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Stefan Kebekus 2023-05-09 13:06:15 +02:00
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13
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@ -118,3 +118,16 @@ Tangentialkegel
Tangentialkegels
Vielfachheit
Vielfachheiten
Glattheit
repräsentierbar
Quotientenkörpers
def
Repräsentantenniveau
Moduln
Surjektivität
Quotientenmodul
Lokalisierungsfunktors
Lokalisierungskonstruktion
Inklusionsabbildung
Primideals
Nakayama

5
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@ -17,3 +17,8 @@
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSituation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q–\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gelten Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Schwache Division mit Rest Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in Algorithmus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation “\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q” ist der wesentliche Punkt des Beweises.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ ist der wesentliche Punkt des Beweises.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es?.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qeigentlich notwendig ist.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt, aber vielleicht nicht gemocht.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QVerstehe, wie sich der Modul \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q aus den kleineren Moduln \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammensetzt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

305
10.tex
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@ -8,21 +8,21 @@
\label{sec:11}
Im letzten Kapitel haben wir einige Eigenschaften von Punkten auf ebenen
algebraischen Kurven kennen gelernt. Ist $f$ eine solche Kurve und $p$ ein
Punkt der Kurve, so legt die geometrische Intuition vielleicht folgendes Nahe.
algebraischen Kurven kennengelernt. Ist $f$ eine solche Kurve und $p$ ein Punkt
der Kurve, so legt die geometrische Intuition vielleicht folgendes nahe.
\begin{itemize}
\item Die Eigenschaft des Punktes, glatt oder singulär zu sein, hat vermutlich
nichts mit der Frage zu tun, wie die Kurven (mit ihrem Punkt) in die Ebene
eingebettet ist. Schlau gesprochen: die geometrische Anschauung legt nahe,
eingebettet ist. Schlau gesprochen: Die geometrische Anschauung legt nahe,
dass Glattheit und Singularität von Punkten intrinsische Eigenschaften der
Kurve und ihres Punktes sind.
\item Anschaulich ist klar, dass ich die Frage nach der Glattheit oder
Singularität eines Punktes beantworten kann, wenn ich lediglich eine kleine
offene Umgebung des Punktes kenne (``mir egal, wie die Kurve in 10km
Entfernung aussieht''). Schlau gesprochen: Glattheit und Singularität sind
``lokale'' Eigenschaften.
offene Umgebung des Punktes kenne („mir egal, wie die Kurve in 10~km
Entfernung aussieht“). Schlau gesprochen: Glattheit und Singularität sind
„lokale“ Eigenschaften.
\end{itemize}
@ -39,19 +39,19 @@ sollte also eine Eigenschaft des Ideals $m_p ⊂ A$ sein.
Lokale Eigenschaften haben wir noch nicht diskutiert, das holen wir jetzt nach.
Dazu ist es nützlich, sich an Abschnitt~\ref{sec:7-1} zu erinnern, wo der affine
Koordinatenring als Ring der algebraischen Funktionen (``stetige Funktionen, die
durch Polynome repräsentierbar sind'') eingeführt wurde. Wenn nun der affine
Koordinatenring (=der Ring aller algebraischen Funktionen'') die gesamte
Koordinatenring als Ring der algebraischen Funktionen („stetige Funktionen, die
durch Polynome repräsentierbar sind“) eingeführt wurde. Wenn nun der affine
Koordinatenring (=der Ring aller algebraischen Funktionen) die gesamte
intrinsische Geometrie festlegt, dann könnte die lokale Geometrie in der Nähe
des Punktes $p$ durch den Ring der algebraischen Funktionen gegeben sein, die
nur in der Nähe von $p$ definiert sind. Die Frage ist, was dies im Kontext der
algebraischen Geometrie genau bedeuten soll. Antwort: algebraische Funktion,
die ``nur in der Nähe von $p$ definiert sind'', sind rationale Funktionen die
bei $p$ keine Polstelle haben. Was ist eine rationale Funktion? Antwort:
rationale Funktionen sind Quotienten von algebraischen Funktionen -- also von
Elementen des affinen Koordinatenringes. Wir betrachten also Brüche $a/b$, wo
$a$ und $b$ Elemente des affinen Koordinatenringes sind und wo die Funktion $b$
am Punkte $p$ keine Nullstelle hat.
die „nur in der Nähe von $p$ definiert sind“, sind rationale Funktionen die bei
$p$ keine Polstelle haben. Was ist eine rationale Funktion? Antwort: rationale
Funktionen sind Quotienten von algebraischen Funktionen -- also von Elementen
des affinen Koordinatenringes. Wir betrachten also Brüche $a/b$, wo $a$ und $b$
Elemente des affinen Koordinatenringes sind und wo die Funktion $b$ am Punkte
$p$ keine Nullstelle hat.
\section{Multiplikative Systeme}
@ -69,20 +69,20 @@ Null verboten ist, müssen wir hier etwas vorsichtiger sein.
wenn für alle $f$ und $g ∈ S$ die Inklusion $f·g ∈ S$ gilt.
\end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:10-2-2}
\begin{bsp}\label{bsp:10-2-2}%
Es sei $R$ ein beliebiger kommutativer Ring mit Eins. Die folgenden Mengen
sind multiplikative Systeme.
\begin{itemize}
\item Die Menge der Einheiten, also $R^*$.
\item Es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Dann ist $R∖ p$ ein multiplikatives
\item Es sei $p ⊂ R$ ein Primideal. Dann ist $R∖p$ ein multiplikatives
System.
\item Es sei $m_p ⊂ R$ ein maximales Ideal. Dann ist $m_p$ ein Primideal und
$R∖ m_p$ ist ein multiplikatives System.
\item Es sei $f ∈ R$ ein beliebiges Element. Dann ist die Menge
$\{ 1, f, f², … \}$ ein multiplikatives System.
\item Es sei $f ∈ R$ ein beliebiges Element. Dann ist die Menge $\{ 1, f, f²,
… \}$ ein multiplikatives System.
\end{itemize}
\end{bsp}
@ -93,15 +93,15 @@ Beispiel~\ref{bsp:10-2-2} zeigt, wohin der Hase läuft. In späteren Anwendunge
ist $R$ der affine Koordinatenring einer ebenen, algebraischen Kurve $X$ und
$m_p$ ist das maximale Ideal, das zu einem gegebenen Punkt $p$ gehört. Ich kann
die Elemente von $R$ als algebraische Funktionen auf $X$ auffassen, und eine
Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist.
Bei der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also ``rationale
Funktionen'' der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des
multiplikativen Systems $R ∖ m_p$ zulassen. Die folgende Konstruktion sagt
präzise, was passiert.
Funktion $f ∈ R$ hat genau dann bei $p$ eine Nullstelle, wenn $f ∈ m_p$ ist. Bei
der Diskussion von lokalen Eigenschaften wollen wir also „rationale Funktionen“
der Form $a/b$ betrachten, wo wir für $b$ nur Elemente des multiplikativen
Systems $R∖m_p$ zulassen. Die folgende Konstruktion sagt präzise, was
passiert.
\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Ringen]\label{kons:loc}
\index{Lokalisierung!von Ringen}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins
und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Dann betrachte die folgende
\index{Lokalisierung!von Ringen}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und
es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Dann betrachte die folgende
Relation auf $R ⨯ S$,
\begin{equation}\label{eq:10-3-1-1}
(a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
@ -132,7 +132,7 @@ präzise, was passiert.
\begin{frage}
Vielleicht fällt Ihnen auf, dass die Relation~\eqref{eq:10-3-1-1}
komplizierter ist als die Relation, die Sie bei der Konstruktion des
Quotientenkörpers kennen gelernt haben, denn dort war
Quotientenkörpers kennengelernt haben, denn dort war
\[
(a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
(aβ - b α) = 0.
@ -145,13 +145,13 @@ präzise, was passiert.
Genau wie der Quotientenkörper ist die Lokalisierung eines Ringes eindeutig
durch eine universelle Eigenschaft gegeben. Weil wir die universellen
Eigenschaften in der Vorlesung ``Algebra'' zu genüge diskutiert haben, spare ich
Eigenschaften in der Vorlesung „Algebra“ zu genüge diskutiert haben, spare ich
mir die Details und den Beweis und gebe die Eigenschaft einfach an.
\begin{prop}[Universelle Eigenschaft der Lokalisierung]\label{prop:10-3-3}
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} sei ein Ringmorphismus
$γ : R → T$ gegeben, so dass $γ(S) ⊂ T^*$ ist. Dann existiert genau ein
Morphismus $ν :S^{-1}R → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
\begin{prop}[Universelle Eigenschaft der Lokalisierung]\label{prop:10-3-3}%
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} sei ein Ringmorphismus $γ : R
→ T$ gegeben, sodass $γ(S) ⊂ T^*$ ist. Dann existiert genau ein Morphismus $ν
:S^{-1}R → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
\[
\begin{tikzcd}
R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & {S^{-1}R} \ar[d, "ν"] \\
@ -171,7 +171,7 @@ mir die Details und den Beweis und gebe die Eigenschaft einfach an.
\begin{notation}[Lokalisierung nach Primideal]
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal, mit zugehörendem
multiplikativen System $S := R ∖ p$. Dann wird die Lokalisierung $S^{-1} R$
multiplikativen System $S := R∖p$. Dann wird die Lokalisierung $S^{-1} R$
auch häufig mit $R_p$ bezeichnet.
\end{notation}
@ -201,7 +201,7 @@ kann helfen.
\begin{lem}
In Konstruktion~\ref{kons:loc} sind folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item\label{il:10-3-6-1} Es ist $S^{-1}R = 0$
\item\label{il:10-3-6-1} Es ist $S^{-1}R = 0$.
\item\label{il:10-3-6-2} Es ist $0 ∈ S$.
@ -214,8 +214,8 @@ kann helfen.
\begin{description}
\item[\ref{il:10-3-6-1} $⇒$ \ref{il:10-3-6-2}] Sei $S^{-1}R = 0$. Dann ist
$\frac{1}{1} = \frac{0}{1}$, also existiert ein Element $s ∈ S$ mit
$s · 1 = 0$. Also ist $0 ∈ S$.
$\frac{1}{1} = \frac{0}{1}$, also existiert ein Element $s ∈ S$ mit $s · 1 =
0$. Also ist $0 ∈ S$.
\item[\ref{il:10-3-6-2} $⇒$ \ref{il:10-3-6-3}] Klar, denn 0 ist ein
nilpotentes Element.
@ -234,18 +234,18 @@ kann helfen.
Unser nächstes Ziel ist es, Ideale im Ring $R$ und im lokalisierten Ring
$S^{-1}R$ zu vergleichen. Es lohnt sich aber, gleich ein wenig allgemeiner zu
arbeiten, denn Ideale sind spezielle Moduln.
arbeiten, denn Ideale sind spezielle Moduln
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_(Mathematik)}{Sie erinnern sich doch
daran, was ein Modul ist?} Grob und nicht ganz richtig: Ein Modul ist wie ein
Vektorraum, aber nicht über einem Körper sondern über einem Ring. Die
Lokalisierung eines Moduls geht genau so wie die Lokalisierung eines Ringes: wir
daran, was ein Modul ist?}. Grob und nicht ganz richtig: Ein Modul ist wie ein
Vektorraum, aber nicht über einem Körper, sondern über einem Ring. Die
Lokalisierung eines Moduls geht genauso wie die Lokalisierung eines Ringes: wir
betrachten Brüche, wo oben Modulelemente stehen und unten Elemente des
multiplikativen Systems.
\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Moduln]\label{kons:locM}
\index{Lokalisierung!von Moduln}Es sei $R$ ein ein kommutativer Ring mit Eins
und es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul
(zum Beispiel ein Ideal). Dann betrachte die folgende Relation auf $A ⨯ S$,
\begin{konstruktion}[Lokalisierung von Moduln]\label{kons:locM}%
\index{Lokalisierung!von Moduln}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und
es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul (zum
Beispiel ein Ideal). Dann betrachte die folgende Relation auf $A ⨯ S$,
\begin{equation}\label{eq:10-3-1-1M}
(a,α) \sim (b, β) \quad \overset{\text{def}}{⇔} \quad
∃ s ∈ S: s·(aβ - b α) = 0
@ -268,10 +268,10 @@ multiplikativen Systems.
Modulstruktur auf $S^{-1}A$ liefert.
\end{konstruktion}
\begin{bemerkung}\label{bem:10-4-2}
Bei der Lokalisierung von $R$-Moduln gibt es etwas Potential für Verwirrung.
Der Ring $R$ ist trivialerweise selbst ein $R$-Modul. Wenn ich jetzt
$S^{-1} R$ schreibe, meine ich dann die Lokalisierung des Ringes aus
\begin{bemerkung}\label{bem:10-4-2}%
Bei der Lokalisierung von $R$-Moduln gibt es etwas Potenzial für Verwirrung.
Der Ring $R$ ist trivialerweise selbst ein $R$-Modul. Wenn ich jetzt $S^{-1}
R$ schreibe, meine ich dann die Lokalisierung des Ringes aus
Konstruktion~\ref{kons:loc} oder die Lokalisierung des $R$-Moduls aus
Konstruktion~\ref{kons:locM}? Gute Nachricht: es macht keinen Unterschied.
Rechnen Sie nach, dass die beiden Konstruktion in diesem Fall schlicht
@ -293,21 +293,21 @@ ich auf folgende Eigenschaft der Lokalisierung hinweisen.
\[
S^{-1}α : S^{-1} A → S^{-1} B, \quad \frac{a}{s} ↦ \frac{α(a)}{s}.
\]
Rechnen Sie nach, dass diese ``Definition auf Repräsentantenniveau''
tatsächlich wohldefiniert ist. Gegeben einen weiteren Modulmorphismus
$β : B → C$, so rechnen Sie nach, dass stets die Gleichung
Rechnen Sie nach, dass diese „Definition auf Repräsentantenniveau“ tatsächlich
wohldefiniert ist. Gegeben einen weiteren Modulmorphismus $β : B → C$, so
rechnen Sie nach, dass stets die Gleichung
\[
S^{-1}(β◦α) = \left(S^{-1}β\right) ◦ \left(S^{-1} α\right)
\]
gilt. Der Mathematiker fasst die Aussage ``Morphismen von Moduln induzieren
in kanonischer Weise Morphismen von lokalisierten Moduln in einer Art und
Weise, die mit der Komposition verträglich ist'' kurz zusammen und sagt:
``Lokalisierung ist funktoriell''.
gilt. Der Mathematiker fasst die Aussage „Morphismen von Moduln induzieren in
kanonischer Weise Morphismen von lokalisierten Moduln in einer Art und Weise,
die mit der Komposition verträglich ist“ kurz zusammen und sagt:
„Lokalisierung ist funktoriell“.
\end{beobachtung}
\begin{notation}[Lokalisierung nach Primideal]
Es sei $R$ ein Ring und es sei $p ⊂ R$ ein Primideal, mit zugehörendem
multiplikativen System $S := R ∖ p$. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul. Dann wird
multiplikativen System $S := R∖p$. Weiter sei $A$ ein $R$-Modul. Dann wird
die Lokalisierung $S^{-1} A$ auch häufig mit $A_p$ bezeichnet. Gegeben einen
Morphismus von $R$-Moduln, $α : A → B$, dann wird die Lokalisierung $S^{-1} α$
auch häufig mit $α_p$ bezeichnet.
@ -318,7 +318,7 @@ ich auf folgende Eigenschaft der Lokalisierung hinweisen.
\subsubsection{Exakte Sequenzen -- Teile und Herrsche}
In der Vorlesung ``Lineare Algebra'' haben Sie exakte Sequenzen kennen gelernt,
In der Vorlesung „Lineare Algebra“ haben Sie exakte Sequenzen kennengelernt,
aber vielleicht nicht gemocht. Jetzt ist es an der Zeit, die exakt Sequenz
lieben zu lernen. Ich wiederhole kurz, worum es geht: Gegeben einen Ring $R$,
dann nenne eine (endliche oder unendliche) Folge von Modulmorphismen
@ -330,16 +330,16 @@ exakt, wenn für jeden Index $i$ die Gleichung $\img α_i = \ker α_{i+1}$ gilt.
\begin{beobachtung}
Es sei $α: A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln. Dann kann man Injektivität
und Surjektivität von $α$ mit Hilfe von exakten Sequenzen ausdrücken.
und Surjektivität von $α$ mithilfe von exakten Sequenzen ausdrücken.
\begin{itemize}
\item Der Morphismus $α$ ist genau dann injektiv, wenn $\ker α = \{0\}$ ist.
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Sequenz $0 → A \xrightarrow{α} B$
exakt ist. Dabei ist der erste Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was
sonst.
\item Der Morphismus $α$ ist genau dann surjektiv, wenn die Sequenz
$A \xrightarrow{α} B → 0$ exakt ist. Dabei ist der letzte Pfeil
logischerweise die Nullabbildung, was sonst.
\item Der Morphismus $α$ ist genau dann surjektiv, wenn die Sequenz $A
\xrightarrow{α} B → 0$ exakt ist. Dabei ist der letzte Pfeil logischerweise
die Nullabbildung, was sonst.
\end{itemize}
\end{beobachtung}
@ -351,9 +351,9 @@ exakte Sequenzen der folgenden Form,
Dabei ist der erste und der letzte Pfeil logischerweise die Nullabbildung, was
sonst.
\begin{beobachtung}\label{beo:10-4-6}
Die Aussage ``Die Sequenz \eqref{eq:kes} ist exakt'' besagt genau die
folgenden drei Dinge.
\begin{beobachtung}\label{beo:10-4-6}%
Die Aussage „Die Sequenz \eqref{eq:kes} ist exakt.“ besagt genau die folgenden
drei Dinge.
\begin{itemize}
\item Der Morphismus $α$ ist injektiv.
@ -366,7 +366,7 @@ sonst.
\item Der Modul $A$ ist isomorph zu $\ker β$.
\item Der Modul $C$ ist isomorph zu $\coker α$. Wenn ich $A$ mithilfe der
injektiven Abbildung $α$ als Untermodul von $B$ auffasse dann ist $C$ also
injektiven Abbildung $α$ als Untermodul von $B$ auffasse, dann ist $C$
isomorph zum Quotientenmodul $B/A$.
\end{itemize}
\end{beobachtung}
@ -375,8 +375,8 @@ Wenn Sie normal sind, haben Sie sich sicher schon länger gefragt, warum ältere
Professoren auf exakte Sequenzen abfahren. Der Grund: viele Moduln sind echt
schwer zu verstehen. Wenn mir das Leben einen Modul $B$ gibt, dann suche ich
eine exakte Sequenz wie in \eqref{eq:kes}, in der Hoffnung, dass die Moduln $A$
und $C$ kleiner und deshalb leichter zu verstehen sind. Das Zerlegt mein
Problem ``verstehe den Modul $B$'' in drei Teilaufgaben.
und $C$ kleiner und deshalb leichter zu verstehen sind. Das zerlegt mein
Problem „verstehe den Modul $B$“ in drei Teilaufgaben.
\begin{itemize}
\item Verstehe den kleineren Modul $A$.
@ -392,8 +392,8 @@ vermutlich noch kein Beispiel gesehen, wo man mit dieser Strategie wirklich
etwas bewiesen hätte. Dafür gibt es einen guten Grund: Sie haben sich bislang
vermutlich weniger für Moduln, sondern meistens nur für Vektorräume
interessiert. Wenn aber \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von
Vektorräumen ist, dann ist $B ≅ A⊕C$, und die Frage ``Wie setzt sich der Modul
$B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?'' ist irrelevant.
Vektorräumen ist, dann ist $B ≅ A⊕C$, und die Frage „Wie setzt sich der Modul
$B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?“ ist irrelevant.
\begin{warnung}
Wenn \eqref{eq:kes} eine kurze exakte Sequenz von Moduln ist, dann ist es im
@ -408,10 +408,10 @@ $B$ aus den kleineren Moduln $A$ und $C$ zusammen?'' ist irrelevant.
\sideremark{Vorlesung 12}Ich verspreche Ihnen, dass wir später in dieser
Vorlesung interessante exakte Sequenzen sehen werden. Im Moment geht es aber um
die Lokalisierung von Moduln. Der wesentliche Punkt: Lokalisierung bildet
exakte Sequenzen auf exakte Sequenzen ab. Der Mathematiker sagt ``Lokalisierung
ist ein exakter Funktor''.
exakte Sequenzen auf exakte Sequenzen ab. Der Mathematiker sagt „Lokalisierung
ist ein exakter Funktor“.
\begin{satz}[Lokalisierung ist ein exakter Funktor]\label{satz:10-4-7}
\begin{satz}[Lokalisierung ist ein exakter Funktor]\label{satz:10-4-7}%
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei
\[
A \xrightarrow{α} B \xrightarrow{β} C
@ -427,15 +427,15 @@ ist ein exakter Funktor''.
\end{proof}
\begin{bemerkung}
Satz~\ref{satz:10-4-7} ist eine Aussage über exakte Sequenzen der Länge
drei. Wenn man den Satz aber erst einmal bewiesen hat, dann folgt die Aussage
Satz~\ref{satz:10-4-7} ist eine Aussage über exakte Sequenzen der Länge drei.
Wenn man den Satz aber erst einmal bewiesen hat, dann folgt die Aussage
ziemlich schnell auch für exakte Sequenzen beliebiger Länge --- unendlich
lange Sequenzen sind ebenfalls erlaubt.
\end{bemerkung}
\begin{kor}[Lokalisierung erhält Injektivität und Surjektivität]\label{kor:10-4-7}
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei
$α : A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln.
\begin{kor}[Lokalisierung erhält Injektivität und Surjektivität]\label{kor:10-4-7}%
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei $α :
A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln.
\begin{itemize}
\item Wenn $α$ injektiv ist, dann ist $S^{-1}α$ injektiv.
@ -458,8 +458,8 @@ Korollar~\ref{kor:10-4-7}, den lokalisierten Modul $S^{-1}A$ als Untermodul von
$S^{-1}B$ aufzufassen. Damit ist das folgende Korollar sinnvoll.
\begin{kor}
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei$M$
ein $R$-Modul mit Untermoduln $N$ und $P ⊂ M$. Dann gilt folgendes.
Es sei $R$ ein Ring, es sei $S ⊂ R$ ein multiplikatives System und es sei $M$
ein $R$-Modul mit Untermodul $N$ und $P ⊂ M$. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
\item Es ist $S^{-1}(N+P) = (S^{-1}N) + (S^{-1}P)$.
@ -492,7 +492,7 @@ Gegeben sei ein Ring $R$ und es sei $A$ ein $R$-Modul. Wenn $A$ der Nullmodul
ist, dann ist natürlich auch jede Lokalisierung nach jedem Primideal der
Nullmodul. Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.
\begin{lem}[Verschwindung von Moduln ist lokale Eigenschaft]\label{lem:10-4-10}
\begin{lem}[Verschwindung von Moduln ist lokale Eigenschaft]\label{lem:10-4-10}%
Es sei $R$ ein Ring und es sei $M$ ein $R$-Modul. Dann sind die folgenden
Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
@ -500,25 +500,24 @@ Nullmodul. Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.
\item\label{il:10-4-10-2} Für jedes Primideal $p ⊂ R$ ist $M_p = 0$.
\item\label{il:10-4-10-3} Für jedes maximale Ideal $m ⊂ R$ ist
$M_m = 0$.
\item\label{il:10-4-10-3} Für jedes maximale Ideal $m ⊂ R$ ist $M_m = 0$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
Es ist nur die Richtung \ref{il:10-4-10-3} $⇒$ \ref{il:10-4-10-1} zu
zeigen. Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass $M ≠ 0$
ist, dass aber alle Lokalisierungen in maximalen Idealen 0 sind. Wähle dann
ein Element $x ∈ M ∖ \{0\}$, und betrachte die Menge
Es ist nur die Richtung \ref{il:10-4-10-3} $⇒$ \ref{il:10-4-10-1} zu zeigen.
Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass $M ≠ 0$ ist, dass aber
alle Lokalisierungen in maximalen Idealen 0 sind. Wähle dann ein Element $x ∈
M ∖ \{0\}$, und betrachte die Menge
\[
\operatorname{Ass}(x) = \{ r ∈ R \::\: r·x = 0 \} ⊂ R.
\]
Dies ist ein Ideal in $R$, das häufig als das ``zu $x$ assoziierte Ideal''
Dies ist ein Ideal in $R$, das häufig als das „zu $x$ assoziierte Ideal“
bezeichnet wird. Blutrünstige Kollegen sprechen gern vom
\href{https://www.youtube.com/watch?v=qTUL-mpov78}{Assassinator-Ideal}, weil
$\operatorname{Ass}(x)$ aus genau den Ringelementen besteht, die $x$
``killen''. Die Annahme $x ≠ 0$ impliziert sofort
$1 \not ∈ \operatorname{Ass}(x)$. Also können wir ein maximales Ideal wählen
$m$, das $\operatorname{Ass}(x)$ enthält,
$\operatorname{Ass}(x)$ aus genau den Ringelementen besteht, die $x$ „killen“.
Die Annahme $x ≠ 0$ impliziert sofort $1 \not ∈ \operatorname{Ass}(x)$. Also
können wir ein maximales Ideal wählen $m$, das $\operatorname{Ass}(x)$
enthält,
\[
\operatorname{Ass}(x) ⊂ m ⊊ R.
\]
@ -526,10 +525,10 @@ Nullmodul. Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.
\[
\frac{0}{1} = \frac{x}{1} ∈ M_m.
\]
Per Definition bedeutet das, dass ein Element $s ∈ R ∖ m$ existiert,
sodass $s·(x·1 - 0·1) = 0$ ist. Mit anderen Worten: es gilt $s·x = 0$ und
also ist $s ∈ \operatorname{Ass}(x)$, im Widerspruch zur Wahl von
$s ∈ R ∖ m ⊂ R ∖ \operatorname{Ass}(x)$.
Per Definition bedeutet das, dass ein Element $s ∈ R∖m$ existiert, sodass
$s·(x·1 - 0·1) = 0$ ist. Mit anderen Worten: es gilt $s·x = 0$ und also ist
$s ∈ \operatorname{Ass}(x)$, im Widerspruch zur Wahl von $s ∈ R∖m ⊂
R∖\operatorname{Ass}(x)$.
\end{proof}
In der Fachsprache sagt man, die Eigenschaft eines Moduls, der Nullmodul zu
@ -542,33 +541,32 @@ sein, ist eine lokale Eigenschaft.
\begin{itemize}
\item Der Modul $M$ hat Eigenschaft $E$.
\item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der Modul $M_p$ hat Eigenschaft
$E$.
\item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: Der Modul $M_p$ hat Eigenschaft $E$.
\end{itemize}
\end{defn}
Das geht natürlich auch mit Eigenschaften von Morphismen.
\begin{kor}[Injektivität und Surjektivität sind lokale Eigenschaften]\label{kor:10-5-3}
Es sei $R$ ein Ring und es sei $α: A → B$ ein Morphismus von
$R$-Moduln. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{kor}[Injektivität und Surjektivität sind lokale Eigenschaften]\label{kor:10-5-3}%
Es sei $R$ ein Ring und es sei $α: A → B$ ein Morphismus von $R$-Moduln. Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item\label{il:10-5-3-1} Die Abbildung $α$ ist injektiv.
\item\label{il:10-5-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: die Abbildung
$α_p$ ist injektiv.
\item\label{il:10-5-3-2} Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: Die Abbildung $α_p$
ist injektiv.
\item\label{il:10-5-3-3} Für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ gilt: die
Abbildung $α_m$ ist injektiv.
\item\label{il:10-5-3-3} Für alle maximalen Ideale $m ⊂ R$ gilt: Die Abbildung
$α_m$ ist injektiv.
\end{enumerate}
Analoge Äquivalenzen gelten auch für Surjektivität.
\end{kor}
\begin{proof}
Nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} ist nur die Richtung \ref{il:10-5-3-3}
$⇒$ \ref{il:10-5-3-1} zu zeigen. Wir nehmen also an, dass für jedes
maximale Ideal $m ⊂ R$ die Abbildung $α_m$ injektiv ist.
Nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} ist nur die Richtung \ref{il:10-5-3-3} $⇒$
\ref{il:10-5-3-1} zu zeigen. Wir nehmen also an, dass für jedes maximale
Ideal $m ⊂ R$ die Abbildung $α_m$ injektiv ist.
Als nächstes betrachte die Sequenz von $R$-Moduln,
Als Nächstes betrachte die Sequenz von $R$-Moduln,
\begin{equation}\label{eq:10-5-3-4}
0 → \ker(α) → A \xrightarrow{α} B.
\end{equation}
@ -587,17 +585,17 @@ Das geht natürlich auch mit Eigenschaften von Morphismen.
\end{proof}
Korollar~\ref{kor:10-5-3} sagt, das Injektivität und Surjektivität lokale
Eigenschaften von $R$-Modulmorphismen sind.
Eigenschaften von $R$-Modul\-mor\-phismen sind.
\begin{defn}[Lokale Eigenschaften von Modulmorphismen]
Es sei $R$ ein Ring und es sei $E$ eine Eigenschaft von $R$-Modulmorphismen.
Nenne $E$ eine \emph{lokale Eigenschaft}\index{lokale Eigenschaft!von
Modulmorphismen}, wenn für jeden $R$-Modulmorphismus $α$ die folgenden
Modulmorphismen}, wenn für jeden $R$-Modulmorphismus $α$ die folgenden
Aussagen äquivalent sind.
\begin{itemize}
\item Der $R$-Modulmorphismus $α$ hat Eigenschaft $E$.
\item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: der $R$-Modulmorphismus $α_p$ hat
\item Für alle Primideale $p ⊂ R$ gilt: Der $R$-Modulmorphismus $α_p$ hat
Eigenschaft $E$.
\end{itemize}
\end{defn}
@ -615,7 +613,7 @@ zwei elementare Tatsachen aus der Algebra-Vorlesung.
prim ist, dann ist auch $γ^{-1}(I)$ ein Primideal. \qed
\end{lem}
\begin{nlemma}[Bilder von Idealen]\label{nlem:10-6-2}
\begin{nlemma}[Bilder von Idealen]\label{nlem:10-6-2}%
Es sei $γ: R → T$ ein Ringmorphismus und es sei $J ⊂ R$ ein Ideal. Dann ist
im Allgemeinen weder die Bildmenge $γ(J)$ noch die Menge
\[
@ -626,9 +624,9 @@ zwei elementare Tatsachen aus der Algebra-Vorlesung.
Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
\begin{lem}\label{lem:10-6-3}
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
Ringen'') sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Dann ist
\begin{lem}\label{lem:10-6-3}%
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Dann ist
\begin{equation}\label{eq:10-6-3-1}
φ(I)·S^{-1}R = \left\{ \frac{a}{b} ∈ S^{-1}R \::\: a ∈ I, b ∈ S
\right\}.
@ -637,7 +635,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
in $S^{-1}R$.
\end{lem}
\begin{proof}
Die Inklusion ``$⊃$'' ist klar. Um die Inklusion ``$⊂$'' zu zeigen, sei ein
Die Inklusion „$⊃$“ ist klar. Um die Inklusion „$⊂$“ zu zeigen, sei ein
Element
\[
\frac{α}{β} ∈ φ(I)·S^{-1}R
@ -651,7 +649,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
\end{proof}
\begin{bemerkung}
Lemma~\ref{lem:10-6-3} hat vielleicht ein wenig Potential für Verwirrung, denn
Lemma~\ref{lem:10-6-3} hat vielleicht ein wenig Potenzial für Verwirrung, denn
das Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich auch ein $R$-Modul und die rechte Seite von
Gleichung~\eqref{eq:10-6-3-1} erinnert an $S^{-1}I$, die Lokalisierung von $I$
als $R$-Modul. Das ist natürlich kein Zufall, und ich möchte die Details noch
@ -663,7 +661,7 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
\]
die nach Korollar~\ref{kor:10-4-7} wieder injektiv ist. Erinnern Sie sich
dazu an Bemerkung~\ref{bem:10-4-2}: Es macht keinen Unterschied, ob wir $R$
als Ring oder als $R$-Modul lokalisieren. Rechnen Sie als nächstes nach, dass
als Ring oder als $R$-Modul lokalisieren. Rechnen Sie als Nächstes nach, dass
das Bild der injektiven Abbildung $S^{-1}ι$ genau die Menge $φ(I)·S^{-1}R$
ist. Die Abbildung $S^{-1}ι$ identifiziert daher die Mengen $S^{-1}I$ und
$φ(I)·S^{-1}R$.
@ -674,9 +672,9 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
$φ(I)·S^{-1} R ⊂ S^{-1} R$ von nun an häufig mit $S^{-1}I$ notieren.
\end{notation}
\begin{satz}[Verhalten von Idealen unter Lokalisierung]\label{satz:10-6-6}
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
Ringen'') gilt folgendes.
\begin{satz}[Verhalten von Idealen unter Lokalisierung]\label{satz:10-6-6}%
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
\item\label{il:10-6-6-1} Alle Ideale in $S^{-1}R$ sind von der Form $S^{-1}I$
für ein Ideal $I ⊂ R$. Genauer: für jedes Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ gilt die
@ -701,9 +699,9 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
\video{12-2}
\end{proof}
\begin{kor}[Verhalten von Primidealen unter Lokalisierung]\label{kor:10-6-8}
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
Ringen'') liefert die Abbildung
\begin{kor}[Verhalten von Primidealen unter Lokalisierung]\label{kor:10-6-8}%
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
liefert die Abbildung
\[
η: \left\{\text{ Ideale in $S^{-1}R$ } \right\} → \left\{\text{ Ideale in $R$ }
\right\}, \quad J ↦ φ^{-1}(J)
@ -719,22 +717,22 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
$φ^{-1}(J)$ zu $S$ disjunkt ist. Das geht mit einem Widerspruchsbeweis.
Angenommen, es gäbe ein $s ∈ φ^{-1}(J)∩ S$. Per Definition der Abbildung $φ$
ist dann $\frac{s}{1} ∈ J$, also $\frac{1}{1} = \frac{s}{1}·\frac{1}{s} ∈ J$
und es folgt $J = S^{-1}R$ Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $J$ prim
ist.
und es folgt $J = S^{-1}R$. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $J$
prim ist.
Die Abbildung $η$ ist offensichtlich injektiv. Also ist nur noch zu zeigen,
dass jedes Primideal $I ⊂ R$ mit $I ∩ S = ∅$ bereits Urbild eines Primideals
in $J ⊂ S^{-1}R$ ist. Sei also ein solches Ideal $I$ gegeben. Um $J$ zu
finden, wenden wir das Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} an: wenn ein Element
$r ∈ R$ gegeben ist, sodass ein $s ∈ S$ existiert mit $r·s ∈ I$, dann ist $s$
finden, wenden wir das Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} an: wenn ein Element $r ∈
R$ gegeben ist, sodass ein $s ∈ S$ existiert mit $r·s ∈ I$, dann ist $s$
logischerweise nicht in $I$. Auf der anderen Seite ist $I$ per Annahme ein
Primideal, so dass $r ∈ I$ sein muss. Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} liefert uns
Primideal, sodass $r ∈ I$ sein muss. Kriterium~\ref{il:10-6-6-3} liefert uns
also ein Ideal $J ⊂ S^{-1}R$ mit $I = φ^{-1}(J)$. Nach \ref{il:10-6-6-1}
wissen wir sogar ganz genau, was $J$ ist, nämlich $S^{-1}I$.
Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass das gefundene Ideal $J$ tatsächlich ein
Primideal ist. Seien also zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und
$\frac{c}{d} ∈ S^{-1}R$ gegeben, sodass
Primideal ist. Seien also zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d} ∈
S^{-1}R$ gegeben, sodass
\[
\frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} ∈ J = S^{-1}I
\]
@ -742,19 +740,19 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
\[
∃ α ∈ I: ∃ β ∈ S: \frac{α}{β} = \frac{ac}{bd}.
\]
Das bedeutet per Definition von Lokalisierung: es existiert ein Element
$u ∈ S$ mit $(acβ - α bd)u = 0$. Es folgt also
Das bedeutet per Definition von Lokalisierung: Es existiert ein Element $u ∈
S$ mit $(acβ - α bd)u = 0$. Es folgt also
\[
ac\underbrace{β u}_{∈ S} = α·bdu ∈ I \text{ da } α ∈ I.
\]
Weil $I$ aber ein Primideal ist und $S ∩ I = ∅$, folgt $ac ∈ I$. Also ist
$a ∈ I$ oder $c ∈ I$ und deshalb ist $\frac{a}{b} ∈ S^{-1}I$ oder
$\frac{c}{d} ∈ I$. Was zu zeigen war.
Weil $I$ aber ein Primideal ist und $S ∩ I = ∅$, folgt $ac ∈ I$. Also ist $a
∈ I$ oder $c ∈ I$ und deshalb ist $\frac{a}{b} ∈ S^{-1}I$ oder $\frac{c}{d} ∈
I$. Was zu zeigen war.
\end{proof}
\begin{kor}
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
Ringen'') sei $R$ Noethersch. Dann ist auch $S^{-1}R$ Noethersch.
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
sei $R$ Noethersch. Dann ist auch $S^{-1}R$ Noethersch.
\end{kor}
\begin{proof}
Es sei $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ eine aufsteigende Kette von Idealen in $S^{-1}R$.
@ -765,22 +763,22 @@ Im Kontext der Lokalisierung von Ringen stellt sich die Situation wie folgt dar.
Aussage~\ref{il:10-6-6-1} von Satz~\ref{satz:10-6-6} ist dann aber
\[
\underbrace{S^{-1} φ^{-1}(I_n)}_{= I_n} = \underbrace{S^{-1}
φ^{-1}(I_{n+1})}_{= I_{n+1}} = ⋯
φ^{-1}(I_{n+1})}_{= I_{n+1}} = ⋯.
\]
Also wird bereits die aufsteigende Kette $I_1 ⊂ I_2 ⊂ ⋯$ stationär.
\end{proof}
\begin{kor}[Lokalisierung von Primidealen liefert lokale Ringe]\label{kor:10-6-9}
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} (``Lokalisierung von
Ringen'') sei das multiplikative System $S$ von der Form $S = R ∖ p$, für ein
Primideal $p ⊂ R$. Dann gibt es in $S^{-1}R = R_p$ genau ein maximales Ideal,
nämlich $p·R_p = S^{-1}p$.
\begin{kor}[Lokalisierung von Primidealen liefert lokale Ringe]\label{kor:10-6-9}%
In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:loc} („Lokalisierung von Ringen“)
sei das multiplikative System $S$ von der Form $S = R ∖ p$, für ein Primideal
$p ⊂ R$. Dann gibt es in $S^{-1}R = R_p$ genau ein maximales Ideal, nämlich
$p·R_p = S^{-1}p$.
\end{kor}
\begin{proof}
Sei $m ⊂ R_p$ ein maximales Ideal, dann ist $φ^{-1}(m) ⊂ R$ ein Primideal,
welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $R ∖ S = R ∖ (R ∖ p) = p$ enthalten
ist. Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$.
Mit anderen Worten: $m = p · R_p$.
welches nach Korollar~\ref{kor:10-6-8} in $R∖S = R∖(R∖p) = p$ enthalten ist.
Also folgt aus der Maximalität bereits die Gleichung $φ^{-1}(m) = p$. Mit
anderen Worten: $m = p · R_p$.
\end{proof}
@ -817,10 +815,9 @@ bekommen.
---
\begin{description}
\item[\ref{il:10-7-2-1} $⇒$ \ref{il:10-7-2-2}] Sei $R$ ein lokaler Ring und
$f ∈ R$ sei keine Einheit. Dann ist $(f) ≠ R$. Also ist $(f)$ in einem
(dem einen) maximalen Ideal enthalten und es ist $(f) ⊂ m$. Also ist
$f ∈ m$.
\item[\ref{il:10-7-2-1} $⇒$ \ref{il:10-7-2-2}] Sei $R$ ein lokaler Ring und $f
∈ R$ sei keine Einheit. Dann ist $(f) ≠ R$. Also ist $(f)$ in einem (dem
einen) maximalen Ideal enthalten und es ist $(f) ⊂ m$. Also ist $f ∈ m$.
\item[\ref{il:10-7-2-2} $⇒$ \ref{il:10-7-2-1}] Sei $I ⊊ R$ ein beliebiges
Ideal. Dann gilt für jedes Element $x ∈ I$, dass $x \not ∈ R^*$ (denn sonst
@ -829,11 +826,11 @@ bekommen.
\end{description}
\end{proof}
Wir enden mit dem brühmten ``Lemma von Nakayama''. Dies ist ein Kriterium, mit
Wir enden mit dem berühmten „Lemma von Nakayama“. Dies ist ein Kriterium, mit
dem man später in geometrisch relevanten Situationen zeigen kann, dass ein
gegebener Modul über einem lokalen Ring verschwindet. Über das Lemma von
Nakayama lässt sich viel sagen und viel schreiben, aber ich werde mich kurz
fassen denn ich will so schnell wie möglich zurück zur Geometrie.
Nakayama lässt sich viel sagen und viel schreiben, aber ich werde mich
kurzfassen, denn ich will so schnell wie möglich zurück zur Geometrie.
\begin{lem}[Lemma von Nakayama]
Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $m$. Weiter sei $M$ ein endlich