reelle Quadriken.  Ich behaupte, dass
   ähnliche Konstruktionen über den komplexen Zahlen die Gleichungen noch weiter
@@ -460,7 +460,7 @@ Satzes~\ref{satz:12-1-6} erhalten wir eine Klassifikation der Koniken.
 
 Schreiben Sie ein Computerprogramm, das für eine gegebene Konik sofort eine
 vereinfachende affine Transformation liefert.  Stellen Sie die Transformation
-graphisch dar, vielleicht mit automatisch generierten Videos die zeigen, wie es
+grafisch dar, vielleicht mit automatisch generierten Videos die zeigen, wie es
 zu den Vereinfachungen kommt.
 
 
@@ -468,21 +468,21 @@ zu den Vereinfachungen kommt.
 
 \sideremark{Vorlesung 18}Ich erkläre in diesem Abschnitt die
 Fourier-Transformation\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier}{Jean
-    Baptiste Joseph Fourier} (* 21.  März 1768 bei Auxerre; † 16.  Mai 1830 in
+Baptiste Joseph Fourier} (* 21.~März 1768 bei Auxerre; † 16.~Mai 1830 in Paris)
-  Paris) war ein französischer Mathematiker und Physiker.} und nenne einige
+war ein französischer Mathematiker und Physiker.} und nenne einige Anwendungen.
-Anwendungen.  Die Fourier-Transformation ist für die Praxis vielleicht das
+Die Fourier-Transformation ist für die Praxis vielleicht das wichtigste Stück
-wichtigste Stück Mathematik überhaupt\footnote{Sie selbst verwenden solche
+Mathematik überhaupt\footnote{Sie selbst verwenden solche Transformationen
-  Transformationen ununterbrochen -- haben Sie schon einmal ein Mobiltelefon
+ununterbrochen -- haben Sie schon einmal ein Mobiltelefon benutzt?  Oder sind
-  benutzt?  Oder sind Sie vielleicht in einem Auto gefahren?  Oder haben Sie einen
+Sie vielleicht in einem Auto gefahren?  Oder haben Sie einen Klang gehört?}.
-  Klang gehört?}.  Manche Kollegen sprechen sogar von der ``fünften
+Manche Kollegen sprechen sogar von der „fünften Grundrechenart“.  Ich komme im
-Grundrechenart''.  Ich komme im Abschnitt~\ref{ssec:Rechen} darauf zurück.
+Abschnitt~\ref{ssec:Rechen} darauf zurück.
 
 In Internet finden Sie sehr viel Material zum Thema.  Ich empfehle dieses
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=vA9dfINW4Rg}{Video vom MIT}.  Die
 Fachhochschule Hamburg hat ebenfalls ein nettes
-\href{https://www.youtube.com/watch?v=oKWW8aWAdag}{Video} (``Warum die
+\href{https://www.youtube.com/watch?v=oKWW8aWAdag}{Video} („Warum die
 Fourier-Analysis in den Anwendungen so wichtig ist und welche grundlegende Idee
-dahinter steht'').  Jörn Loviscach, mein persönlicher Held, hat natürlich auch
+dahinter steht“).  Jörn Loviscach, mein persönlicher Held, hat natürlich auch
 ein \href{https://av.tib.eu/media/10335}{Video}, ebenso auch Daniel Jung
 (\href{https://www.youtube.com/watch?v=mMsa1uBHd9k}{$→$Link}).  Wenn Sie ein
 wenig im Internet suchen, finden Sie noch sehr viel mehr Material.
@@ -495,9 +495,9 @@ betrachte den der Vektorraum $V = \cC⁰([-π,π], ℝ)$ der reellwertigen steti
 Funktionen auf dem Intervall $[-π,π] ⊂ ℝ$.  Wir haben schon gesehen, dass die
 Abbildung
 \[
-  \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · g(t) dt.
+  \langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · g(t) dt
 \]
-ein Skalarprodukt ist.  Rechnen Sie sofort mit Hilfe der bekannten
+ein Skalarprodukt ist.  Rechnen Sie sofort mithilfe der bekannten
 Additionstheoreme für Sinus und Kosinus nach, dass für alle positiven Zahlen $n$
 und $m$ aus $ℕ$ die folgenden Gleichungen gelten:
 \[
@@ -521,21 +521,21 @@ eine orthonormale Teilmenge des Euklidischen Vektorraumes $\bigl( V, \langle •
 
 \subsubsection{Rekonstruktion von Funktionen}
 
-Es sei jetzt $F := \langle \mathcal{F} \rangle ⊆ V$ der von
+Es sei jetzt $F := \langle \mathcal{F} \rangle ⊆ V$ der von $\mathcal{F}$
-$\mathcal{F}$ erzeugte Untervektorraum.  Wenn ich jetzt irgendeine Funktion
+erzeugte Untervektorraum.  Wenn ich jetzt irgendeine Funktion $f ∈ F$ habe, dann
-$f ∈ F$ habe, dann kann ich die Zahlen
+kann ich die Zahlen
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-1}
   a_n := \left\langle f, \sin(n·x) \right\rangle, \quad
   b_n := \left\langle f, \cos(n·x) \right\rangle, \quad
   c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle
 \end{equation}
-ausrechnen und erhalte die Gleichung:
+ausrechnen und erhalte die Gleichung
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-2}
-  f = \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
+  f = \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr).
 \end{equation}
 Beachte dabei, dass nur endlich viele der Zahlen $a_n$, $b_n$ von Null
-verschieden sind, so dass auf der rechten Seite der
+verschieden sind, sodass auf der rechten Seite der Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2}
-Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2} tatsächlich nur eine endliche Summe steht.
+tatsächlich nur eine endliche Summe steht.
 
 
 \subsection{Fourier-Reihen}
@@ -576,7 +576,7 @@ zeigt wie man eine Sprungfunktion annähert.
 
 Weitere Beispiele gibt es bei
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Beispiele}{Wikipedia} und in
-diesem phantastischem
+diesem fantastischem
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=lL0oUZGMhXc}{Erklärvideo vom MIT}.
 Vielleicht schauen sie auch einmal in
 \href{https://av.tib.eu/media/10336}{dieses Video} oder in
@@ -602,7 +602,7 @@ Funktionen mit Periode $2π$.  Man kann ähnliche Konstruktionen auch für nahez
 beliebige Funktionen machen.  Allerdings erhält man statt der
 Fourier-Koeffizienten
 \[
-  a_n := \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · \sin(n·t) dt.
+  a_n := \frac{1}{π}·\int^{π}_{-π} f(t) · \sin(n·t) dt
 \]
 dann eine Fourier-Transformierte, die man sinnvollerweise in komplexen Zahlen
 schreibt
@@ -617,38 +617,38 @@ wird dann die Formel
 \[
   f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{-itx}dt.
 \]
-Die Funktion $F$ nennt man ``Fourier-Transformierte'' oder
+Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“.  Spektren
-``Spektrum''.  Spektren gibt es in der reellen Welt überall zum Beispiel in
+gibt es in der reellen Welt überall zum Beispiel in unserem Ohr.  Das Ohr ist
-unserem Ohr.  Das Ohr ist ein ``Spektralapparat'', der auf mechanische Weise die
+ein „Spektralapparat“, der auf mechanische Weise die Fourier-Transformation der
-Fourier-Transformation der eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn
+eingehenden Schallwelle berechnet und zum Gehirn weiterleitet.  Wenn man Akustik
-weiterleitet.  Wenn man Akustik verstehen will, muss man Fourier-Transformation
+verstehen will, muss man Fourier-Transformation verstehen.  Dann kann man
-verstehen.  Dann kann man super-interessante Sachen machen.
+super-interessante Sachen machen.
 \begin{itemize}
 \item Um Klangdaten zu analysieren (etwa um mit dem Computer Sprache zu
   analysieren), schaue man sich die Fourier-Transformation an.  Es ist mit
-  diesen Methoden nicht schwierig, ein kleine Computerprogramm zu bauen, dass
+  diesen Methoden nicht schwierig, ein kleines Computerprogramm zu bauen, dass
-  ein gesprochenes ``e'' von einem ``a'' unterscheidet.  Suchen Sie im Internet
+  ein gesprochenes „e“ von einem „a“ unterscheidet.  Suchen Sie im Internet nach
-  nach ``Python'' und ``SciKit'', dann finden Sie alles, was sie brauchen.
+  „Python“ und „SciKit“, dann finden Sie alles, was sie brauchen.
 
 \item Wenn ich das Spektrum eines Klanges berechnen kann, ist es super-einfach,
   interessante Sound-Effekte zu programmieren.  Zum Beispiel kann ich ein
-  Programm machen, das ein Musikstück schneller abspielt ohne die Tonhöhe zu
+  Programm machen, das ein Musikstück schneller abspielt, ohne die Tonhöhe zu
   verändern.
 
 \item Da sich das Gehirn nur für das Spektrum interessiert, muss ich mir das
   Spektrum anschauen, wenn ich erkennen will, welche Teile eines Klanges für das
   Gehirn interessant sind.  Das bekannte Dateiformat MP3 funktioniert so: schaue
   das Spektrum an, verwende ein mathematisch beschriebenes Modell der
-  akustischen Wahrnehmung von Tonsignalen (``psycho-akustisches Modell'') und
+  akustischen Wahrnehmung von Tonsignalen („psycho-akustisches Modell“) und
-  erkenne die Teile des Spektrums die für das Gehirn uninteressant sind.  Lasse
+  erkenne die Teile des Spektrums, die für das Gehirn uninteressant sind.  Lasse
-  diese Teile des Spektrums weg, um die Dateigröße zu verkleinern ohne den Klang
+  diese Teile des Spektrums weg, um die Dateigröße zu verkleinern, ohne den
-  wesentlich zu verschlechtern.
+  Klang wesentlich zu verschlechtern.
 \end{itemize}
 
 Die Fourier-Transformation tritt aber noch an vielen anderen Stellen auf:
 Signaltechnik, Analyse von Schwingungen in den Ingenieurswissenschaften, und in
 der Elektronik.  Sie ist aber auch die Grundlage der Quantenmechanik.  Die
-``Heisenbergsche Unschärferelation'', über die Philosophen viel schreiben, ist
+„Heisenbergsche Unschärferelation“, über die Philosophen viel schreiben, ist
 eine simple Funktionalgleichung, die zwischen den Funktionen $f$ und $F$ gilt!
 
 
@@ -656,31 +656,31 @@ eine simple Funktionalgleichung, die zwischen den Funktionen $f$ und $F$ gilt!
 \label{ssec:Rechen}
 
 Ich habe von Kollegen aus der Physik gehört, die Fourier-Transformation sei
-wegen ihrer Wichtigkeit die ``fünfte Grundrechenart''.  Das ist natürlich
+wegen ihrer Wichtigkeit die „fünfte Grundrechenart“.  Das ist natürlich falsch.
-falsch.  Tatsache ist, dass moderne Prozessoren die
+Tatsache ist, dass moderne Prozessoren die
-``\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform}{schnelle
+„\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform}{schnelle
-  Fouriertransformation}'' extrem effizient ausführen können.  Sehr viele
+Fouriertransformation}“ extrem effizient ausführen können.  Viele elektronische
-elektronischen Geräten enthalten zusätzlich Spezialchips zur
+Geräte enthalten zusätzlich Spezialchips zur Fouriertransformation.  Damit lässt
-Fouriertransformation.  Damit lässt sie die Fourier-Transformation so effizient
+sie die Fourier-Transformation so effizient implementieren, dass Computer die
-implementieren, dass Computer die Multiplikation ganzer Zahlen mit Hilfe von
+Multiplikation ganzer Zahlen mithilfe von Fourier-Transformation durchführen;
-Fourier-Transformation durchführen; Multiplikation ist also nur noch eine
+Multiplikation ist also nur noch eine Anwendung der schnellen
-Anwendung der schnellen Fouriertransformation.
+Fouriertransformation.
 
 \begin{quote}
   Der Schönhage-Strassen-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Multiplikation
   zweier großer ganzer Zahlen.  Er wurde 1971 von Arnold Schönhage und Volker
-  Strassen entwickelt.  Der Algorithmus basiert auf einer sehr schnellen Variante
+  Strassen entwickelt.  Der Algorithmus basiert auf einer sehr schnellen
-  der diskreten schnellen Fourier-Transformation sowie einem geschickten Wechsel
+  Variante der diskreten schnellen Fourier-Transformation sowie einem
-  zwischen der Restklassen- und der zyklischen Arithmetik in endlichen
+  geschickten Wechsel zwischen der Restklassen- und der zyklischen Arithmetik in
-  Zahlenringen.
+  endlichen Zahlenringen.
 
   -- \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%B6nhage%E2%80%93Strassen_algorithm}{Wikipedia}
 \end{quote}
 
 Schauen Sie sich auch einmal
 \href{https://aimath.org/news/congruentnumbers/howtomultiply.html}{diesen
-  Artikel} an.  Die Grundrechenarten im 21 Jahrhundert sind also nicht ``plus,
+Artikel} an.  Die Grundrechenarten im 21.~Jahrhundert sind also nicht „plus,
-minus, mal, geteilt'' sondern ``plus, minus, Fourier-Transformation''.
+minus, mal, geteilt“, sondern „plus, minus, Fourier-Transformation“.
 
 
 \subsection{Warum Sinus und Kosinus}
@@ -688,7 +688,7 @@ minus, mal, geteilt'' sondern ``plus, minus, Fourier-Transformation''.
 Sie fragen sich vielleicht, was das besondere an Sinus und Kosinus ist?  Warum
 sind diese beiden Funktionen so wichtig?  Eine Antwort ist: weil viele
 natürliche Prozesse (wie etwa unser Gehör) aus Sinus und Kosinus basieren.  Es
-gibt aber noch andere Funktionen, mit denen man etwas ähnliches machen kann, zum
+gibt aber noch andere Funktionen, mit denen man etwas Ähnliches machen kann, zum
 Beispiel die
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelfl%C3%A4chenfunktionen}{Kugelflächenfunktionen},
   die die quantenmechanischen Gleichungen zur Beschreibung von
@@ -708,10 +708,9 @@ von Menschen fünf-dimensional ist?
   Bei den Big Five (auch Fünf-Faktoren-Modell, FFM) handelt es sich um ein
   Modell der Persönlichkeitspsychologie.  Im Englischen wird es auch als
   OCEAN-Modell bezeichnet (nach den entsprechenden Anfangsbuchstaben Openness,
-  Conscientiousness, Extraversion, Agreeableness, Neuroticism).
+  \foreignlanguage{english}{Conscientiousness, Extraversion, Agreeableness,
-  
+  Neuroticism}). Dem Modell zufolge existieren fünf Hauptdimensionen der
-  Ihm zufolge existieren fünf Hauptdimensionen der Persönlichkeit und jeder
+  Persönlichkeit und jeder Mensch lässt sich auf folgenden Skalen einordnen:
-  Mensch lässt sich auf folgenden Skalen einordnen:
 
   \begin{itemize}
   \item Offenheit für Erfahrungen (Aufgeschlossenheit),
@@ -739,43 +738,43 @@ von Menschen fünf-dimensional ist?
   --- \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Big_Five_(Psychologie)}{Wikipedia}
 \end{quote}
 
-Die Frage nach der Persönlichkeit mag ein bischen theoretisch vorkommen, ist
+Die Frage nach der Persönlichkeit mag ein bisschen theoretisch vorkommen, ist
 aber für Sie von großem praktischen Belang; Datenanalyse-Firmen verdienen viel
 Geld damit, die fünf Koordinaten Ihrer Persönlichkeit für zahlende Kundschaft zu
-ermitteln --- suchen Sie im Internet nach den Worten ``Stryker'',
+ermitteln --- suchen Sie im Internet nach den Worten „Stryker“,
-``Bewerbungsgespräch'' und ``Gallup-Test'' um zu sehen, was ich meine.
+„Bewerbungsgespräch“ und „Gallup-Test“ um zu sehen, was ich meine.
 
 
-\subsection{Wie kommt man auf die Zahl ``fünf''?}
+\subsection{Wie kommt man auf die Zahl „fünf“?}
 
 Bis über die Schmerzgrenze hinaus übermäßig vereinfacht gesagt, so.
 
 \begin{itemize}
-\item Nimm eine Liste aller möglichen Adjektive der Englischen Sprache, die sich
+\item Nimm eine Liste aller möglichen Adjektive der englischen Sprache, die sich
-  auf ``Persönlichkeit'' beziehen -- bei Wikipedia ist von 18.000 Begriffen die
+  auf „Persönlichkeit“ beziehen -- bei Wikipedia ist von 18.000 Begriffen die
   Rede.
   
 \item Nimm eine möglichst große Gruppe von $P$ Probanden und messe für jeden
   Probanden, wie stark die einzelnen Adjektive ausgeprägt sind.  Wir erhalten
   für jeden Probanden $p ∈ P$ einen Vektor im $\vec{v}_p ∈ ℝ^{18000}$.
   
-\item Stelle fest, dass es einen fünf-dimensionalen Vektorraum
+\item Stelle fest, dass es einen fünf-dimensionalen Vektorraum $V ⊂ ℝ^{18000}$
-  $V ⊂ ℝ^{18000}$ gibt, so dass die Vektoren $(\vec{v}_p)_{p ∈ P}$ im
+  gibt, sodass die Vektoren $(\vec{v}_p)_{p ∈ P}$ im Wesentlichen alle in $V$
-  Wesentlichen alle in $V$ liegen.
+  liegen.
   
 \item Stelle auch fest, dass es keinen vier-dimensionalen Untervektorraum mit
   diesen Eigenschaften gibt.
 \end{itemize}
 
 Die Frage ist, wie man den Vektorraum $V$ jetzt praktisch findet; das ist die
-Aufgabe der ``Hauptkomponentenanalyse''.  Kurz gesagt berechnet man für je zwei
+Aufgabe der „Hauptkomponentenanalyse“.  Kurz gesagt berechnet man für je zwei
 Adjektive $a_i$ und $a_j$ die Kovarianz $a_{ij}$.
 
 \begin{quote}
   Kovarianz: Der Wert dieser Kenngröße macht tendenzielle Aussagen darüber, ob
   hohe Werte der einen Zufallsvariablen eher mit hohen oder eher mit niedrigen
-  Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen.  Die Kovarianz ist ein Maß für
+  Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen.  Die Kovarianz ist ein Maß
-  die Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen.
+  für die Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen.
 
   --- \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Stochastik)}{Wikipedia}
 \end{quote}
@@ -800,16 +799,16 @@ Zahlen stehen; alle anderen Zahlen sind vom Betrag recht klein.
 \subsection{… und weiter?}
 
 Hauptkomponentenanalyse wird in fast jedem Bereich der empirischen
-Wissenschaften verwendet.  Suchen Sie im Internet nach ``Hauptkomponentenanalyse
+Wissenschaften verwendet.  Suchen Sie im Internet nach „Hauptkomponentenanalyse
-und Sportwissenschaft''.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
+und Sportwissenschaft“.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
 \begin{itemize}
 \item Wendet man die Hauptkomponentenanalyse auf das Kaufverhalten von
   Konsumenten an, gibt es möglicherweise latente Faktoren wie sozialer Status,
   Alter oder Familienstand, die bestimmte Käufe motivieren.  Hier könnte man
   durch gezielte Werbung die Kauflust entsprechend kanalisieren.
   
-\item Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, könnte mit
+\item Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, kann man
-  Hilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im
+  mithilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im
   Modell reduziert werden, was meistens die Modellqualität steigert.
   
 \item Anwendung findet die Hauptkomponentenanalyse auch in der Bildverarbeitung
@@ -817,17 +816,18 @@ und Sportwissenschaft''.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele.
   analysieren und Rückschlüsse daraus ziehen.
   
 \item Ein weiteres Gebiet ist die Künstliche Intelligenz, zusammen mit den
-  Neuronalen Netzen.  Dort dient die PCA zur Merkmalstrennung im Rahmen der
+  neuronalen Netzen.  Dort dient die PCA zur Merkmals-Trennung im Rahmen der
   automatischen Klassifizierung bzw.  in der Mustererkennung.
 
-\item In quantitative finance, principal component analysis can be directly
+\item \foreignlanguage{english}{In quantitative finance, principal component
-  applied to the risk management of interest rate derivative portfolios.  Trading
+  analysis can be directly applied to the risk management of interest rate
-  multiple swap instruments which are usually a function of 30-500 other market
+  derivative portfolios.  Trading multiple swap instruments which are usually a
-  quotable swap instruments is sought to be reduced to usually 3 or 4 principal
+  function of 30-500 other market quotable swap instruments is sought to be
-  components, representing the path of interest rates on a macro
+  reduced to usually 3 or 4 principal components, representing the path of
-  basis.  Converting risks to be represented as those to factor loadings (or
+  interest rates on a macro basis.  Converting risks to be represented as those
-  multipliers) provides assessments and understanding beyond that available to
+  to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding
-  simply collectively viewing risks to individual 30-500 buckets.
+  beyond that available to simply collectively viewing risks to individual
+  30-500 buckets.}
 \end{itemize}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2