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\chapter{Noether-Normalisierung}

Der Satz über die Noether-Normalisierung präsentiert beliebige Ringe als ganze
Erweiterungen von Polynomringen.  Das ermöglicht es unter anderem, die Frage
nach der Dimension eines beliebigen Ringes auf die Frage nach der Dimension
eines Polynomrings zurückzuführen.  Die Formulierung des Satzes über die
Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.

\begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
  Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Weiter
  sei $I ⊂ A$ ein Ideal.  Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d
  ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
  \item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
    unabhängig über $k$.
    
  \item\label{il:13-0-1-2} Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz.
    
  \item\label{il:13-0-1-3} Im Ring $k[y_1, …, y_d]$ gilt die folgende Gleichheit
    von Idealen,
    \[
      I ∩ k[y_1, …, y_d] = (y_{α + 1}, …, y_d).
    \]
  \end{enumerate}
  Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält und wenn
  $e_1, …, e_n$ ein endliches Erzeugendensystem von $A$ als $k$-Algebra ist,
  dann können die $y_j$ als Linearkombination der $e_1, …, e_n$ gewählt werden.
\end{satz}

Punkt~\ref{il:13-0-1-1} sagt insbesondere, dass der Ring $k[y_1, …, y_d]$
isomorph\footnote{Können Sie einen Isomorphismus hinschreiben?} zum Polynomring
in $d$ Variablen ist.  Im Kern vergleicht der Satz über die
Noether-Normalisierung den (womöglich sehr komplizierten) Ring $A$ mit dem sehr
viel einfacheren Polynomring.

\begin{defn}[Noether-Normalisierung einer $k$-Algebra]
  Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.  Es
  sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.  Eine
  endliche Menge $\{ y_1, …, y_d \} ⊂ A$ wird \emph{Noether-Normalisierung von
  $A$}\index{Noether-Normalisierung} genannt, wenn Eigenschaften
  \ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} gelten.
\end{defn}

\begin{bemerkung}
  Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung funktioniert mit
  endlich erzeugten Algebren über Körpern.  Die Frage, ob der Satz auch über $ℤ$
  funktioniert, ist Gegenstand von Forschung.
\end{bemerkung}


\section{Geometrische Interpretation}
\label{sec:13-1}

Das Wörterbuch „Algebra und Geometrie“ erklärt, was der Satz über die
Noether-Normal\-isier\-ung geometrisch bedeutet.  Dazu betrachten wir den Fall,
dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist.  Weiter sei $Z ⊂ X$
eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$.  In dieser Situation liefert
Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$.  Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
ist ein reduzierter Unterring des reduzierten Ringes $k[X]$, gehört also nach
Beobachtung~\vref{beob:7-3-9} zu einer affinen algebraischen Varietät $Y$.  Die
Inklusionsabbildung $k[y_1, …, y_d] → k[X]$ gehört nach Satz~\vref{satz:7-3-3}
zu einem Morphismus $π : X → Y$ von affinen Varietäten.  Die Inklusionsabbildung
ist injektiv, also wissen wir nach Proposition~\vref{prop:7-3-4}, dass das Bild
von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist.  Der Satz über die
Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.

\begin{itemize}
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} ist die Menge $\{y_1, …, y_d \}$
  algebraisch unabhängig.  Der Ring $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum
  Polynomring $k[x_1, …, x_d]$.  Die Varietät $Y$ ist also isomorph zum affinen
  Raum $𝔸^d_k$.  Das Ideal $(y_{α+1}, …, y_d)$ ist dann das Ideal des linearen
  Unterraumes
  \[
    V := \{ y_{α + 1} = ⋯ = y_d = 0 \} ⊂ 𝔸^d_k.
  \]
  
\item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-2} ist die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂
  A$ ganz.  Wir hatten schon in Beobachtung~\vref{beo:12-2-11} gesehen, dass die
  Abbildung $π: X → 𝔸^d_k$ dann surjektiv ist.  Außerdem wissen wir nach
  Satz~\vref{satz:12-2-2}, dass $\dim X = \dim 𝔸^d_k$ ist --- aber leider
  kennen wir $\dim 𝔸^d_k$ nur im Fall wo $d = 0$ oder $d = 1$ ist.

\item Überlegen Sie sich selbst: Aussage~\ref{il:13-0-1-3} bedeutet, dass der
  Zariski-Abschluss der Bildmenge $π(Z)$ gerade die lineare Ebene $V$ ist.
  Insbesondere ist $π(Z) ⊂ V$.
\end{itemize}

Ganz ähnlich diskutieren wir jetzt die Zusatzaussage.

\begin{itemize}
\item Wenn ein System $e_1, …, e_n$ von Erzeugern des Ringes $A = k[X]$ gegeben
  ist, dann ist die Abbildung
  \[
    k[x_1, …, x_n] → k[X], \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(e_1, …, e_n)
  \]
  surjektiv.  Nach Proposition~\vref{prop:7-3-5} gehört zu dieser Ringabbildung
  eine injektive Abbildung $ι : X → 𝔸^n_k$, wir können $X$ also als
  algebraische Teilmenge von $𝔸^n_k$ auffassen.
  
\item Die Aussage „die $y_•$ sind Linearkombinationen der $e_•$“ beschreibt $π$
  als lineare Projektion.  Genauer: die Aussage bedeutet, dass es eine lineare
  Abbildung $p : 𝔸^n_k → 𝔸^d_k$ gibt, sodass $π$ gleich der Einschränkung
  $p|_X$ ist.  Da $π$ surjektiv war, muss auch $p$ surjektiv sein.
\end{itemize}

\begin{figure}
  \centering

  \includegraphics[width=10cm]{figures/13-hyperbel.png}
  
  \caption{Hyperbel $\{ x·y-1 \} $}
  \label{fig:hyp}
\end{figure}

\begin{bsp}
  Wir illustrieren den Satz über die Noether-Normalisierung nach ganz kurz an
  einem konkreten Beispiel.  Dabei beschränken wir uns auf die
  Aussagen~\ref{il:13-0-1-1} und \ref{il:13-0-1-2} und ignorieren das Ideal $I$.
  Betrachte die in Abbildung~\ref{fig:hyp} dargestellte Hyperbel
  \[
    H := \{ (x_1, x_2) ∈ 𝔸²_ℂ \::\: x_1·x_2 = 1\}
  \]
  und den zugeordneten Koordinatenring
  \[
    A := \factor{ℂ[x_1, x_2]}{(x_1·x_2-1)}.
  \]
  Die Restklassen $e_• := \overline{x_•}$ bilden ein Erzeugendensystem von $A$
  als $k$-Algebra.
  \begin{itemize}
  \item Zuerst betrachten wir das Element $y_1 := e_1$.  Die Inklusionsabbildung
    $ℂ[y_1] → A$ gehört zur linearen Projektionsabbildung
    \[
      H → 𝔸¹_ℂ, \quad (x_1, x_2) ↦ (x_1).
    \]
    Diese Abbildung ist \emph{nicht} surjektiv, denn der Nullpunkt in $𝔸¹_ℂ$
    wird nicht getroffen.  Also ist $ℂ[y_1] ⊂ A$ nach
    Beobachtung~\ref{beo:12-2-11} keine ganze Ringerweiterung und $\{y_1\}$ ist
    keine Noether-Normalisierung von $A$.

  \item Jetzt betrachten wir das Element $y_1 := e_1-e_2$.  Die
    Inklusionsabbildung $ℂ[y_1] → A$ gehört zur linearen Projektionsabbildung
    \[
      H → 𝔸¹_ℂ, \quad (x_1, x_2) ↦ (x_1-x_2).
    \]
    Die Ringerweiterung $ℂ[y_1] ⊂ A$ ist ganz, denn die Erzeuger $e_1$ und $e_2$
    erfüllen die Ganzheitsgleichungen
    \[
      e²_1-e_1·y_1+1 = 0 \quad\text{und}\quad e²_2-e_2·y_1-1=0.
    \]
    Also ist $\{y_1\}$ ist eine Noether-Normalisierung von $A$.
  \end{itemize}
\end{bsp}


\section{Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung}

\sideremark{Vorlesung 16}Wir beginnen den (langen!) Beweis mit einem
vorbereitenden Lemma.

\begin{lem}
  Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{0\}$.  Dann gibt es
  ein $α ∈ k^*$ und Polynome $y_1, …, y_{n-1}$ von der Form $y_i = x_i -
  x_n^{r_i}$, sodass das Polynom $f$ wie folgt geschrieben werden kann,
  \[
    f(x_1,…,x_n) = α·x_n^m + G_1(y_1, …, y_{n-1})·x_n^{m-1} + ⋯ + G_m(y_1, …,
    y_{n-1}).
  \]
  Zusätzlich gilt: Wenn der Körper $k$ unendlich viele Elemente enthält, dann
  gilt eine analoge Aussage auch für Elemente $y_i$ der Form $y_i = x_i -
  a_i·x_n$, wobei $a_i ∈ k$.
\end{lem}
\begin{proof}
  Der allgemeine Fall ist im \video{16-1} bewiesen.  Die Zusatzaussage ist im
  \video{16-2} bewiesen.
\end{proof}

Um den Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung lesbar zu halten,
beweisen wir den Satz zunächst in zwei Spezialfällen.

\begin{lem}
  Der Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung gilt im
  Spezialfall, wo $A = k[x_1, …, x_n]$ ein Polynomring und $I = (f)$ ein
  Hauptideal ist.
\end{lem}
\begin{proof}
  \video{16-3}
\end{proof}

\begin{lem}
  Der Satz~\ref{satz:13-0-1} über die Noether-Normalisierung gilt im
  Spezialfall, wo $A = k[x_1, …, x_n]$ ein Polynomring und $I ⊊ A$ ein
  beliebiges Ideal ist.
\end{lem}
\begin{proof}
  \video{16-4}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:13-0-1}]
  \sideremark{Vorlesung 17}\video{17-1}
\end{proof}


\section{Geometrische Konsequenzen}

Als erste echte Anwendung des Satzes über die Noether-Normalisierung klären wir
die längst überfällige Frage, was die Dimension des affinen Raums ist.

\begin{satz}[Dimension des affinen Raumes]\label{satz:13-3-1a}
  Es sei $k$ ein Körper.  Dann ist
  \[
    \dim k[x_1, …, x_n] = n.
  \]
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{17-2}
\end{proof}

\begin{satz}[Noether-Normalisierung und Dimension]\label{satz:13-3-1b}%
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ eine endlich
  erzeugte $k$-Algebra und es sei $\{y_1, …, y_d\}$ eine Noether-Normalisierung
  von $A$.  Dann ist $\dim A = d$.  Wenn $A$ zusätzlich noch ein Integritätsring
  ist, dann haben alle maximal langen Primidealketten\footnote{Maximal lang =
  kann nicht durch Einfügen von Zwischen-Primidealen verlängert werden} in $A$
  die Länge $d$.
\end{satz}
\begin{proof}
  Die Aussage $\dim A = d$ folgt sofort aus den Sätzen~\ref{satz:13-3-1a} und
  \ref{satz:12-2-2}.  Für den Beweis der zweiten Aussage gibt es das
  \video{17-3}.
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Finden Sie einen geometrisch sinnvollen Nicht-Integritätsring in dem es zwei
  unterschiedlich lange maximal lange Primidealketten gibt!  Tipp: die
  verschiedenen irreduziblen Komponenten einer algebraischen Menge müssen nicht
  dieselbe Dimension haben.
\end{aufgabe}

\begin{kor}[Dimension und Transzendenzgrad]
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $A$ ein reduzierter
  Ring (=endlich erzeugte $k$-Algebra ohne nilpotente Elemente).  Dann ist die
  Dimension von $A$ genau der Transzendenzgrad des Quotientenkörpers $Q(A)$ über
  $k$, also $\dim A = \trdeg_k Q(A)$.
\end{kor}
\begin{proof}
  Schreibe $A$ in der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$ und wähle eine
  Noether-Normalisierung $\{y_1, …, y_d\} ⊂ A$.  Dann wissen wir nach
  Satz~\ref{satz:13-3-1b}, dass $\dim A = d$ ist.  Auf der anderen Seite sind
  die Elemente $y_1, …, y_d$ algebraisch unabhängig, sodass $\trdeg_k k(y_1, …,
  y_d) = d$ ist.  Schließlich wissen wir noch, dass die Körpererweiterung
  $k(y_1, …, y_d) ⊂ Q(A)$ algebraisch ist, sodass sich der Transzendenzgrad
  nicht ändert, $\trdeg_k k(y_1, …, y_d) = \trdeg_k Q(A)$.
\end{proof}

\begin{kor}
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $X ⊂ 𝔸^n_k$ eine
  algebraische Varietät.  Dann existiert eine lineare Projektion $p : 𝔸^n_k →
  𝔸^d_k$, sodass die Einschränkung von $p$ auf $X$ endlich und surjektiv ist.
\end{kor}
\begin{proof}
  Die Aussage folgt aus der Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:13-1}, wenn wir uns
  daran erinnern, dass algebraisch abgeschlossene Körper stets unendlich viele
  Elemente haben.
\end{proof}

\begin{kor}
  Algebraische Teilmengen des $ℂ^n$ sind genau dann bezüglich der Euklidischen
  Topologie kompakt, wenn Sie endlich sind.
\end{kor}
\begin{proof}
  Lineare Projektionen $𝔸^n_ℂ → 𝔸^d_ℂ$ sind bezüglich der Euklidischen
  Topologie stetig.  Insbesondere sind Bilder von Mengen, die bezüglich der
  Euklidischen Topologie kompakt sind, selbst wieder kompakt bezüglich der
  Euklidischen Topologie.  Der einzige kompakte affine Raum ist aber $𝔸⁰_ℂ$.
\end{proof}

Das letzte Korollar verwendet den Begriff der \emph{Höhe} eine Primideals.  Das
ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.

\begin{defn}[Höhe eines Primideals]\label{def:height}%
  Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal.  Die
  \emph{Höhe}\index{Höhe eines Primideals} von $p$ ist das Maximum aller Längen
  von Ketten von Primidealen
  \[
    p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_n = p.
  \]
  In der Literatur wird die Höhe von $p$ meist mit $\height(p)$ bezeichnet.
\end{defn}

\begin{bsp}\label{bsp:13-3-8}%
  Es sei $k$ ein Körper, es sei $R = k[y_1, …, y_d]$ und es sei $q = (y_α, …,
  y_d)$.  Überlegen Sie sich als Übung, dass das Maximum aller Längen von Ketten
  von Primidealen von der folgenden Kette
  \[
    (0) ⊊ (y_{α + 1}) ⊊ (y_{α + 1}, y_{α + 2}) ⊊ ⋯ ⊊ (y_{α + 1},…, y_{d}) = p
  \]
  angenommen wird.  Also ist $\height p = d-α$.
\end{bsp}

\begin{kor}\label{kor:13-3-9}%
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $A$ ein
  Integritätsring der Form $A = k[x_1, …, x_n]/I$.  Gegeben ein Primideal $p ⊂
  A$ ein Primideal, dann ist
  \[
    \dim A = \height(p) + \dim(A/p).
  \]
\end{kor}
\begin{proof}
  Wende Satz~\ref{satz:13-0-1} („Noether-Normalisierung“) auf $p ⊂ A$ an und
  erhalte Elemente $y_1, …, y_d ∈ A$, sodass die bekannten Eigenschaften gelten.
  \begin{itemize}
  \item Die Menge $\{y_1, …, y_d\}$ ist algebraisch unabhängig über $k$ und
    $k[y_1, …, y_d]$ ist deshalb isomorph zum Polynomring, also insbesondere
    normal.

  \item Die Ringerweiterung $k[y_1, …, y_d] ⊂ A$ ist ganz.  Also ist nach
    Satz~\ref{satz:12-2-2} („Dimension ist invariant unter ganzen
    Ringerweiterungen“) und Satz~\ref{satz:13-3-1a} („Dimension des affinen
    Raumes“)
    \[
      \dim A = \dim k[y_1, …,y_d] = d.
    \]

  \item Das Ideal $q := p ∩ k[y_1, …, y_d]$ ist von der Form
    $q = (y_α, …, y_d)$, also ist
    \[
      k[y_1, …,y_d]/q \simeq k[y_1, …, y_α]
    \]
    und dieser Ring hat die Dimension $α$.  Zusätzlich gilt nach
    Beispiel~\ref{bsp:13-3-8} die Gleichung $\height q = d-α$.
  \end{itemize}
  Zu guter Letzt: Da die Erweiterung $k[y_1, …,y_d]/q ⊂ k[x_1, …,x_n]/p$ nach
  Satz~\ref{satz:12-2-5} wieder ganz ist, haben die beiden Ringe die gleiche
  Dimension.  Zusammen erhalten wir
  \[
    \dim A = d = α + (d - α) = \dim (A/p) + \height p.
  \]
  Damit ist die Behauptung gezeigt.
\end{proof}

\begin{warnung}[Dimensionsbegriff für beliebige Ringe]
  In Korollar~\ref{kor:13-3-9} ist die Annahme, dass $A$ von der Form $A =
  K[x_1, …,x_n]/I$ ist, absolut notwendig.  Für beliebige Ringe ist die Aussage
  des Korollars falsch!  Tatsächlich verhält sich der Begriff „Dimension“ für
  beliebige Ringe ziemlich kontra-intuitiv und ist in der Praxis einigermaßen
  sinnlos.
\end{warnung}


\section{Der Hauptidealsatz}

Das Kapitel über Dimension wäre nicht vollständig ohne den Krullschen
Hauptidealsatz.  Der Beweis ist recht algebraisch, aber mit unseren Methoden
(„Going Up/Down + Noether Normalisierung“) jetzt ohne weiteres möglich. Dennoch
möchte ich lieber im Stoff vorankommen und nenne den Satz deshalb hier nur ohne
Beweis.

\begin{satz}[Krullscher Hauptidealsatz]
  Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsring und es sei $0 ⊊ (f) ⊊ R$ ein
  Hauptideal, das gleichzeitig ein Radikalideal ist.  Schreibe das Ideal $(f)$
  gemäß Satz~\ref{satz:6-2-3} als Schnitt von endlich vielen Primidealen, $(f) =
  p_1 ∩ ⋯ ∩ p_l$.  Dann gilt die Gleichung $\height(p_i) = 1$ für alle Indizes
  $i$.  \qed
\end{satz}

Zusammen mit Korollar~\ref{kor:13-3-9} sagt der Krullsche Hauptidealsatz unter
anderem Folgendes: Sei $f ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0\}$ ein Polynom.  Dann hat jede
irreduzible Komponente von $V(f)$ die Dimension $n-1$.


\section{Schlussbemerkungen}

Die Noether-Normalisierung ist wichtig, denn sie vergleicht einen (potenziell
sehr komplizierten) Ring mit dem sehr viel einfacheren Polynomring.  Wir haben
allerdings überhaupt nicht geklärt, wie man in einer konkreten Situation
eigentlich an eine Noether-Normalisierung kommt.  Ich sehe zwei Ansätze.

\begin{itemize}
\item Wie so ziemlich alles in der algebraischen Geometrie kann man
  Noether-Normal\-isier\-ungen mithilfe von Gröbner-Basen bestimmen.  Wie immer
  sind die Rechnungen äußerst aufwändig und sprengen schnell den Rahmen des
  Machbaren.
  
\item Falls ich die Dimension der Algebra raten kann und falls $k$ ein Körper
  mit unendlich vielen Elementen ist, kann ich mich fragen, welche linearen
  Projektionen als Noether-Normalisierung infrage kommen.  Wenn ich mir den
  Beweis des Satzes über die Noether-Normalisierung sehr genau anschaue, so
  erkenne ich, dass die Menge der linearen Projektionen, die \emph{keine}
  Noether-Normalisierung liefern, eine algebraische Menge im Raum der Matrizen
  ist, also eine Nullmenge.  Für die Praxis bedeutet das: Man wähle eine
  \emph{zufällige} lineare Projektion aus und rechne damit weiter.  Die
  Wahrscheinlichkeit, dass ich mit dieser Methode tatsächlich eine
  Noether-Normalisierung gewählt habe, ist exakt 100~\%.
\end{itemize}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End: