Working

.vscode/ltex.dictionary.en-US.txt

@@ -0,0 +1 @@
+observables

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -52,3 +52,5 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QBetrachte das folgende Diagramm: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, Rückzugsabbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Beim Betrachten des Diagramms \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q fällt auf, dass die Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von der Wahl der Skalarprodukte abhängen.\\E$"}
 {"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QIch hatte oben schon geschrieben, dass die orthogonaler Endomorphismen schwieriger zu beschreiben sind als unitäre; dieser Abschnitt ist dementsprechend auch länger als der Vorhergehende.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qder von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q stabilisiert wird“.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QRechnen Sie nach, dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QProd.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qin \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QStandardskalarprodukt Folgern Sie mithilfe von Beispiel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q messerscharf, dass die Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q genau dann selbstadjungiert ist, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine symmetrische oder Hermitesche Matrix ist.\\E$"}

05-Skalarprodukt-im-Rn.tex

@@ -141,9 +141,9 @@ Nullvektor abbilden.  Solche Abbildungen heißen „orthogonale Transformation
 
 \begin{defn}[Orthogonale Transformation]\label{defn-orthoTraf}%
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine \emph{orthogonale Transformation des $ℝ^n$
-    bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des
-    $ℝ^n$!orthogonal bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine
-  abstandserhaltende Abbildung $ψ: ℝ^n ˝→ ℝ^n$ mit $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
+  bezüglich des Euklidischen Abstands}\index{Transformation des $ℝ^n$!orthogonal
+  bezüglich des Euklidischen Abstands} ist eine abstandserhaltende Abbildung $ψ:
+  ℝ^n → ℝ^n$ mit $ψ(\vec{0}) = \vec{0}$.
 \end{defn}
 
 
@@ -152,12 +152,12 @@ Nullvektor abbilden.  Solche Abbildungen heißen „orthogonale Transformation
 Genau wie in Korollar~\ref{kor:5-2-5} stellen wir fest, dass die orthogonale
 Transformation eine Gruppe bilden.
 
-\begin{defn}[Orthogonale Gruppe]\label{def:5-3-3}
+\begin{defn}[Orthogonale Gruppe]\label{def:5-3-3}%
   Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Die orthogonalen Transformationen bilden mit der
   Verknüpfung eine Untergruppe der Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen
   $\Bij(ℝ^n)$.  Man nennt diese Gruppe die \emph{orthogonale Gruppe des $ℝ^n$
-    bezüglich der Euklidischen Norm}\index{orthogonale Gruppe!des $ℝ^n$
-    bezüglich der Euklidischen Norm}.
+  bezüglich der Euklidischen Norm}\index{orthogonale Gruppe!des $ℝ^n$ bezüglich
+  der Euklidischen Norm}.
 \end{defn}
 
 
@@ -191,8 +191,8 @@ Hilfsmittel dabei ist das „Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$“.
 \end{defn}
 
 Das Standardskalarprodukt ist natürlich schrecklich wichtig.  Die folgenden
-einfachen Eigenschaften rechnet man sofort nach.  Ich verzichte deshalb auf einen
-Beweis.  Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere
+einfachen Eigenschaften rechnet man sofort nach.  Ich verzichte deshalb auf
+einen Beweis.  Vielleicht beweisen Sie zu Übungszwecken die eine oder andere
 Eigenschaft einmal selbst?
 
 \begin{lem}[Einfache Eigenschaften des Standard-Skalarprodukts]
@@ -232,18 +232,16 @@ Die folgenden Begriffe sind sehr viel wichtiger, als es im Moment vielleicht
 scheint.
 
 \begin{defn}[Orthogonale Vektoren]
-  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Man nennt zwei Vektoren $\vec{x}$ und
-  $\vec{y} ∈ ℝ^n$ \emph{zueinander orthogonal}, falls
-  $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ ist\index{orthogonal!Paar von
-    Vektoren}.
+  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Man nennt zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈
+  ℝ^n$ \emph{zueinander orthogonal}, falls $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle =
+  0$ ist\index{orthogonal!Paar von Vektoren}.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Orthonormalbasis]
   Eine Basis $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\} ⊂ ℝ^n$ heißt \emph{Orthonormalbasis
-    bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter
-    Freunden: ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass $\langle \vec{v}_i,
-    \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das Kronecker-Delta
-    bezeichnet.
+  bezüglich des Standardskalarprodukts}\index{Orthonormalbasis} (unter Freunden:
+  ONB), falls für alle $i, j$ gilt, dass $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle =
+  δ_{ij}$, wobei $δ_{ij}$ wie üblich das Kronecker-Delta bezeichnet.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
@@ -253,10 +251,10 @@ scheint.
 
 Die folgende einfache Beobachtung und für viele der folgenden Beweise zentral.
 
-\begin{beobachtung}[Coefficient Picking]\label{bem:Ortho}
+\begin{beobachtung}[Coefficient Picking]\label{bem:Ortho}%
   Es sei eine Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ von Vektoren des $ℝ^n$
-  gegeben, wobei $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$ sei.  Weiter sei
-  $\vec{x} ∈ ℝ^n$ ein Vektor, den ich als Linearkombination darstellen kann:
+  gegeben, wobei $\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = δ_{ij}$ sei.  Weiter
+  sei $\vec{x} ∈ ℝ^n$ ein Vektor, den ich als Linearkombination darstellen kann:
   \[
     \vec{x} = \sum_{i=1}^n λ_i·\vec{v}_i .
   \]
@@ -279,7 +277,7 @@ Die folgende einfache Beobachtung und für viele der folgenden Beweise zentral.
 Was haben orthogonale Transformationen mit dem Standardskalarprodukt zu tun?
 Eine Menge, wie wir sofort sehen werden.
 
-\begin{lem}[Abbildung $φ$ erhält das Standardskalarprodukt]\label{lem:5-4-7}
+\begin{lem}[Abbildung $φ$ erhält das Standardskalarprodukt]\label{lem:5-4-7}%
   Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
   Euklidischen Abstands.  Dann gilt für alle $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ ℝ^n$ die
   Gleichung
@@ -318,7 +316,7 @@ Mithilfe unserer Vorbereitungen können wir jetzt die orthogonalen
 Transformationen des $ℝ^n$ (und damit auch die abstandserhaltenden Abbildungen)
 vollständig beschreiben.
 
-\begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1}
+\begin{satz}[Linearität orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-1}%
   Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine orthogonale Transformation des $ℝ^n$ bezüglich des
   Euklidischen Abstands.  Dann ist die Abbildung $φ$ linear.
 \end{satz}
@@ -344,7 +342,7 @@ vollständig beschreiben.
   Damit ist die Linearität gezeigt.  \qed
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-2}
+\begin{satz}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:5-5-2}%
   Es sei $φ: ℝ^n → ℝ^n$ eine lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis
   des $ℝ^n$ durch die Matrix $Q$ dargestellt wird.  TFAE:
   \begin{enumerate}

06-Produkte.tex

@@ -13,9 +13,9 @@ noch andere Skalarprodukte.  Das Ziel dieses Abschnittes ist es, Skalarprodukte
 (und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen und zu
 diskutieren.  Hier kommen alle relevanten Definitionen.
 
-\begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1}
-  Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum.  Eine Abbildung
-  $b: V⨯V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder
+\begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1}%
+  Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum.  Eine Abbildung $b: V⨯V → k$
+  heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder
   \emph{Bilinearform}\index{Bilinearform}, falls Folgendes gilt.
 
   \begin{description}

09-Orthogonal-Unitary.tex

@@ -12,18 +12,18 @@ größerer Allgemeinheit eingeführt haben, werden wir jetzt auch den Begriff
 „orthogonale Transformation“ verallgemeinern.  Wir betrachten durchweg die
 folgende Situation.
 
-\begin{situation}[Euklidischer oder unitärer Vektorraum mit Endomorphismus]\label{sit:9-1-1}
-  Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
+\begin{situation}[Euklidischer oder unitärer Vektorraum mit Endomorphismus]\label{sit:9-1-1}%
+  Sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
   Euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Weiter sei $f: V → V$ ein
   Endomorphismus.
 \end{situation}
 
-\begin{defn}[Orthogonale und unitäre Endomorphismen]\label{def:9-1-2}
+\begin{defn}[Orthogonale und unitäre Endomorphismen]\label{def:9-1-2}%
   In Situation~\ref{sit:9-1-1} nenne die Abbildung $f$
   \emph{orthogonal}\index{Transformation!orthogonal}\index{orthogonal!Transformation}
   beziehungsweise
-  \emph{unitär}\index{Transformation!unitär}\index{unitär!Transformation},
-  falls für alle Vektoren $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die folgende Gleichung gilt:
+  \emph{unitär}\index{Transformation!unitär}\index{unitär!Transformation}, falls
+  für alle Vektoren $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die folgende Gleichung gilt:
   \[
     \bigl\langle f(\vec{v}), f(\vec{w}) \bigr\rangle = \langle \vec{v}, \vec{w}
     \rangle.
@@ -126,14 +126,17 @@ $ℝ^n$ bezüglich des Euklidischen Abstands durch orthogonale Matrizen
 beschrieben.  Das geht in unserem verallgemeinerten Fall ganz genau so.
 
 \begin{aufgabe}[Matrizen orthogonaler Transformationen]\label{satz:9-2-1}%
-  In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei $B := \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ eine
-  angeordnete Orthonormalbasis von $V$.  Beweisen Sie in völliger Analogie zu
-  Satz~\ref{satz:5-5-2}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
+  In Situation~\ref{sit:9-1-1} sei 
+  \[
+  B := \{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}
+  \]
+  eine angeordnete Orthonormalbasis von $V$.  Beweisen Sie in völliger Analogie
+  zu Satz~\ref{satz:5-5-2}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
   \begin{enumerate}
   \item Die Abbildung $f$ ist orthogonal beziehungsweise unitär.
 
-  \item Die Matrix $Q := \Mat^B_B(f)$ erfüllt die Gleichung
-    $Q^t·Q = \Id_{n ⨯ n}$ beziehungsweise $\overline{Q^t}·Q = \Id_{n ⨯ n}$.
+  \item Die Matrix $Q := \Mat^B_B(f)$ erfüllt die Gleichung $Q^t·Q = \Id_{n ⨯
+    n}$ beziehungsweise $\overline{Q^t}·Q = \Id_{n ⨯ n}$.
   \end{enumerate}
   Dabei bezeichnet $Q^t$ die zu $Q$ transponierte Matrix.  Der Querstrich steht
   wie immer für die komplex-konjugierte Matrix.

10-selfAdjoint.tex

@@ -5,36 +5,36 @@
 
 \sideremark{Vorlesung 15}Wir hatten im Abschnitt~\ref{sec:adAbb} gesehen, dass
 es zu jeder linearen Abbildung $f : V → W$ von Euklidischen Vektorräumen stets
-eine adjungierte Abbildung $f^{\ad} : W → V$ gibt.  In diesem Kapitel
-betrachten wir den Spezialfall wo $V = W$ ist.  Dann sind sowohl $f$ als auch
-$f^{\ad}$ Endomorphismen von $V$ und wir und fragen, ob und unter welchen
-Umständen vielleicht $f = f^{\ad}$ ist.  Solche ``selbstadjungierten''
-Endomorphismen treten in der Analysis und in der Quantenmechanik auf, dort
-allerdings meistens im Zusammenhang mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen.
+eine adjungierte Abbildung $f^{\ad} : W → V$ gibt.  In diesem Kapitel betrachten
+wir den Spezialfall wo $V = W$ ist.  Dann sind sowohl $f$ als auch $f^{\ad}$
+Endomorphismen von $V$ und wir und fragen, ob und unter welchen Umständen
+vielleicht $f = f^{\ad}$ ist.  Solche „selbstadjungierten“ Endomorphismen treten
+in der Analysis und in der Quantenmechanik auf, dort allerdings meistens im
+Zusammenhang mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen.
 
 \begin{quote}
-  Self-adjoint operators are used in functional analysis and quantum
-  mechanics.  In quantum mechanics their importance lies in the Dirac–von Neumann
-  formulation of quantum mechanics, in which physical observables such as
-  position, momentum, angular momentum and spin are represented by self-adjoint
-  operators on a Hilbert space.  Of particular significance is the Hamiltonian
-  operator $\what{H}$ defined by
+  \foreignlanguage{english}{Self-adjoint operators are used in functional
+  analysis and quantum mechanics.  In quantum mechanics their importance lies in
+  the Dirac–von Neumann formulation of quantum mechanics, in which physical
+  observables such as position, momentum, angular momentum and spin are
+  represented by self-adjoint operators on a Hilbert space.  Of particular
+  significance is the Hamiltonian operator $\what{H}$ defined by
   \[
     \what{H} ψ = -\frac{\hbar²}{2m} ∇² ψ + V ψ
   \]
   which as an observable corresponds to the total energy of a particle of mass
-  $m$ in a real potential field $V$.
+  $m$ in a real potential field $V$.}
 
   -- \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator}{Wikipedia
     (Self-adjoint operator)}
 \end{quote}
 
 Vielleicht finden Sie es ein wenig verwirrend, dass die oben diskutierte
-Bedingung ``$f = f^{\ad}$'' in der folgenden Definition gar nicht auftaucht.
+Bedingung „$f = f^{\ad}$“ in der folgenden Definition gar nicht auftaucht.
 Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
 
-\begin{defn}[Selbstadjungierte Endomorphismen]\label{def:10-0-1}
-  Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
+\begin{defn}[Selbstadjungierte Endomorphismen]\label{def:10-0-1}%
+  Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimen\-sionaler
   Euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Weiter sei $f: V → V$ ein
   Endomorphismus.  Nenne den Endomorphismus $f$
   \emph{selbstadjungiert}\index{selbstadjungiert}\index{Endomorphismus!selbstadjungiert},
@@ -45,7 +45,7 @@ Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
   \]
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}[Selbstadjungiertheit bezüglich des Standardskalarprodukts]\label{bsp:10-0-2}
+\begin{bsp}[Selbstadjungiertheit bezüglich des Standardskalarprodukts]\label{bsp:10-0-2}%
   Es sei $V = ℝ^n$ oder $V = ℂ^n$ ausgestattet mit dem Standardskalarprodukt und
   es sei $f ∈ \End(V)$ durch eine Matrix $A$ gegeben.  Dann ist $f$ genau dann
   selbstadjungiert, falls für alle $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ gilt
@@ -54,8 +54,8 @@ Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
     = \langle \vec{v}, A · \vec{w} \rangle = \vec{v}^t · \overline{A} ·
     \overline{\vec{w}}.
   \]
-  Es folgt: der Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert, falls die
-  Gleichung $A^t = \overline{A}$ gilt.  Anders formuliert: der Endomorphismus
+  Es folgt: Der Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert, falls die
+  Gleichung $A^t = \overline{A}$ gilt.  Anders formuliert: Der Endomorphismus
   ist genau dann selbstadjungiert, falls die Matrix $A$ eine symmetrische oder
   Hermitesche Matrix ist.
 \end{bsp}
@@ -63,20 +63,20 @@ Schauen Sie sich deshalb noch einmal Satz~\vref{satz:8-4-5} an.
 \begin{aufgabe}
   In der Situation von Definition~\ref{def:10-0-1} sei $\mathcal{B}$ eine
   angeordnete Orthonormalbasis von $V$, mit zugehörender Koordinatenabbildung
-  $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℝ^n$ oder $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℂ^n$.
-  Rechnen Sie nach, dass für alle $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die Gleichung
+  $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℝ^n$ oder $Φ_{\mathcal{B}} : V → ℂ^n$. Rechnen Sie
+  nach, dass für alle $\vec{v}, \vec{w} ∈ V$ die Gleichung
   \[
     \underbrace{\langle \vec{v}, \vec{w} \rangle}_{\text{Prod.~in }V} = %
     \underbrace{\bigl\langle Φ_{\mathcal{B}}(\vec{v}), Φ_{\mathcal{B}}(\vec{w}) \bigr\rangle}_{\text{Standardskalarprodukt}}
   \]
-  Folgern Sie mit Hilfe von Beispiel~\ref{bsp:10-0-2} messerscharf, dass die
+  Folgern Sie mithilfe von Beispiel~\ref{bsp:10-0-2} messerscharf, dass die
   Abbildung $f ∈ \End(V)$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn
   $\Mat_\mathcal{B}^\mathcal{B}(f)$ eine symmetrische oder Hermitesche Matrix
   ist.
 \end{aufgabe}
 
 Wir werden in dieser einführenden Vorlesung die Theorie selbstadjungierte
-Endomorphismen nicht weit verfolgen, obwohl sich hier sehr viel interessantes
+Endomorphismen nicht weit verfolgen, obwohl sich hier sehr viel Interessantes
 sagen ließe.  Ich stelle mit den folgenden beiden Sätzen lediglich fest, dass
 selbstadjungierte Endomorphismen stets diagonalisierbar sind, und das sogar in
 besonders einfacher Weise.
@@ -107,7 +107,7 @@ besonders einfacher Weise.
 Der folgende Satz ist in der Literatur auch als
 \emph{Spektralsatz}\index{Spektralsatz} bekannt.
 
-\begin{satz}[Selbstadjungierte Endomorphismen haben ONB aus Eigenvektoren]\label{satz:10-0-5}
+\begin{satz}[Selbstadjungierte Endomorphismen haben ONB aus Eigenvektoren]\label{satz:10-0-5}%
   Es sei $\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ein endlich-dimensionaler
   Euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Weiter sei $f: V → V$ ein
   selbstadjungierter Endomorphismus.  Dann gibt es eine Orthonormalbasis von
@@ -120,14 +120,14 @@ Der folgende Satz ist in der Literatur auch als
 Satz~\ref{satz:10-0-5} sagt sofort, dass selbstadjungierte Endomorphismen (und
 damit auch alle symmetrischen und Hermiteschen Matrizen) diagonalisierbar sind.
 Der dazu nötige Basiswechsel ist sogar besonders einfach, weil die
-Basiswechselmatrizen $S$ orthogonal oder unitär gewählt werden können.  Das macht
-die Berechnung von $S^{-1}$ extrem einfach.
+Basiswechselmatrizen $S$ orthogonal oder unitär gewählt werden können.  Das
+macht die Berechnung von $S^{-1}$ extrem einfach.
 
-\begin{kor}[Diagonalisierbarkeit symmetrischer und Hermitescher Matrizen]
-  Sei $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ)$ oder $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℂ)$ eine symmetrische
-  oder Hermitesche Matrix.  Dann ist $A$ diagonalisierbar.  Besser noch: es gibt
-  eine orthogonale oder unitäre Matrix $S$, so dass $S·A·S^{-1}$ eine
-  Diagonalmatrix ist.
+\begin{kor}[Diagonalisierbarkeit symmetrischer und Hermitescher Matrizen]%
+  Sei $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℝ)$ oder $A ∈ \Mat(n ⨯ n, ℂ)$ eine symmetrische oder
+  Hermitesche Matrix.  Dann ist $A$ diagonalisierbar.  Besser noch: es gibt eine
+  orthogonale oder unitäre Matrix $S$, sodass $S·A·S^{-1}$ eine Diagonalmatrix
+  ist.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Nehmen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und rechnen Sie nach, was

12-Anwendungen.tex

@@ -515,8 +515,8 @@ Insgesamt sehen wir, dass die Menge
 \[
   \mathcal{F} := \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2·x), \cos(2·x), … \right\}
 \]
-eine orthonormale Teilmengen des Euklidischen Vektorraumes
-$\bigl( V, \langle •,• \rangle\bigr)$ ist.
+eine orthonormale Teilmenge des Euklidischen Vektorraumes $\bigl( V, \langle •,•
+\rangle\bigr)$ ist.
 
 
 \subsubsection{Rekonstruktion von Funktionen}