Fix problem explained by Daniel Rath

13.tex

@@ -57,16 +57,17 @@ viel einfacheren Polynomring.
 Das Wörterbuch „Algebra und Geometrie“ erklärt, was der Satz über die
 Noether-Normal\-isier\-ung geometrisch bedeutet.  Dazu betrachten wir den Fall,
 dass $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $A := k[X]$ der affine
-Koordinatenring einer algebraischen $k$-Varietät $X$ ist.  Weiter sei $Z ⊂ X$
-eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$.  In dieser Situation liefert
-Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$.  Der Ring $k[y_1, …, y_d]$
-ist ein reduzierter Unterring des reduzierten Ringes $k[X]$, gehört also nach
-Beobachtung~\vref{beob:7-3-9} zu einer affinen algebraischen Varietät $Y$.  Die
-Inklusionsabbildung $k[y_1, …, y_d] → k[X]$ gehört nach Satz~\vref{satz:7-3-3}
-zu einem Morphismus $π : X → Y$ von affinen Varietäten.  Die Inklusionsabbildung
-ist injektiv, also wissen wir nach Proposition~\vref{prop:7-3-4}, dass das Bild
-von $π$ eine Zariski-dichte Teilmenge von $Y$ ist.  Der Satz über die
-Noether-Normalisierung beschreibt die Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
+Koordinatenring einer irreduziblen algebraischen $k$-Varietät $X$ ist.  Weiter
+sei $Z ⊂ X$ eine Untervarietät mit zugehörendem Ideal $I ⊂ A$.  In dieser
+Situation liefert Satz~\ref{satz:13-0-1} Elemente $y_1, …, y_d ⊂ A$.  Der Ring
+$k[y_1, …, y_d]$ ist ein reduzierter Unterring des reduzierten Ringes $k[X]$,
+gehört also nach Beobachtung~\vref{beob:7-3-9} zu einer affinen algebraischen
+Varietät $Y$.  Die Inklusionsabbildung $k[y_1, …, y_d] → k[X]$ gehört nach
+Satz~\vref{satz:7-3-3} zu einem Morphismus $π : X → Y$ von affinen Varietäten.
+Die Inklusionsabbildung ist injektiv, also wissen wir nach
+Proposition~\vref{prop:7-3-4}, dass das Bild von $π$ eine Zariski-dichte
+Teilmenge von $Y$ ist.  Der Satz über die Noether-Normalisierung beschreibt die
+Abbildung $π$ ziemlich detailliert.
 
 \begin{itemize}
 \item Nach Aussage~\ref{il:13-0-1-1} ist die Menge $\{y_1, …, y_d \}$

TODO.md

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+Am 15.09.23 um 13:51 schrieb daniel rath:
+
+> Ich melde mich mit einer Frage zum Skript der Kommutativen Algebra. In 13.1 geht es um die Geometrische Interpretation der Noether Normalisierung. Im dritten Absatz wird gefolgert, dass die Ganzheit der Ringerweiterung k[y_1,\dots,k_d] \subset A zusammen mit der Isomorphie Y \cong A_k^d zur Folge hat, dass dim A = dim Y = dim A_k^d gilt. 
+>
+> Hierfür wird 12.2.2 (Dimension unter ganzen Ringerweiterungen von Integritätsringen) benutzt. Meiner Meinung nach ist jedoch der reduzierte Ring A nur dann ein Integritätsbereich wenn die Varietät X irreduzibel ist. Zunächst habe ich gedacht, dass dies nur vergessen wurde. Allerdings wird in Satz 13.3.2 (Noether-Normalisierung und Dimension) explizit erst nach der Folgerung dim A = d gefordert, dass A ein Integritätsbereich ist. 
+>
+> Übersehe ich hier etwas oder ist hier etwas falsch? Meiner Meinung nach ist die Forderung dass der Ring B in Satz 12.2.2 ein Integritätsbereich ist zwingend notwendig für die Aussage über die Dimensionen. 
+
+Kebekus: Das habe ich mir selbst eine Falle gebaut. In der Literatur wird der Begriff "Varietät" nicht immer einheitlich verwendet. Viele Autoren (darunter Hartshorne) verlangen, dass eine Varietät immer schon irreduzibel sein muss. Ich folge Hartshorne normalerweise und habe beim Schreiben mit Sicherheit nur an den Fall "X irreduzibel" gedacht. Ich sehe aber, dass das Wort "Varietät" im Skript eigentlich an keine Stelle so ganz präzise definiert wurde…
+
+Als Stop-Gap-Measure füge ich jetzt in §13.1 das Wort "irreduzibel" ein. Vermutlich sollte ich aber noch einmal durch den gesamten Text gehen und Varietäten richtig definieren…