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\chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?}

\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir
im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit
Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$.  Wir interessierten uns zum
Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe
$\Gal(f)$.  In dieser Vorlesung machen wir das direkte Gegenteil: Wir betrachten
wieder einen Körper $k$, aber dieses Mal nehmen wir ganz viele Polynome in ganz
vielen Variablen, $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$.  Wir interessieren uns für die
Lösungsmenge des zugehörigen polynomialen Gleichungssystems
\[
  A := \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
  \Bigr\}.
\]
Wenn $k = ℝ$ oder $k = ℂ$ ist, dann induziert die übliche Topologie des
$ℝ^m$ oder $ℂ^m$ eine metrische Topologie auf $A$.  Häufig ist $A$ sogar
eine Untermannigfaltigkeit.  In diesen Fällen induziert die Euklidische oder
Hermitesche Metrik des $ℝ^m$ oder $ℂ^m$ eine Riemannsche oder Hermitesche
Metrik auf $A$ und es ist sinnvoll, $A$ mit Mittel der Differenzialgeometrie zu
untersuchen.  Mathematiker der unterschiedlichen Fachrichtungen werden Sie sich
vielleicht die folgenden Fragen stellen.
\begin{itemize}
\item Zahlentheorie: Enthält die Menge $A$ Punkte mit ganzzahligen oder
  rationalen Koordinaten?
  
\item Topologie: Kennen wir die
  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe}{Fundamentalgruppe}
  $π_1(A)$?  Verstehen wir die simplizialen
  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Homologietheorie}{Homologiegruppen}
  $H_i(A, ℤ)$?
  
\item Differenzialgeometrie: Können wir etwas über die Krümmung von $A$ sagen?
  Wie sieht die \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Holonomie}{Holonomie} von
  $A$ aus?  Ist $A$
  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch
    vollständig}?  Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus?
  
\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken?  Liefern uns die Lösungen
  geeigneter
  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen}
  vielleicht sogar eine Ricci-flache
  \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}?
\end{itemize}
Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die
geometrischer Anschauung zugänglich sind.  Die algebraischen Eigenschaften der
Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte
Rechnungen.  Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen,
wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung''
und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht.

Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage.  Tatsächlich gibt
es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''.  Konsequenz: jedes Objekt der
Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und
umgekehrt.  Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der
Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der
Geometrie gehören!  Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit
Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten.  Stattdessen
verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra
$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln.

\begin{bemerkung}
  Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der
  Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der
  Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist.  Im Gegensatz dazu
  werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch
  abgeschlossenen Fall interessieren.  Der
  \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche
    Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
      Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in
    Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der
    bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
    der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
    Forschungsgebiete.  Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
    bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
    veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik
    und des mathematischen Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen
    Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm,
    die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
    gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem
    internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
    Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
    mathematische Forschung des 20.  Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
\end{bemerkung}


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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End:

