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Stefan Kebekus 2023-04-19 11:23:56 +02:00
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03.tex
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@ -19,8 +19,8 @@ Multiplikation.
\begin{notation} \begin{notation}
In dieser Vorlesung ist mit dem Wort „Ring“ immer ein kommutativer Ring mit 1 In dieser Vorlesung ist mit dem Wort „Ring“ immer ein kommutativer Ring mit 1
gemeint. Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme die gemeint. Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme die
Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$. Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so nennen Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$. Eine
wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}. \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung} $A ⊆ B$ ist das, was Sie denken.
\end{notation} \end{notation}
@ -154,8 +154,7 @@ mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
\item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt. \item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt.
\item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als \item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als
$A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass $\{ $A$-Modul endlich erzeugt ist.
b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{satz} \end{satz}
@ -178,10 +177,61 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
gilt, wobei $E$ die $(nn)$-Einheitsmatrix ist. \qed gilt, wobei $E$ die $(nn)$-Einheitsmatrix ist. \qed
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}] \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-1} $$ \ref{il:3-2-9-2}]
\video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich $\{ b·m \::\: Es sei $b$ ganz über $A$ mit Ganzheitsgleichung
m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich bitte, diese Panne zu \[
entschuldigen. b^n + a_{n-1}·b^{n-1} + ⋯ + a_1·b + a_0 = 0.
\]
Dann ist
\begin{equation}\label{eq:3-3-2-1}
b^n = -(a_{n-1}·b^{n-1} + ⋯ + a_1·b + a_0).
\end{equation}
Wir wissen: jedes Element des Ringes $A[b]$ kann als Polynom $\sum_i
α_i·b_i$ geschrieben werden, wobei die $α_i ∈ A$ geeignete
Elemente sind. Mit \eqref{eq:3-3-2-1} folgt: die Element $1, b, b², …,
b^{n-1}$ erzeugen daher $A[b]$ als $A$-Modul.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-2} $$ \ref{il:3-2-9-1}]
Setze $M := A[b]$, fertig.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-3} $$ \ref{il:3-2-9-1}]
Wähle ein endliches Erzeugendensystem $m_1, …, m_n$ des Ringes $M$ als
$A$-Modul. Wir können also jedes Element von $M$ als $A$-Linear\-kombination
der $m_$ schreiben. Machen wir das.
\begin{align*}
1_M & = a_1·m_1 + ⋯ + a_n·m_n \\
b·m_1 &= a_{11}·m_1 + ⋯ + a_{1n}·m_n \\
\vdots \\
b·m_n &= a_{n1}·m_1 + ⋯ + a_{nn}·m_n
\end{align*}
Wir fassen die letzten Zeilen zu einer Matrix zusammen und betrachten
\[
Δ := (b·δ_{ij} + a_{ij})_{ij}\operatorname{Mat}(nn; B)
\]
Dann ist
\[
Δ · \begin{pmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{pmatrix} = \vec{0} ∈ B^n.
\]
Wir würden gern folgern, dass $\det Δ = 0_M$ ist, dazu ist aber etwas
Argumentation nötig --- beachten Sie, dass $B$ ein Ring ist, der vielleicht
Nullteiler enthält! Dazu kommt jetzt die Cramersche Regel ins Spiel: wenn
$Δ^*$ die adjungierte Matrix bezeichnet, dann gilt nämlich auf jeden Fall
\[
(\det Δ) · \begin{pmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{pmatrix} =
Δ^* Δ · \begin{pmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{pmatrix} = Δ^\vec{0} = \vec{0} ∈ B^n.
\]
Also gilt für jeden Index $i$ die Gleichung $(\det Δ)·m_i = 0_M$. Dann ist
aber auch
\[
\det Δ = (\det Δ)·1_M = (\det Δ)·(a_1·m_1 + ⋯ + a_n·m_n) = 0_M.
\]
Mit $\det Δ = 0_M$ folgt aber, dass $b ∈ B$ Nullstelle des normierten Polynoms
\[
\det (x·δ_{ij}-a_{ij}) ∈ A[x]
\]
ist. Wir haben also eine Ganzheitsgleichung für $b$ gefunden.
\end{proof} \end{proof}
\sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus \sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus