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\selectlanguage{german}
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\section*{Vorbemerkung}
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Dieses Skript zur Vorlesung „Kommutative Algebra und Einführung in die
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Algebraische Geometrie“ baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
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auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
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hat. Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt, was ungefähr der Länge eines
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Sommersemesters entspricht.
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Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben. Um schnell zu erkennen, ob der
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Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie unten auf jeder Seite
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die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich
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lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen
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Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets
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auf dem aktuellen Stand.
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Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
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ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
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Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
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\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
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\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir
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korrigieren schnellstmöglich! Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und
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Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts
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beigetragen haben.
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Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos
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und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir
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fügen gern einen Link in den Text ein!
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\bigskip
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\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}
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\subsection*{Literatur}
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Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen
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Mathematik. Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten
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Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche
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Schwerpunkte setzen. Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem
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Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen. Das Internet ist voll von
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weiteren Materialien!
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Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu
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verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
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\begin{itemize}
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\item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von
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hervorragenden
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\href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur
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Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen.
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\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
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Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
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\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein
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Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
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Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bisschen lang, aber ein
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absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
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YouTube-Kanal
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\href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
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Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten „Pseudo-Vorlesungen“.
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\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
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\cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
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\href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage}
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heruntergeladen werden kann.
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\item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur
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kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt. Das Gegenteil ist
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Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen
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sichern kann. Eisenbud's Buch ist ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}. Es
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ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad.
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\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
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kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den Einführungstexten
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in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel mehr Material
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als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein das erste
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Kapitel lohnt sich…
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\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
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Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte
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Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden
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Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert.
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\item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält
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ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig
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Theorie.
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\item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das
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Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem
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Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den
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algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie. Hier wird mit Computern
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gerechnet!
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\item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de
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Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project}
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--- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der
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Algebraischen Geometrie. Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in
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den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden. Hier
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findet sich ALLES, was man jemals braucht.
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\end{itemize}
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\subsection*{Computer-Programme}
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Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
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Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
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außerdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
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Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
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dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
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vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
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sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
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Output von „\texttt{isIrreducible($f$)}“ aber nicht akzeptieren.
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\subsubsection*{Sage}
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Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
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durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
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herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc.
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Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, oder
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den Service CoCalc verwenden.
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\subsubsection*{CoCalc}
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CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
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Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der
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kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
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\subsubsection*{Macaulay2}
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Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
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\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
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herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
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leicht zu benutzen.
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