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@@ -114,3 +114,7 @@ Iwakuni
 Yamaguchi
 Teleskopsumme
 graduiert-rückwärtslexikografische
+Tangentialkegel
+Tangentialkegels
+Vielfachheit
+Vielfachheiten

09.tex

@@ -32,13 +32,13 @@ algebraische Kurven als \emph{Äquivalenzklassen} von Polynomen zu definieren.
     Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
     ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$.
   \end{quote}
-  Ich hoffe, Sie kommen damit klar.  Wenn nicht --- dumm gelaufen.
+  Ich hoffe, Sie kommen damit klar.  Wenn nicht: Dumm gelaufen.
 \end{notation}
 
-In der Vorlesung ``Analysis'' haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in
+In der Vorlesung „Analysis“ haben Sie Nullstellenmengen von Funktionen in
 mehreren Veränderlichen ausführlich diskutiert.  Gegeben eine Funktion $f(x,y)$
 auf dem $ℝ²$ und einen Punkt $p$ der Nullstellenmenge, so haben sie im Kapitel
-``Der Satz über die implizit definierten Funktionen'' gelernt, dass es einen
+„Der Satz über die implizit definierten Funktionen“ gelernt, dass es einen
 riesigen Unterschied macht, ob die partiellen Ableitungen
 \[
   \frac{∂f}{∂x}(p) \quad\text{und}\quad \frac{∂f}{∂y}(p)
@@ -49,13 +49,13 @@ von $p$ eine Untermannigfaltigkeit und kann lokal durch die $x$- oder $y$-Werte
 parametrisiert werden.
 
 Überlegen Sie sich anhand der Einheitsparabel, dass der Satz über die implizit
-definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (… denn
+definierten Funktionen in der algebraischen Geometrie nicht gelten kann (denn
 sonst müsste die Wurzelfunktion algebraisch sein).  Die Unterscheidung nach
-``gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist''
+„gute Punkte, in denen mindestens eine partielle Ableitung ungleich null ist“
-und ``schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind''
+und „schlechte Punkte, in denen alle partielle Ableitungen gleich null sind“
 funktioniert aber ohne weiteres.
 
-\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep}
+\begin{defn}[Einfache Punkte]\label{defn:ep}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
   ebene algebraische Kurve und es sei $p ∈ 𝔸²_k$ sei ein Punkt von $V(f)$.  Man
   nennt $p$ einen \emph{einfachen Punkt}\index{einfacher Punkt} der Kurve $f$,
@@ -84,7 +84,7 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
 
 \begin{bemerkung}
   Die Ableitungen aus Definition~\ref{defn:ep} sind wie in der Vorlesung
-  ``Algebra'' die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten
+  „Algebra“ die formalen Ableitungen, die einfach nach den bekannten
   Rechenregeln für das Ableiten von Polynomen definiert sind und nichts mit den
   Grenzwerten aus der Analysis zu tun haben.  Wir erinnern uns an die
   schlaflosen Nächte des letzten Semesters: falls $k$ ein Körper der positiven
@@ -96,13 +96,13 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
 
 \begin{defn}[Tangentialraum einer Kurve an einfachem Punkt]
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
-  ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher Punkt
+  ebene algebraische Kurve und es sei $p = (a,b) ∈ 𝔸²_k$ sei ein einfacher
-  der Kurve $f$.  Dann bezeichne die Gerade
+  Punkt der Kurve $f$.  Dann bezeichne die Gerade
   \[
     V \left( (y-b)·\frac{∂ f}{∂ y}(P) + (x-a)·\frac{∂ f}{∂ x}(P) \right)
   \]
   als den \emph{affinen Tangentialraum der Kurve $f$ im Punkt $p$}\index{affiner
-    Tangentialraum}.
+  Tangentialraum}.
 \end{defn}
 
 
@@ -110,11 +110,11 @@ funktioniert aber ohne weiteres.
 
 Einfache Punkte sind einfach … aber natürlich auch ein wenig langweilig.  Die
 erste Frage, die man bei nicht-einfachen Punkten stellen kann ist die, ob wir
-ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben.  Die ``Multiplizität''
+ein quantitatives Maß für die nicht-Einfachheit haben.  Die „Multiplizität“ ist
-ist der erste Begriff in dieser Richtung.  Der Bequemlichkeit halber definieren
+der erste Begriff in dieser Richtung.  Der Bequemlichkeit halber definieren wir
-wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
+diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
 
-\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6}
+\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-6}%
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
   ebene algebraische Kurve.  Dann schreibe $f$ als Summe von homogenen
   Polynomen,
@@ -126,7 +126,7 @@ wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
     m := \min \{ i ∈ ℕ \::\: f_i ≠ 0 \}
   \]
   wird als \emph{Multiplizität der Kurve $f$ im Nullpunkt}\index{Multiplizität
-    einer Kurve im Nullpunkt} bezeichnet.  Die Schreibweise $\mult_0 f$ ist
+  einer Kurve im Nullpunkt} bezeichnet.  Die Schreibweise $\mult_0 f$ ist
   üblich.
 \end{defn}
 
@@ -139,10 +139,10 @@ wir diesen Begriff erst einmal nur für den Nullpunkt.
   \end{itemize}
 \end{beobachtung}
 
-\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8}
+\begin{defn}[Multiplizität einer Kurve im Nullpunkt]\label{def:9-1-8}%
   In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-6} sei $m > 0$.  Dann nenne die
   Kurve $f_m$ den \emph{Tangentialkegel der Kurve $f$ im
-    Nullpunkt}\index{Tangentialkegel einer Kurve im Nullpunkt}.
+  Nullpunkt}\index{Tangentialkegel einer Kurve im Nullpunkt}.
 \end{defn}
 
 Wie stellen wir uns den Tangentialkegel einer Kurve vor?  Das ist gar nicht so
@@ -159,11 +159,11 @@ beschreiben:
 \end{figure}
 
 \begin{beobachtung}[Beschreibung des Tangentialkegels]
-  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei
+  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} sei $(α, β) ∈ V(f_m) ∖ \{ 0
-  $(α, β) ∈ V(f_m) ∖ \{ 0 \}$.  Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das
+  \}$.  Dann teilt die Geradengleichung $β x - α y$ das Polynom $f_m$, und der
-  Polynom $f_m$, und der Quotient ist wieder homogen.  Nach endlich vielen
+  Quotient ist wieder homogen.  Nach endlich vielen Divisionen kann ich $f_m$,
-  Divisionen kann ich $f_m$, die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also
+  die Gleichung des affinen Tangentialkegels, also auf eindeutige Weise in der
-  auf eindeutige Weise in der Form
+  Form
   \[
     f_m = p_1^{k_1} ⋯ p_l^{k_l}
   \]
@@ -174,16 +174,16 @@ beschreiben:
 \begin{defn}[Vielfachheiten im Tangentialkegel, gewöhnliche Singularitäten]
   In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-8} werden die Zahlen $k_•$ auch
   als \emph{Vielfachheit der Geraden $p_•$ im
-    Tangentialkegel}\index{Vielfachheit einer Geraden im Tangentialkegel}
+  Tangentialkegel}\index{Vielfachheit einer Geraden im Tangentialkegel}
   bezeichnet.  Falls alle Vielfachheiten gleich 1 sind, so sagt man, dass
   $\vec{0}$ ein \emph{gewöhnlicher Punkt der Kurve $f$}\index{gewöhnliche Punkte
-    einer ebenen algebraischen Kurve} ist.
+  einer ebenen algebraischen Kurve} ist.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
   Abbildung~\ref{fig:tc} zeigt die Knotenkurve.  Der Nullpunkt ist ein
-  gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel
+  gewöhnlicher, singulärer Punkt mit affinem Tangentialkegel $x²-y² =
-  $x²-y² = (x+y)·(x-y)$.  Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher
+  (x+y)·(x-y)$.  Im Gegensatz dazu ist der Nullpunkt kein gewöhnlicher
   singulärer Punkt der Neil'sche Parabel aus Abbildung~\ref{fig:gsp}, denn der
   affine Tangentialkegel ist gegeben durch die Gleichung $y²$, die eine Gerade
   hat also Multiplizität zwei.
@@ -202,11 +202,11 @@ verschobene Kurve hat die Gleichung
 \begin{equation}\label{eq:9-2-6-1}
   g(x,y) := f(x-a, y-b).
 \end{equation}
-Dann definiere die ``Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$'' einfach
+Dann definiere die „Multiplizität $\mult_p f$ von $f$ im Punkt $p$“ einfach als
-als die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja
+die Multiplizität $\mult_0 g$ von $g$ im Nullpunkt, und das kennen wir ja schon.
-schon.  Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$
+Dito mit der Frage, ob $p$ eine gewöhnliche Singularität der Kurve $f$ ist.
-ist.  Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im
+Wenn $g_m$ die Gleichung des affinen Tangentialkegels der Kurve $g$ im Nullpunkt
-Nullpunkt ist, dann verschieben wir zurück und definieren
+ist, dann verschieben wir zurück und definieren
 \[
   f_m(x,y) := g_m(x+a, y+b)
 \]
@@ -214,8 +214,8 @@ als den affinen Tangentialkegel der Kurve $f$ im Punkt $p$.
 
 \begin{frage}
   Habe ich bei den Verschiebungen wirklich die richtigen Vorzeichen gewählt?
-  Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich ``$x-a$'' stehen und nicht
+  Muss in Definition~\eqref{eq:9-2-6-1} tatsächlich „$x-a$“ stehen und nicht
-  etwa ``$x+a$''?  Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten?
+  etwa „$x+a$“?  Wie kann ich diese Frage ein für allemal beantworten?
 \end{frage}