% spell checker language \selectlanguage{german} \section*{Vorbemerkung} Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}. Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand. Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede Vorlesung auf unserem \href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}. Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten. Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei \href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder \href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}. Wir korrigieren schnellstmöglich! Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts beigetragen haben. Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos und anderem. Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte. Wir fügen gern einen Link in den Text ein! \bigskip \textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß} \subsection*{Literatur} Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen Mathematik. Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche Schwerpunkte setzen. Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen. Das Internet ist voll von weiteren Materialien! Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu verwenden. Wikipedia ist auch noch da. \begin{itemize} \item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von hervorragenden \href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen. \item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus Stanford gibt regelmäßig Kurse zu \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea: Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen Youtube-Kanal \href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''. \item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext \cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf \href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage} heruntergeladen werden kann. \item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt. Das Gegenteil ist Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen sichern kann. Eisenbud's Buch ist ebenfalls \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}. Es ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad. \item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein das erste Kapitel lohnt sich… \item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert. \item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig Theorie. \item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie. Hier wird mit Computern gerechnet! \item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project} --- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der Algebraischen Geometrie. Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden. Hier findet sich ALLES, was man jemals braucht. \end{itemize} \subsection*{Computer-Programme} Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen. Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen, ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren. \subsubsection*{Sage} Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, oder den Service CoCals verwenden. \subsubsection*{CoCalc} CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der kostenlose Dienst manchmal etwas langsam. Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem Server rechnen. \subsubsection*{Macaulay2} Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist \href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.