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\chapter{Transzendente Körpererweiterungen}

\section{Algebraische Unabhängigkeit}

Erinnern Sie sich: es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $b ∈ L$ ein
Element.  Dann heißt $b$ transzendent über $K$, wenn der Substitutionsmorphismus
\[
  K[X] \rightarrow L, \quad f(x) ↦ f(b)
\]
injektiv ist.  Wenn nicht, dann nenne $b$ algebraisch.  Das geht auch mit mehr
als einem Element.

\begin{defn}[Algebraische Unabhängigkeit]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung, und es seien $b_1, …, b_n ∈ L$.  Nenne
  die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch unabhängige
    Elemente}\index{algebraisch!Unabhängigkeit}, falls der
  Substitutionsmorphismus
  \[
    K[X_1, …, X_n] \rightarrow L, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n)
  \]
  injektiv ist.  Ansonsten nenne die Elemente $b_1,…, b_n$ \emph{algebraisch!
    Abhängigkeit}.  Die Polynome im Kern des Substitutionsmorphismus werden als
  \emph{algebraische Relationen}\index{algebraisch!Relationen} der Elemente
  $b_1,…, b_n$ bezeichnet.
\end{defn}

\begin{bemerkung}
  Genau wie beim Begriff der ``linearen Unabhängigkeit'' ist die Definition der
  algebraischen Unabhängigkeit mindestens unglücklich.  Statt zu sagen ``die
  Elemente $b_1,…, b_n$ sind algebraisch unabhängig'' wäre es besser und
  richtiger, zu sagen: ``die Menge $\{b_1,…, b_n\}$ ist algebraisch
  unabhängig''.  Aber solche Traditionen lassen sich nur schwer korrigieren~…
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  In der Literatur nennt man eine (vielleicht unendliche) Familie von Elementen,
  $(b_i)_{i ∈ I}$ algebraisch unabhängig, wenn der entsprechende
  Substitutionsmorphismus $K[(X_i)_{i ∈ I}] \rightarrow L$ injektiv ist.  Ich
  habe keine Lust, Polynomringe in unendlich vielen Variablen zu diskutieren und
  beschränke mich auf den endlichen Fall.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Gelegentlich wird der Begriff ``algebraisch unabhängig'' statt für
  Körpererweiterungen auch allgemeiner für Inklusionen $A ⊆ B$ in
  Integritätsringen verwendet.  Das kann man machen.  Wir beobachten, dass der
  Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist,
  wenn die zugehörende Abbildung $Q(A)[X_1,…,X_n] \rightarrow Q(B)$ injektiv
  ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotientenkörper bezeichnet.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Im Allgemeinen ist es sehr schwer, zu entscheiden, ob gegebene Elemente
  algebraisch unabhängig sind.  So ist zum Beispiel unbekannt, ob $e, π ∈ ℂ$
  algebraisch unabhängig über $ℚ$ sind.
\end{bemerkung}


\section{Transzendenzbasen}

Algebraische Unabhängigkeit ist ein bisschen wie lineare Unabhängigkeit.  Und
genau wie man eine Vektorraumbasis definiert als ``linear unabhängige Menge, die
maximal ist bezüglich der Inklusion'', definieren wir jetzt die
Transzendenzbasis einer Körpererweiterung.

\begin{defn}[Transzendenzbasis]\label{def:4-2-1}
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Eine
  \emph{Transzendenzbasis}\index{Transzendenzbasis} von $L$ über $K$ ist eine
  algebraisch unabhängige Teilmenge von $L$, die maximal bezüglich der Inklusion
  ist.
\end{defn}

\begin{bemerkung}
  In Definition~\ref{def:4-2-1} bedeutet ``maximal bezüglich der Inklusion'' mit
  anderen Worten: Jede größere Menge $L ⊇ M' ⊋ M$ ist
  algebraisch abhängig über $K$.
\end{bemerkung}

\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
  Es sei $K$ ein Körper und es sei $L := K(X_1, …, X_n)$ der Körper der
  rationalen Funktionen in $n$ Variablen.  Dann bilden die Elemente
  $X_1, …, X_n ∈ L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$.
\end{bsp}

\begin{lem}[Charakterisierung von Transzendenzbasen]\label{lem:4-2-4}
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei
  $M := \{ b_1, …, b_n\} ⊆ L$ eine Menge, die algebraisch unabhängig
  über $K$ ist.  Die Menge $M$ ist genau dann eine Transzendenzbasis von $L$
  über $K$, wenn die Körpererweiterung $L/K(M)$ algebraisch ist.
\end{lem}
\begin{proof}
  Gegeben ein Element $b ∈ L$, dann stellen wir erst einmal folgende
  Äquivalenzen fest.
  \begin{align*}
    b \text{ ist algebraisch über } K(M) & \iff ∃ p ∈ K(b_1, …, b_n)[x] : p(b) = 0 \\
                                         & \iff ∃ \tilde{p} ∈ K[y_1, …, y_n, x] : \tilde{p}(b_1,…,b_n,b) = 0\\
                                         & \iff \lbrace b_1,…, b_n, b \rbrace \text{ sind algebraisch abhängig über } K.
  \end{align*}
  Wir erkennen: die Menge algebraisch unabhängige Menge $M$ ist genau dann
  maximal bezüglich der Inklusion, wenn jedes Element $b ∈ L$ algebraisch
  über $K(M)$ ist.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
  Die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus Lemma~\ref{lem:4-2-4}
  funktioniert natürlich ebenso für unendliche Menge $M$.  Aber ich bin zu faul.
\end{bemerkung}

In der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' beweist man den Basisergänzungssatz.  Das
geht auch hier.

\begin{satz}[Basisergänzung]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Wenn $Γ ⊆ L$ ein
  Erzeugendensystem ist und wenn $S ⊂ Γ$ algebraisch unabhängig über $K$
  ist, dann lässt sich $S$ zu einer Transzendenzbasis $B$ mit $S ⊆ B ⊆ Γ$
  ergänzen.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir beweisen den Satz nur im Fall, wo $Γ$ endlich ist, also etwa
  $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$.  In diesem Fall sehen wir auch ohne Verwendung von
  Zorn's Lemma, dass wir $S$ zu einer maximal großen algebraisch unabhängigen
  Teilmenge $B ⊆ Γ$ vergrößern können.  Die Annahme ``maximal groß'' impliziert,
  dass jedes $γ_{•}$ algebraisch über $K(B)$ ist.  Also ist $L = K(γ_1, …, γ_n)$
  algebraisch über $K(B)$, und die Charakterisierung von Transzendenzbasen aus
  Lemma~\ref{lem:4-2-4} zeigt, dass $B$ eine Transzendenzbasis ist.
\end{proof}


\section{Transzendenzgrad}

\sideremark{Vorlesung 4}Das Analogon zur Dimension eines Vektorraumes ist der
Transzendenzgrad einer Körpererweiterung.  Wir beginnen mit dem
Basisaustauschlemma und betrachten wieder nur den endlichen Fall.

\begin{prop}[Basisaustauschlemma]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ = \{γ_1, …, γ_n\}$ eine
  endliche Transzendenzbasis von $L$ über $K$.  Weiter sei
  $\{ c_1, …, c_m \} ⊂ L$ algebraisch unabhängig über $K$.  Dann ist $m ≤ n$.
\end{prop}
\begin{proof}
  \video{4-1}
\end{proof}

\begin{kor}[Größe von Transzendenzbasen]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $Γ$ eine Transzendenzbasis von
  $L$ über $K$.
  \begin{itemize}
  \item Wenn $Γ$ unendlich viele Elemente hat, dann hat jede andere
    Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ebenfalls unendlich viele Elemente.

  \item Wenn $Γ$ endlich ist, dann hat jede andere Transzendenzbasis von $L$
    über $K$ genau so viele Elemente wie $Γ$.  \qed
  \end{itemize}
\end{kor}

\begin{defn}[Transzendenzgrad]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann definiere den
  \emph{Transzendenzgrad von $L$ über $K$}\index{Transzendenzgrad} als
  \[
    \trdeg(L/K) =
    \begin{cases}
      n &\text{falls $L/K$ eine endlich Transzendenzbasis mit $n$ Elementen besitzt}\\
      ∞ &\text{sonst.}
    \end{cases}
  \]
\end{defn}

\begin{bsp}[Algebraische Körpererweiterungen]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Es ist $\trdeg(L/K) = 0$ genau dann,
  wenn $L/K$ algebraisch ist.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Rationale Funktionen]
  Es sei $K$ ein Körper.  Dann ist $\trdeg K(X_1,…,X_n)/K = n$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Komplexe und rationale Zahlen]
  Es ist $\trdeg(ℂ/ℚ) = ∞$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Algebraische Unabhängigkeit von $e$ und $π$]
  Es ist unbekannt, ob die Zahl $\trdeg(ℚ(e,π)/ℚ)$ gleich 1 oder gleich 2
  ist.
\end{bsp}

Hier ist etwas, das wir mit Körpern, aber nicht mit Vektorräumen machen können:
Ketten bilden.  Der Transzendenzgrad ist additiv in Ketten von
Körpererweiterungen.

\begin{prop}[Transzendenzgrad in Ketten von Körpererweiterungen]
  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Dann ist
  $\trdeg(M/K) = \trdeg(L/K) + \trdeg(M/L)$.
\end{prop}
\begin{proof}
  \video{4-2}
\end{proof}


\section{Rein transzendente Erweiterungen}

In der amerikanischen Unabhängigkeitserklärung stellte Thomas Jefferson
bekanntermaßen fest: ``all men are created equal''.  Das kann man für
transzendente Körpererweiterungen wirklich nicht so sagen.  Wie das folgende
Beispiel zeigt, gibt es ``rein transzendente'' Erweiterungen und es gibt
solche, bei denen man noch einen algebraischen Anteil abspalten kann.

\begin{itemize}
\item Die Körpererweiterung $ℚ(x)/ℚ$ hat Transzendenzgrad 1.  Die Menge
  $\{x\}$ bildet eine Transzendenzbasis.  Jedes Element von $ℚ(x)$ ist
  tranzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
  
\item Die Körpererweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ$ hat ebenfalls Tranzendenzgrad
  1.  Die Menge $\{π\}$ bildet eine Transzendenzbasis.  Dennoch gibt es in
  $ℚ(\sqrt{2})$ auch algebraische Elemente, nämlich zum Beispiel $\sqrt{2}$.
  Interessanterweise zerlegt sich die Erweiterung
  \[
    ℚ(\sqrt{2}, π) ⊋ ℚ(π) ⊋ ℚ.
  \]
  Wir wissen schon, dass es einen $ℚ$-Isomorphismus zwischen den Körpern
  $ℚ(π)$ und $ℚ(x)$ gibt; insbesondere ist jedes Element von $ℚ(x)$
  transzendent über $ℚ$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $ℚ$ liegt.
  Im Gegensatz dazu ist die Erweiterung $ℚ(\sqrt{2}, π)/ℚ(π)$ algebraisch.
\end{itemize}

\begin{defn}[Rein transzendente Erweiterung]
  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{rein transzendent}\index{rein
    transzendente Erweiterung}, wenn es eine Transzendenzbasis $B$ von $L$ über
  $K$ gibt, sodass $L = K(B)$ ist.
\end{defn}

\begin{bemerkung}[Rein transzendente Erweiterungen]
  Wenn $L/K$ rein transzendent ist mit endlicher Transzendenzbasis
  $B = \{b_1, …, b_n\}$, dann gibt es einen $K$-Isomorphismus
  $L ≅ K(x_1, …, x_n)$.  Insbesondere ist jedes Element von $L$ tranzendent
  über $K$, wenn es nicht schon zufällig selbst in $K$ liegt.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Zerlegung in rein transzendent und algebraisch]\label{bem:4-4-3}
  Wenn $L/K$ transzendent, aber nicht rein transzendent ist, dann kann ich mir
  eine Transzendenzbasis $B$ nehmen und die folgende Kette von
  Körpererweiterungen betrachten,
  \[
    L ⊋ K(B) ⊊ K.
  \]
  Dann ist $K(B)/K$ rein transzendent und $L/K(B)$ ist algebraisch.
\end{bemerkung}

\begin{warnung}
  Die Zerlegung aus Bemerkung~\ref{bem:4-4-3} ist \emph{nicht
    kanonisch}\footnote{Wenn Sie am Horizont eine Art ``Galois-Theorie für
    transzendente Erweiterungen'' sehen, dann haben Sie in der Vorlesung
    ``Algebra'' gut aufgepasst.  Sie liegen richtig.}, sondern hängt von der
  Wahl der Transzendenzbasis ab!  Vergleichen Sie dies mit der Zerlegung
  $K ⊆ K_{sep} ⊆ L$, die wir für algebraische Körpererweiterungen in der
  Vorlesung ``Algebra'' kennengelernt haben.  Diese ist eindeutig.
\end{warnung}

Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine gegebene Körpererweiterung
rein transzendent ist.  Der berühmte
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_L\%C3\%BCroth}{Satz von
  Lüroth}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_L\%C3\%BCroth}{Jacob
    Lüroth} (* 18.  Februar 1844 in Mannheim; † 14.  September 1910 in München)
  war ein deutscher Mathematiker, der sich mit Geometrie beschäftigte.}, den ich
ohne Beweis zitiere, hängt eng mit der Frage nach der rationalen
Parametrisierbarkeit gewisser Hyperebenen zusammen, allerdings werden wir den
Zusammenhang (wenn überhaupt) erst sehr viel später verstehen.

\begin{satz}[Satz von Lüroth]
  Betrachte eine Kette von Körpererweiterungen,
  \[
    ℂ ⊆ L ⊆ ℂ(X_1,…,X_n).
  \]
  Falls $\trdeg(L/ℂ) ∈ \{1,2\}$ ist, dann ist $L/ℂ$ rein transzendent.
  \qed
\end{satz}
Für $n ≥ 3$ wissen wir praktisch nichts.


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End:
