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Stefan Kebekus 2023-05-09 11:18:19 +02:00
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@ -114,3 +114,7 @@ Iwakuni
Yamaguchi
Teleskopsumme
graduiert-rückwärtslexikografische
Tangentialkegel
Tangentialkegels
Vielfachheit
Vielfachheiten

68
09.tex
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@ -32,13 +32,13 @@ algebraische Kurven als \emph{Äquivalenzklassen} von Polynomen zu definieren.
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$.
\end{quote}
Ich hoffe, Sie kommen damit klar. Wenn nicht --- dumm gelaufen.
Ich hoffe, Sie kommen damit klar. Wenn nicht: Dumm gelaufen.
\end{notation}
In der Vorlesung ``Analysis'' haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in
In der Vorlesung „Analysis“ haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in
mehreren Veränderlichen ausführlich diskutiert. Gegeben eine Funktion $f(x,y)$
auf dem $ℝ²$ und einen Punkt $p$ der Nullstellenmenge, so haben sie im Kapitel
``Der Satz über die implizit definierten Funktionen'' gelernt, dass es einen
„Der Satz über die implizit definierten Funktionen“ gelernt, dass es einen
riesigen Unterschied macht, ob die partiellen Ableitungen
\[
\frac{∂f}{∂x}(p) \quad\text{und}\quad \frac{∂f}{∂y}(p)
@ -49,13 +49,13 @@ von $p$ eine Untermannigfaltigkeit und kann lokal durch die $x$- oder $y$-Werte
parametrisiert werden.
Überlegen Sie sich anhand der Einheitsparabel, dass der Satz über die implizit
definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (denn
definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (denn
sonst müsste die Wurzelfunktion algebraisch sein). Die Unterscheidung nach
``gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist''
und ``schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind''
„gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist“
und „schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind“
funktioniert aber ohne weiteres.
\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep}
\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$. Man
nennt $p$ einen \emph{einfachen Punkt}\index{einfacher Punkt} der Kurve $f$,
@ -84,7 +84,7 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
\begin{bemerkung}
Die Ableitungen aus Definition~\ref{defn:ep} sind wie in der Vorlesung
``Algebra'' die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten
„Algebra“ die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten
Rechenregeln für das Ableiten von Polynomen definiert sind und nichts mit den
Grenzwerten aus der Analysis zu tun haben. Wir erinnern uns an die
schlaflosen Nächte des letzten Semesters: falls $k$ ein Körper der positiven
@ -96,13 +96,13 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
\begin{defn}[Tangentialraum einer Kurve an einfachem Punkt]
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher Punkt
der Kurve $f$. Dann bezeichne die Gerade
ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher
Punkt der Kurve $f$. Dann bezeichne die Gerade
\[
V \left( (y-b)·\frac{∂ f}{∂ y}(P) + (x-a)·\frac{∂ f}{∂ x}(P) \right)
\]
als den \emph{affinen Tangentialraum der Kurve $f$ im Punkt $p$}\index{affiner
Tangentialraum}.
Tangentialraum}.
\end{defn}
@ -110,11 +110,11 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
Einfache Punkte sind einfach … aber natürlich auch ein wenig langweilig. Die
erste Frage, die man bei nicht-einfachen Punkten stellen kann ist die, ob wir
ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben. Die ``Multiplizität''
ist der erste Begriff in dieser Richtung. Der Bequemlichkeit halber definieren
wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben. Die „Multiplizität“ ist
der erste Begriff in dieser Richtung. Der Bequemlichkeit halber definieren wir
diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6}
\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6}%
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
ebene algebraische Kurve. Dann schreibe $f$ als Summe von homogenen
Polynomen,
@ -126,7 +126,7 @@ wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
m := \min \{ i ∈ \::\: f_i ≠ 0 \}
\]
wird als \emph{Multiplizität der Kurve $f$ im Nullpunkt}\index{Multiplizität
einer Kurve im Nullpunkt} bezeichnet. Die Schreibweise $\mult_0 f$ ist
einer Kurve im Nullpunkt} bezeichnet. Die Schreibweise $\mult_0 f$ ist
üblich.
\end{defn}
@ -139,10 +139,10 @@ wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
\end{itemize}
\end{beobachtung}
\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8}
\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8}%
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-6} sei $m > 0$. Dann nenne die
Kurve $f_m$ den \emph{Tangentialkegel der Kurve $f$ im
Nullpunkt}\index{Tangentialkegel einer Kurve im Nullpunkt}.
Nullpunkt}\index{Tangentialkegel einer Kurve im Nullpunkt}.
\end{defn}
Wie stellen wir uns den Tangentialkegel einer Kurve vor? Das ist gar nicht so
@ -159,11 +159,11 @@ beschreiben:
\end{figure}
\begin{beobachtung}[Beschreibung des Tangentialkegels]
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei
$(α, β) ∈ V(f_m) \{ 0 \}$. Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das
Polynom $f_m$, und der Quotient ist wieder homogen. Nach endlich vielen
Divisionen kann ich $f_m$, die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also
auf eindeutige Weise in der Form
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei $(α, β) ∈ V(f_m) \{ 0
\}$. Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das Polynom $f_m$, und der
Quotient ist wieder homogen. Nach endlich vielen Divisionen kann ich $f_m$,
die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also auf eindeutige Weise in der
Form
\[
f_m = p_1^{k_1} ⋯ p_l^{k_l}
\]
@ -174,16 +174,16 @@ beschreiben:
\begin{defn}[Vielfachheiten im Tangentialkegel, gewöhnliche Singularitäten]
In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} werden die Zahlen $k_$ auch
als \emph{Vielfachheit der Geraden $p_$ im
Tangentialkegel}\index{Vielfachheit einer Geraden im Tangentialkegel}
Tangentialkegel}\index{Vielfachheit einer Geraden im Tangentialkegel}
bezeichnet. Falls alle Vielfachheiten gleich 1 sind, so sagt man, dass
$\vec{0}$ ein \emph{gewöhnlicher Punkt der Kurve $f$}\index{gewöhnliche Punkte
einer ebenen algebraischen Kurve} ist.
einer ebenen algebraischen Kurve} ist.
\end{defn}
\begin{bsp}
Abbildung~\ref{fig:tc} zeigt die Knotenkurve. Der Nullpunkt ist ein
gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel
$-= (x+y)·(x-y)$. Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher
gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel $-=
(x+y)·(x-y)$. Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher
singulärer Punkt der Neil'sche Parabel aus Abbildung~\ref{fig:gsp}, denn der
affine Tangentialkegel ist gegeben durch die Gleichung $$, die eine Gerade
hat also Multiplizität zwei.
@ -202,11 +202,11 @@ verschobene Kurve hat die Gleichung
\begin{equation}\label{eq:9-2-6-1}
g(x,y) := f(x-a, y-b).
\end{equation}
Dann definiere die ``Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$'' einfach
als die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja
schon. Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$
ist. Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im
Nullpunkt ist, dann verschieben wir zurück und definieren
Dann definiere die Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$“ einfach als
die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja schon.
Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$ ist.
Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im Nullpunkt
ist, dann verschieben wir zurück und definieren
\[
f_m(x,y) := g_m(x+a, y+b)
\]
@ -214,8 +214,8 @@ als den affinen Tangentialkegel der Kurve $f$ im Punkt $p$.
\begin{frage}
Habe ich bei den Verschiebungen wirklich die richtigen Vorzeichen gewählt?
Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich ``$x-a$'' stehen und nicht
etwa ``$x+a$''? Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten?
Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich $x-a$ stehen und nicht
etwa $x+a$? Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten?
\end{frage}