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\section*{Vorbemerkung}

Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
hat.  Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
Datum der letzten Änderung.  Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.

Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
Vorlesung auf unserem
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.

Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
\href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus} oder
\href{mailto:andreas.demleitner@math.uni-freiburg.de}{Andreas Demleitner}.  Wir
korrigieren schnellstmöglich!  Wir bedanken uns besonders bei Paul Meffle und
Julian Wiedermann, die mit ihren Fehlermeldungen zur Qualität des Skripts
beigetragen haben.

Schließlich: es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos
und anderem.  Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte.  Wir
fügen gern einen Link in den Text ein!

\bigskip

\textbf{Wir wünschen Ihnen viel Erfolg -- und auch ein wenig Spaß}



\subsection*{Literatur}

Algebraische Geometrie ist ein sehr großes sehr altes Teilgebiet der reinen
Mathematik.  Entsprechend gibt es eine \emph{riesige} Sammlung an guten
Einführungsbüchern, Skripten und Web-Seiten, die jeweils unterschiedliche
Schwerpunkte setzen.  Ich nenne hier nur einige derjenigen Skripte, die dem
Aufbau dieser Vorlesung inhaltlich nahestehen.  Das Internet ist voll von
weiteren Materialien!

Wie immer rate ich Ihnen, möglichst viele Quellen gleichzeitig zu
verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.

\begin{itemize}
\item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von
  hervorragenden
  \href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur
    Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen.

\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
  Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
  \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
  Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
    Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
  absolutes Muss.  Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
  Youtube-Kanal
  \href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
    Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.

\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
  \cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
  \href{http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/}{Fulton's Homepage}
  heruntergeladen werden kann.
  
\item Das Buch \cite{MR0242802} ist ein Klassiker, der das wichtigste zur
  kommutativen Algebra knapp, aber sehr klar darstellt.  Das Gegenteil ist
  Eisenbud's massives Werk \cite{E95}, mit dem man einen LKW vor dem Wegrollen
  sichern kann.  Eisenbud's Buch ist ebenfalls
  \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5350-1}{im Uni-Netz verfügbar}.  Es
  ist umfassend und gut lesbar, variiert aber stark im Schwierigkeitsgrad.
 
\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
  \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
    kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
  Einführungstexten in die Algebraische Geometrie.  Das Buch behandelt viel, viel
  mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden.  Aber schon allein
  das erste Kapitel lohnt sich…

\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
  \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
    Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte
  Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch.  Hier finden
  Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert.

\item Das elementare Einführungsbuch \cite{MR982494} von Miles Reid enthält
  ebenfalls jede Menge sorgfältig ausgewählte Beispiele, aber relativ wenig
  Theorie.

\item Im Gegensatz zu den anderen Büchern legt das Buch \cite{MR3330490}, das
  Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}{aus dem
    Universitätsnetz kostenlos herunterladen können}, den Schwerpunkt auf den
  algorithmischen Aspekten der Algebraischen Geometrie.  Hier wird mit Computern
  gerechnet!

\item Der Kollege \href{http://www.math.columbia.edu/~dejong/}{Aise Johan de
    Jong} betreibt das \href{https://stacks.math.columbia.edu/}{Stacks project}
  --- eine enzyklopädische Open-Source Sammlung aller technischen Grundlagen der
  Algebraischen Geometrie.  Die Seite ist zwar ziemlich technisch, ist aber in
  den letzten Jahren zu \emph{der} Referenz des Fachgebietes geworden.  Hier
  findet sich ALLES, was man jemals braucht.
\end{itemize}


\subsection*{Computer-Programme}

Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
ausserdem kann man schöne Bilder malen.  Wir akzeptieren für Hausaufgaben
Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
dokumentiert sind.  Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
vereinfachen von Polynomen hilfreich sein.  Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.


\subsubsection*{Sage}

Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
etc.  Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
oder den Service CoCals verwenden.


\subsubsection*{CoCalc}

CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können.  Leider ist der
kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.

Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor.  Sie
können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
Server rechnen.


\subsubsection*{Macaulay2}

Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
herunterladen können.  Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
leicht zu benutzen.  Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
