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\selectlanguage{german}
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\chapter{Der affine Koordinatenring}
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\section{Koordinatenringe}
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\label{sec:7-1}
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Im nächsten Kapitel werden wir ernsthaft anfangen, zu rechnen. Vorher möchte
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ich in aller Kürze noch ein weiteres algebraisches Objekt einführen und dessen
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geometrische Bedeutung klären. Um zu erklären, worum es überhaupt geht,
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betrachte man ein Radikalideal $J ⊂ ℂ[x_1, …, x_n]$ mit zugehörender
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algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_ℂ$. Dann kann man den Restklassenring
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$ℂ[x_1, …, x_n] / J$ wie folgt interpretieren:
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\begin{itemize}
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\item Zuerst kann ich den Polynomring $ℂ[x_1, …, x_n]$ als Unterring des Rings
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$\cC⁰(𝔸^n_ℂ)$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen.
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\item Analog betrachte ich den Ring $\cC⁰(X)$ der auf $X$ stetigen
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komplexwertigen Funktionen.
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\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung $\cC⁰(𝔸^n_ℂ) →
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\cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=2.2cm]
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ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_ℂ) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X).
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\end{tikzcd}
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\]
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Die verkettete Abbildung bezeichne ich mit $φ : ℂ[x_1, …, x_n] → \cC⁰(X)$.
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\end{itemize}
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Die wesentliche Beobachtung ist, dass die Gleichheit $J = \ker(\varphi)$ gilt.
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Nach dem Homomorphiesatz ist der Quotientenring
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\[
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\factor{ℂ[x_1, …, x_n]}{J} ≅ \img φ ⊆ \cC⁰(X)
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\]
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also der Unterring der durch Polynome repräsentierbaren komplexwertigen stetigen
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Funktionen auf $X$. Mit dieser Identifikation entsprechen die Funktionen
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$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinatenfunktionen auf $X$. Dies motiviert die
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folgende Definition.
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\begin{defn}[Affiner Koordinatenring]\label{def:7-0-1}
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n$ eine Zahl und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine
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algebraische Menge. Dann wird der Quotientenring
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\[
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\factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)}
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\]
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als der \emph{affine Koordinatenring von $X$}\index{affiner Koordinatenring}
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bezeichnet. Für diesen Ring ist die Schreibweise $k[X]$ üblich.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Situation wie in Definition~\ref{def:7-0-1}. Beachten Sie, dass der affine
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Koordinatenring $k[X]$ in natürlicher Weise die Struktur einer $k$-Algebra
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trägt. Das wird noch wichtig werden.
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\end{bemerkung}
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Ich frage in diesem kurzen Kapitel nach der geometrischen Bedeutung des affinen
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Koordinatenringes. Nach Satz~\vref{satz:6-1-3} können wir jetzt schon sagen,
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dass eine algebraische Menge $X$ genau dann irreduzibel ist, wenn der affine
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Koordinatenring nullteilerfrei ist.
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\begin{aufgabe}
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Betrachten Sie noch einmal das Achsenkreuz, unser zentrales Beispiel für eine
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reduzible algebraische Menge. Vollziehen Sie an diesem Beispiel noch einmal
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nach, dass der affine Koordinatenring tatsächlich Nullteiler hat und finden
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Sie Nullteiler, die in direkter Beziehung zur Zerlegung des Achsenkreuzes
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stehen.
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\end{aufgabe}
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\section{Morphismen}
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Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die
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man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische
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Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal
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sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll. Die
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Sache ist eigentlich sehr einfach.
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\begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen]
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Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
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Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten
|
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auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$. Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$
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heißt \emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder
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\emph{Morphismus von algebraischen Mengen}\index{Morphismus von algebraischen
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Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für
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jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
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\[
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||
f(\vec{x}) =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
f_1(\vec{x}) \\
|
||
\vdots \\
|
||
f_m(\vec{x})
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||
\end{pmatrix}
|
||
\]
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||
gilt.
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\end{defn}
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\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2} Es sei $k$ ein Körper. Die polynomiale Abbildung
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\[
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f : 𝔸¹_k → 𝔸³_k, \quad t ↦ (t,t²,t³)
|
||
\]
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||
liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge $V
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||
\bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}\label{bsp:7-1-3}
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||
Die polynomiale Abbildung
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\[
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||
f : 𝔸¹_ℂ → 𝔸²_ℂ, \quad t ↦ (t²,t³)
|
||
\]
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liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge $V
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||
\bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$. Traditionell bezeichnet man die Bildmenge $V
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\bigl(y²-x³ \bigr)$ als „Neilsche Parabel“. Zeichnen Sie ein reelles Bild
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dieser Menge. Finden Sie heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu
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einer ganz besonderen Kurve macht. Besorgen Sie sich die ungekürzte
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Originalausgabe des Romans „Moby Dick“ und finden Sie die Stelle, an der die
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Neilsche Parabel eine Rolle spielt. Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine
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Rolle.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}\label{bsp:7-1-4}
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||
Die polynomiale Abbildung
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\[
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||
f : 𝔸²_ℂ → 𝔸³_ℂ, \quad (x,y) ↦ (x², x·y, y²)
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\]
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liefert einen Morphismus von $𝔸²_ℂ$ in die algebraische Menge
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$V \bigl(ac-b² \bigr) ⊆ 𝔸³_ℂ$. Was macht diese Abbildung geometrisch?
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\end{bsp}
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\begin{defn}[Isomorphismen]
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Es sei $k$ ein Körper und es seien $n$ und $m$ Zahlen gegeben. Zwei
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algebraische Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ heißen
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\emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen $f:V
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→ W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist. In
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diesem Fall nennt man die Morphismen $g$ und $f$
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\emph{Isomorphismen}\index{Isomorphismen von algebraischen Mengen}.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Beweisen Sie, dass der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-2} ein
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Isomorphismus ist. Der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-4} ist nicht
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injektiv, also garantiert kein Isomorphismus.
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\end{bsp}
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\begin{aufgabe}
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Beweisen Sie, dass der Morphismus aus Beispiel~\ref{bsp:7-1-3} zwar bijektiv,
|
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aber dennoch kein Isomorphismus ist! Wir lernen, dass bijektive Morphismen
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von algebraischen Mengen keine Isomorphismen sein müssen. Das war bei
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Vektorraummorphismen noch ganz anders.
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\end{aufgabe}
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\section{Morphismen von Koordinatenringen und von algebraischen Mengen}
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\label{sec:7-3}
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Was haben Koordinatenringe mit Morphismen zu tun? Um den Zusammenhang präzise
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zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest.
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\begin{situation}\label{sit:7-2-1}%
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Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
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Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten
|
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auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit
|
||
$y_1, …, y_m$. Die affinen Koordinatenringe sind dann
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\[
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||
k[X] = \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} %
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||
\quad\text{und}\quad %
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k[Y] = \factor{k[y_1, …, y_m]}{I(Y)}.
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||
\]
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\end{situation}
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\subsection{Von Morphismen zwischen Mengen zu Morphismen der Koordinatenringe}
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\label{sec:7-2-1}
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In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein Morphismus $f : X → Y$ von algebraischen
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Mengen gegeben. Nach Definition gibt es also Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …,
|
||
x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
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||
\[
|
||
f(\vec{x}) =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
f_1(\vec{x}) \\
|
||
\vdots \\
|
||
f_m(\vec{x})
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
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||
gilt. Wir definieren damit die folgende „Rückzugsabbildung“
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||
\[
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||
\begin{matrix}
|
||
φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
|
||
&& g(y_1, …, y_m) & ↦ & g\Bigl(f_1(x_1, …, x_n), …, f_m(x_1, …, x_n)\Bigr).
|
||
\end{matrix}
|
||
\]
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||
Wir beobachten, dass es sich bei $φ^*$ nicht nur um einen Ringmorphismus,
|
||
sondern sogar um einen Morphismus von $k$-Algebren handelt. Die Abbildung $f$
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bildet die Menge $X$ in die Menge $Y$ ab. Wenn ein Polynom $g ∈ k[y_1, …, y_m]$
|
||
auf der Menge $Y$ verschwindet, also $g ∈ I(Y)$, dann verschwindet die Funktion
|
||
$φ^*(g) ∈ k[x_1, …, x_n]$ dann logischerweise auf der Menge $X$; es gilt also
|
||
$φ^*(g) ∈ I(X)$. Als Konsequenz sehen wir, dass die Abbildung $φ^*$ einen
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wohldefinierten $k$-Algebramorphismus zwischen den affinen Koordinatenringen
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liefert, den man typischerweise mit
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\[
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f^* : K[Y] → K[X]
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||
\]
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bezeichnet.
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\begin{aufgabe}
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In dieser Konstruktion mussten wir Polynome $f_1, …, f_n$ wählen, die durch
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unsere Annahmen nicht eindeutig festgelegt sind. Zeigen Sie an einem
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Beispiel, dass die Abbildung $φ^*$ in nicht-trivialer Weise von der Wahl der
|
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$f_•$ abhängt. Beweisen Sie im Gegensatz dazu, dass der $k$-Algebramorphismus
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$f^*$ unabhängig von der Wahl der $f_•$ ist.
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\end{aufgabe}
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\subsection{Von Morphismen der Koordinatenringe zu Morphismen zwischen Mengen}
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\label{sec:7-2-2}
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In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein $k$-Algebramorphismus $f^* : k[Y] → k[X]$
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der affinen Koordinatenringe gegeben. Für jeden Index $1 ≤ i ≤ m$ wählen wir
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dann ein Polynom $f_i ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass die Restklasse $[f_i] ∈ k[X]$
|
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exakt das Bild der Restklasse $[y_i] ∈ k[Y]$ unter der Abbildung $f^*$ ist,
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||
\begin{equation}\label{eq:7-2-2-1}
|
||
f^* \Bigl( [y_i] \Bigr) = [f_i].
|
||
\end{equation}
|
||
Als Nächstes definieren wir eine „Rückzugsabbildung“,
|
||
\[
|
||
\begin{matrix}
|
||
φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
|
||
&& g(y_1, …, y_m) & ↦ & g\Bigl(f_1(x_1, …, x_n), …, f_m(x_1, …, x_n)\Bigr),
|
||
\end{matrix}
|
||
\]
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||
die uns bekannt vorkommt. Offenbar gilt für jeden Index $i$ die Gleichheit
|
||
$φ^*(y_i) = f_i$, also gilt nach~\eqref{eq:7-2-2-1} die folgende Gleichheit von
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Restklassen in $k[X]$,
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\[
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||
\bigl[φ^*(y_i) \bigr] = f^*\bigl([y_i]\bigr), \quad \forall i.
|
||
\]
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||
Aus der Linearität folgt dann die allgemeinere Gleichheit von Restklassen in
|
||
$k[X]$,
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||
\[
|
||
\bigl[φ^*(g) \bigr] = f^*\bigl([g]\bigr), \quad \forall g ∈ k[y_1, …, y_m].
|
||
\]
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||
Insbesondere gilt für alle $g ∈ I(Y)$ die Gleichheit $[g] = 0 ∈ k[Y]$ und
|
||
deshalb
|
||
\[
|
||
\bigl[φ^*(g) \bigr] = f^*\bigl([g]\bigr) = f^*\bigl(0\bigr) = 0 ∈ k[X].
|
||
\]
|
||
Wir erkennen also, dass die Abbildung $φ^*$ das Ideal $I(Y)$ auf $I(X)$
|
||
abbildet. Diese Erkenntnis wird nützlich werden, wenn wir die folgende
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||
polynomiale Abbildung betrachten,
|
||
\[
|
||
φ : 𝔸^n_k → 𝔸^m_k, \quad \vec{x} ↦
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
f_1(\vec{x}) \\
|
||
\vdots \\
|
||
f_m(\vec{x})
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
\]
|
||
Sei jetzt nämlich ein Punkt $\vec{x} ∈ X$ gegeben. Ich behaupte, dass
|
||
$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt. Äquivalent: ich behaupte, dass jedes $g\bigl(
|
||
φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$. Sei also ein solches $g$
|
||
gegeben. Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$
|
||
\[
|
||
g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = \bigl( φ^*(g) \bigr)(\vec{x}),
|
||
\]
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||
wir hatten aber gerade erst gesehen, dass $φ^*(g) ∈ I(X)$ liegt, also auf
|
||
$\vec{x}$ verschwindet.
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Zusammenfassung: durch Einschränkung auf $X$ liefert die Abbildung $φ$ einen
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Morphismus $f : X → Y$.
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\subsection{Koordinatenringe und Morphismen}
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Es wird Sie nicht überraschen: Die Konstruktionen aus den
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Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} sind zueinander invers. Ich
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||
lasse Ihnen den detaillierten Beweis als Hausaufgabe und halte das Ergebnis
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fest.
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\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3}%
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||
In Situation~\ref{sit:7-2-1} liefern die Konstruktionen aus den
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||
Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} zueinander inverse Bijektionen
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||
\[
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||
\bigl\{ \text{ Morphismen } X → Y \bigr\} \leftrightarrow \bigl\{ \text{
|
||
$k$-Algebrahomomorphismen $k[Y] → k[X]$ } \bigr\}. \eqno \qed
|
||
\]
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||
\end{satz}
|
||
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||
Insbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen
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||
einer geometrischen Eigenschaft des Varietätenmorphismus entsprechen muss. Ich
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||
diskutiere hier nur das allererste Beispiel.
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||
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||
\begin{prop}[Injektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-4}
|
||
In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen und die
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||
algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel. Weiter es sei $f : X → Y$
|
||
ein Morphismus von algebraischen Mengen. Dann sind folgende Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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||
\item Die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist injektiv.
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||
|
||
\item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der Zariski-Topologie. Mit
|
||
anderen Worten: jede algebraische Teilmenge $Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält,
|
||
ist gleich $Y$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{prop}
|
||
\begin{proof}
|
||
Angenommen, die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist nicht injektiv. Dann gibt
|
||
es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$ ist. Dann ist
|
||
aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge $\{g=0\} ⊊ Y$
|
||
enthalten.
|
||
|
||
Angenommen, die Bildmenge $f(X)$ sei in einer echten algebraischen Teilmenge
|
||
$Y' ⊊ Y$ enthalten. Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion, die auf $Y'$
|
||
verschwindet. Dann ist $0 = g◦f = f^*(g)$, also ist $f^*$ nicht injektiv.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5}%
|
||
In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen. Weiter es sei
|
||
$f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Falls die Abbildung $f^*
|
||
: k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv.
|
||
\end{prop}
|
||
\begin{proof}
|
||
Hausaufgabe!
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{frage}
|
||
Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme „$k$
|
||
algebraisch abgeschlossen“ verwendet. Ist der Satz vielleicht auch ohne diese
|
||
Annahme richtig?
|
||
\end{frage}
|
||
|
||
Es gilt sogar mehr: Die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und
|
||
\ref{sec:7-2-2} sind \emph{funktoriell}\index{Funktorialität}. Damit ist
|
||
Folgendes gemeint: wenn eine Kette von Morphismen zwischen algebraischen Mengen
|
||
gegeben ist,
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z,
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
dann ist $g^*◦f^* = (g◦f)^*$. Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen von
|
||
$k$-Algebren gegeben ist,
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
k[Z] \ar[r, "g^*"] & k[Y] \ar[r, "f^*"] & k[X],
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
mit zugehörenden Abbildungen und $f: X → Z$ und $g: Y → Z$, dann ist $g◦f$ die
|
||
zu $f^*◦g^*$ gehörende Abbildung. Insbesondere sehen wir: zwei algebraischen
|
||
Mengen $X$ und $Y$ sind genau dann isomorph, wenn die affinen Koordinatenringe
|
||
$k[X]$ und $k[Y]$ isomorphe $k$-Algebren sind. Der affine Koordinatenring legt
|
||
die algebraische Menge also bis auf Isomorphie fest!
|
||
|
||
|
||
\subsection{Reduzierte Ringe}
|
||
|
||
Die nächste Frage: wann ist eine $k$-Algebra $R$ der affine Koordinatenring
|
||
einer algebraischen Varietät, also von der Form $k[x_1, …, x_n]/I$, wobei $I$
|
||
ein Radikalideal ist? Klar ist, dass die affinen Koordinatenringe folgende
|
||
Eigenschaften haben.\CounterStep
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Sie sind als $k$-Algebra endlich erzeugt (klar, denn die Polynome
|
||
$x_1, …, x_n$ sind Erzeuger).
|
||
|
||
\item Wenn $f ≠ 0$, dann ist auch $f^n ≠ 0$ für alle $n ∈ ℕ$ (klar,
|
||
denn sonst wäre $I$ kein Radikal).
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\begin{definition}[Nilpotente Elemente]
|
||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $f ∈ R$. Man nennt $f$
|
||
\emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, sodass
|
||
$f^n = 0$ ist.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{notation}[Reduzierte Ringe]
|
||
Es sei $k$ ein Körper. Endlich erzeugte $k$-Algebren ohne nilpotente Elemente
|
||
werden auch als \emph{reduzierte Ringe}\index{reduzierter Ring} bezeichnet.
|
||
\end{notation}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9}%
|
||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $R$ eine endliche erzeugte $k$-Algebra ohne
|
||
nilpotente Elemente. Dann ist $R$ isomorph zum affinen Koordinatenring einer
|
||
Varietät. Wenn nämlich $e_1, …, e_n ∈ R$ Erzeuger sind, dann betrachte die
|
||
Substitutionsabbildung
|
||
\[
|
||
φ : k[x_1, …, x_n] → R, \quad f ↦ f(e_1, …, e_n).
|
||
\]
|
||
Die Annahme, dass $R$ keine nilpotenten Elemente enthält, stellt sicher, dass
|
||
$I := \ker φ$ ein Radikalideal ist. Nach dem Homomorphiesatz ist $R$ isomorph
|
||
zu $k[x_1, …, x_n]/I$, und weil $I$ ein Radikalideal ist, ist dies isomorph
|
||
zum affinen Koordinatenring von $V(I)$.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
Zusammenfassung: die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und
|
||
\ref{sec:7-2-2} liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen den
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Isomorphieklassen von algebraischen Mengen und den Isomorphieklassen von
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reduzierten Ringen.
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\subsubsection{Diskussion}
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In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen „extrinsischen“ und
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„intrinsischen“ Eigenschaften. Wenn ich zum Beispiel „Flächen im Raum“
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diskutiere, dann sind extrinsische Eigenschaften solche, die davon abhängen, wie
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die Fläche in den Raum eingebettet ist („Enthält die Fläche Geraden?“). Im
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Gegensatz dazu hängen intrinsische Eigenschaften der Fläche nicht von der Wahl
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einer speziellen Einbettung in den Raum ab („Was ist die Krümmung? Wie sieht
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die Symmetriegruppe aus?“).
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Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung „Die
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Varietäten sind gleich, nur auf unterschiedliche Art in affine Räume
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eingebettet“. Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das
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richtige algebraische Objekt, welches die intrinsische Geometrie von Varietäten
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beschreibt, der affine Koordinatenring ist. Dieser Standpunkt wurde von
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insbesondere von Alexander
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Grothendieck\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck}{Alexander
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Grothendieck} (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in Saint-Lizier
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in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein deutsch-stämmiger
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französischer Mathematiker. Er war Begründer einer eigenen Schule der
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algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren maßgeblich
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beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der Mathematik
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anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch politische Ideen des
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Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner
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zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück. 1991 verschwand er
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völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in den Pyrenäen war
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nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als eine sehr
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einflussreich und weit führend herausgestellt. Hier ließe sich noch sehr viel
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sagen und es ließen sich
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\href{https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf}{viele
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Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige
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Zeitpunkt dafür …
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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%%% End:
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