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\chapter{Transzendente Körpererweiterungen}
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\section{Algebraische Unabhängigkeit}
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Erinnern Sie sich: es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $b ∈ L$ ein
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Element. Dann heißt $b$ transzendent über $K$, wenn der Substitutionsmorphismus
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\[
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K[X] \rightarrow L, \quad f(x) ↦ f(b)
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\]
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injektiv ist. Wenn nicht, dann nenne $b$ algebraisch. Das geht auch mit mehr
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als einem Element.
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\begin{defn}[Algebraische Unabhängigkeit]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung, und es seien $b_1, …, b_n ∈ L$. Nenne
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die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch unabhängige
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Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der
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Substitutionsmorphismus
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\[
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K[X_1, …, X_n] \rightarrow L, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n)
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\]
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injektiv ist. Ansonsten nenne die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch!
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Abhängigkeit}. Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als
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\emph{algebraische Relationen}\index{algebraisch!Relationen} der Elemente
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$b_1,…, b_n$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Genau wie beim Begriff der ``linearen Unabhängigkeit'' ist die Definition der
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algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich. Statt zu sagen ``die
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Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig'' wäre es besser und
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richtiger, zu sagen: ``die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch
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unabhängig''. Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~…
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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In der Literatur nennt man eine (vielleicht unendliche) Familie von Elementen,
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$(b_i)_{i ∈ I}$ algebraisch unabhängig, wenn der entsprechende
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Substitutionsmorphismus $K[(X_i)_{i ∈ I}] \rightarrow L$ injektiv ist. Ich
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habe keine Lust, Polynomringe in unendlich vielen Variablen zu diskutieren und
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beschränke mich auf den endlichen Fall.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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Gelegentlich wird der Begriff ``algebraisch unabhängig'' statt für
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Körpererweiterungen auch allgemeiner für Inklusionen $A ⊆ B$ in
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Integritätsringen verwendet. Das kann man machen. Wir beobachten, dass der
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Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist,
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wenn die zugehörende Abbildung $Q(A)[X_1,…,X_n] \rightarrow Q(B)$ injektiv
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ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotientenkörper bezeichnet.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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Im Allgemeinen ist es sehr schwer, zu entscheiden, ob gegebene Elemente
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algebraisch unabhängig sind. So ist zum Beispiel unbekannt, ob $e, π ∈ ℂ$
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algebraisch unabhängig über $ℚ$ sind.
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\end{bemerkung}
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\section{Transzendenzbasen}
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Algebraische Unabhängigkeit ist ein bisschen wie lineare Unabhängigkeit. Und
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genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als ``linear unabhängige Menge, die
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maximal ist bezüglich der Inklusion'', definieren wir jetzt die
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Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.
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\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Eine
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\emph{Transzendenzbasis}\index{Transzendenzbasis} von $L$ über $K$ ist eine
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algebraisch unabhängige Teilmenge von $L$, die maximal bezüglich der Inklusion
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ist.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet ``maximal bezüglich der Inklusion'' mit
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anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist
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algebraisch abhängig über $K$.
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\end{bemerkung}
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\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $L := K(X_1, …, X_n)$ der Körper der
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rationalen Funktionen in $n$ Variablen. Dann bilden die Elemente
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$X_1, …, X_n ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$.
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\end{bsp}
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\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei
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$M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ eine Menge, die algebraisch unabhängig
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über $K$ ist. Die Menge $M$ ist genau dann eine Transzendenzbasis von $L$
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über $K$, wenn die Körpererweiterung $L/K(M)$ algebraisch ist.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Gegeben ein Element $b ∈ L$, dann stellen wir erst einmal folgende
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Äquivalenzen fest.
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\begin{align*}
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b \text{ ist algebraisch über } K(M) & \iff ∃ p ∈ K(b_1, …, b_n)[x] : p(b) = 0 \\
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& \iff ∃ \tilde{p} ∈ K[y_1, …, y_n, x] : \tilde{p}(b_1,…,b_n,b) = 0\\
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& \iff \lbrace b_1,…, b_n, b \rbrace \text{ sind algebraisch abhängig über } K.
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\end{align*}
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Wir erkennen: die Menge algebraisch unabhängige Menge $M$ ist genau dann
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maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch
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über $K(M)$ ist.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}
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Die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus Lemma~\ref{lem:4-2-4}
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funktioniert natürlich ebenso für unendliche Menge $M$. Aber ich bin zu faul.
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\end{bemerkung}
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In der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' beweist man den Basisergänzungssatz. Das
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geht auch hier.
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\begin{satz}[Basisergänzung]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Wenn $Γ ⊆ L$ ein
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Erzeugendensystem ist und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$
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ist, dann lässt sich $S$ zu einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$
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ergänzen.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa
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$Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$. In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von
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Zorn's Lemma, dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen
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Teilmenge $B ⊆ Γ$ vergrößern können. Die Annahme ``maximal groß'' impliziert,
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dass jedes $γ_{•}$ algebraisch über $K(B)$ ist. Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$
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algebraisch über $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus
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Lemma~\ref{lem:4-2-4} zeigt, dass $B$ eine Transzendenzbasis ist.
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\end{proof}
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\section{Transzendenzgrad}
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\sideremark{Vorlesung 4}Das Analogon zur Dimension eines Vektorraumes ist der
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Transzendenzgrad einer Körpererweiterung. Wir beginnen mit dem
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Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall.
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\begin{prop}[Basisaustauschlemma]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$ eine
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endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$. Weiter sei
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$\{ c_1, …, c_m \} ⊂ L$ algebraisch unabhängig über $K$. Dann ist $m ≤ n$.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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\video{4-1}
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\end{proof}
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\begin{kor}[Größe von Transzendenzbasen]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ$ eine Transzendenzbasis von
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$L$ über $K$.
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\begin{itemize}
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\item Wenn $Γ$ unendlich viele Elemente hat, dann hat jede andere
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Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ebenfalls unendlich viele Elemente.
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\item Wenn $Γ$ endlich ist, dann hat jede andere Transzendenzbasis von $L$
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über $K$ genau so viele Elemente wie $Γ$. \qed
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\end{itemize}
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\end{kor}
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\begin{defn}[Transzendenzgrad]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann definiere den
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\emph{Transzendenzgrad von $L$ über $K$}\index{Transzendenzgrad} als
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\[
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\trdeg(L/K) =
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\begin{cases}
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n &\text{falls $L/K$ eine endlich Transzendenzbasis mit $n$ Elementen besitzt}\\
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∞ &\text{sonst.}
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\end{cases}
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\]
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\end{defn}
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\begin{bsp}[Algebraische Körpererweiterungen]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Es ist $\trdeg(L/K) = 0$ genau dann,
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wenn $L/K$ algebraisch ist.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
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Es sei $K$ ein Körper. Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Komplexe und rationale Zahlen]
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Es ist $\trdeg(ℂ/ℚ) = ∞$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Algebraische Unabhängigkeit von $e$ und $π$]
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Es ist unbekannt, ob die Zahl $\trdeg(ℚ(e,π)/ℚ)$ gleich 1 oder gleich 2
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ist.
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\end{bsp}
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Hier ist etwas, das wir mit Körpern, aber nicht mit Vektorräumen machen können:
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Ketten bilden. Der Transzendenzgrad ist additiv in Ketten von
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Körpererweiterungen.
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\begin{prop}[Transzendenzgrad in Ketten von Körpererweiterungen]
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Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Dann ist
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$\trdeg(M/K) = \trdeg(L/K) + \trdeg(M/L)$.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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\video{4-2}
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\end{proof}
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\section{Rein transzendente Erweiterungen}
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In der amerikanischen Unabhängigkeitserklärung stellte Thomas Jefferson
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bekanntermaßen fest: ``all men are created equal''. Das kann man für
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transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen. Wie das folgende
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Beispiel zeigt, gibt es ``rein transzendente'' Erweiterungen und es gibt
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solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.
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\begin{itemize}
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\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1. Die Menge
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$\{x\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Jedes Element von $ℚ(x)$ ist
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tranzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
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\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Tranzendenzgrad
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1. Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis. Dennoch gibt es in
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$ℚ(\sqrt{2})$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$.
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Interessanterweise zerlegt sich die Erweiterung
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\[
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ℚ(\sqrt{2}, π) ⊋ ℚ(π) ⊋ ℚ.
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\]
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Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern
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$ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$
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transzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
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Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch.
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\end{itemize}
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\begin{defn}[Rein transzendente Erweiterung]
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Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{rein transzendent}\index{rein
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transzendente Erweiterung}, wenn es eine Transzendenzbasis $B$ von $L$ über
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$K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}[Rein transzendente Erweiterungen]
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Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis
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$B = \{b_1, …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus
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$L ≅ K(x_1, …, x_n)$. Insbesondere ist jedes Element von $L$ tranzendent
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über $K$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $K$ liegt.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}
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Wenn $L/K$ transzendent, aber nicht rein transzendent ist, dann kann ich mir
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eine Transzendenzbasis $B$ nehmen und die folgende Kette von
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Körpererweiterungen betrachten,
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\[
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L ⊋ K(B) ⊊ K.
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\]
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Dann ist $K(B)/K$ rein transzendent und $L/K(B)$ ist algebraisch.
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\end{bemerkung}
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\begin{warnung}
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Die Zerlegung aus Bemerkung~\ref{bem:4-4-3} ist \emph{nicht
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kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art ``Galois-Theorie für
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transzendente Erweiterungen'' sehen, dann haben Sie in der Vorlesung
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``Algebra'' gut aufgepasst. Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der
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Wahl der Transzendenzbasis ab! Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung
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$K ⊆ K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der
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Vorlesung ``Algebra'' kennengelernt haben. Diese ist eindeutig.
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\end{warnung}
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Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine gegebene Körpererweiterung
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rein transzendent ist. Der berühmte
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_L\%C3\%BCroth}{Satz von
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Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob
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Lüroth} (* 18. Februar 1844 in Mannheim; † 14. September 1910 in München)
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war ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich
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ohne Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen
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Parametrisierbarkeit gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den
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Zusammenhang (wenn überhaupt) erst sehr viel später verstehen.
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\begin{satz}[Satz von Lüroth]
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Betrachte eine Kette von Körpererweiterungen,
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\[
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ℂ ⊆ L ⊆ ℂ(X_1,…,X_n).
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\]
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Falls $\trdeg(L/ℂ) ∈ \{1,2\}$ ist, dann ist $L/ℂ$ rein transzendent.
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\qed
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\end{satz}
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Für $n ≥ 3$ wissen wir praktisch nichts.
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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