Update

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -64,3 +64,11 @@ Primideal
 Maximalitätsannahme
 Radikalideale
 Rabinowitsch
+Primidealen
+Reduzible
+Primideale
+prim
+Quotientenring
+Quotientenkörper
+nullteilerfrei
+Bloomington

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -10,3 +10,4 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer folgende Satz unterscheidet sich von der Vorabversion, die wir auf Seite satz:shn formuliert hatten, durch die Diskussion des algebraischen Abschlusses.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der algebraischen Geometrie leistete.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"}

04.tex

@@ -48,7 +48,7 @@ als einem Element.
   Integritätsringen verwendet.  Das kann man machen.  Wir beobachten, dass der
   Substitutionsmorphismus $A[X_1,…,X_n] \rightarrow B$ genau dann injektiv ist,
   wenn die zugehörende Abbildung $Q(A)[X_1,…,X_n] \rightarrow Q(B)$ injektiv
-  ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotenentenkörper bezeichnet.
+  ist, wobei $Q(•)$ wie immer den Quotientenkörper bezeichnet.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}

06.tex

@@ -15,8 +15,8 @@ vollständige Entsprechung zwischen den Objekten der geometrisch-anschaulichen
 und den Objekten der algebraisch-abstrakten Seite dieser Äquivalenz.  Ebenso hat
 jeder Satz der kommutativen Algebra eine entsprechende Formulierung als Satz der
 Geometrie.  Ich möchte in dieser Vorlesung aber nicht die theoretische Seite
-dieser Äquivalenz betonen, sondern Zug umd Zug ein ganz konkretes ``Wörterbuch
+dieser Äquivalenz betonen, sondern Zug um Zug ein ganz konkretes „Wörterbuch
-Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' entwickeln.
+Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“ entwickeln.
 
 \begin{bsp}
   Korollar~\ref{cor:5-2-6} liefert den ersten Eintrag.  Das Korollar zeigt
@@ -32,40 +32,39 @@ Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' entwickeln.
 \section{Reduzible und irreduzible Mengen}
 
 Den zweiten Eintrag in unserem Wörterbuch hatte ich in Beispiel~\ref{bsp:2-1-8}
-vorbereitet.  Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ besteht aus mehr als einer
+vorbereitet.  Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ besteht aus mehr als einer „Komponente“
-``Komponente'' (nämlich der $x$-Achse und der $y$-Achse) weil das zugehörende
+(nämlich der $x$-Achse und der $y$-Achse) weil das zugehörende Ideal $(x·y) ⊊
-Ideal $(x·y) ⊊ k[x,y]$ kein Primideal ist.  Das mathematisch korrekte Wort für
+k[x,y]$ kein Primideal ist.  Das mathematisch korrekte Wort für „besteht aus
-``besteht aus mehr als einer Komponente'' heißt ``reduzibel''.
+mehr als einer Komponente“ heißt „reduzibel“.
 
 \begin{defn}[Reduzible und irreduzible Mengen]
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
-  und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Wenn es eine Darstellung
+  und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Wenn es eine Darstellung $A
-  $A = A_1 ∪ A_2$ von $A$ als Vereinigung von zwei echten\footnote{Erinnerung:
+  = A_1 ∪ A_2$ von $A$ als Vereinigung von zwei echten\footnote{Erinnerung: Eine
-    Eine Teilmenge $B ⊆ A$ heißt ``echt'', wenn $B ≠ ∅$ und $B ≠ A$ ist.}
+  Teilmenge $B ⊆ A$ heißt „echt“, wenn $B ≠ ∅$ und $B ≠ A$ ist.} algebraischen
-  algebraischen Teilmengen gibt, dann nenne $A$
+  Teilmengen gibt, dann nenne $A$ \emph{reduzibel}\index{reduzibel}.  Ansonsten
-  \emph{reduzibel}\index{reduzibel}.  Ansonsten nenne $A$
+  nenne $A$ \emph{irreduzibel}\index{irreduzibel}.
-  \emph{irreduzibel}\index{irreduzibel}.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
   Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ ist reduzibel, weil es die echte Vereinigung der
-  algebraischen Teilmengen ``$x$-Achse'' und ``$y$-Achse'' ist.
+  algebraischen Teilmengen „$x$-Achse“ und „$y$-Achse“ ist.
 \end{bsp}
 
-Ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass der Begriff ``reduzibel'' sehr anschaulich
+Ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass der Begriff „reduzibel“ sehr anschaulich
 ist.  Ich hatte oben schon angedeutet: Die algebraische Entsprechung von
-``irreduzibler algebraischer Menge'' ist ``Primideal''.
+„irreduzibler algebraischer Menge“ ist „Primideal“.
 
 \begin{satz}[Irreduzible Mengen und Primideale]\label{satz:6-1-3}
   Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
   und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Dann gilt: Die algebraische
-  Menge $A$ ist genau dann irreduzibel, wenn $I(X) ⊂ k[x_1, …, x_n]$ ein
+  Menge $A$ ist genau dann irreduzibel, wenn $I(A) ⊂ k[x_1, …, x_n]$ ein
   Primideal ist.
 \end{satz}
-\begin{proof}[Beweis der Implikation ``irreduzibel $⇒$ Primideal'']
+\begin{proof}[Beweis der Implikation „irreduzibel $⇒$ Primideal“]
   \video{6-3}
 \end{proof}
-\begin{proof}[Beweis der Implikation ``Primideal $⇒$ irreduzibel'']
+\begin{proof}[Beweis der Implikation „Primideal $⇒$ irreduzibel“]
   \video{6-4}.
 \end{proof}
 
@@ -89,11 +88,12 @@ Menge zu beweisen.
 \end{bsp}
 
 \begin{bemerkung}
-  Bei Mengen, die ich zeichnen oder mir zumindest vorstellen kann, ist die Frage
+  Wenn ich eine Menge zeichnen (oder mir zumindest vorstellen) kann, dann kann
-  nach der Irreduzibilität meist sofort ``durch Draufschauen'' zu beantworten.
+  ich die Frage nach der Irreduzibilität meist sofort „durch Draufschauen“
-  Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel Mengen von
+  beantworten. Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel
-  hoher Dimension) schaut man dumm.  Tatsächlich ist es auch für den Algebraiker
+  Mengen von hoher Dimension) schaut man dumm.  Tatsächlich ist es auch für den
-  sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist oder nicht.
+  Algebraiker sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist
+  oder nicht.
 \end{bemerkung}
 
 
@@ -111,8 +111,8 @@ Wenn ich kurz einmal glaube, dass jede algebraische Menge auf eindeutige Weise
 als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt, dann muss dem auf
 der algebraischen Seite eine Aussage gegenüberstehen, die sagt, dass jedes
 Radikalideal eindeutig durch Primideale dargestellt werden kann --wobei wir uns
-jetzt erst noch überlegen müssen, was ``darstellen'' in diesem Kontext
+jetzt erst noch überlegen müssen, was „darstellen“ in diesem Kontext eigentlich
-eigentlich bedeuten soll.
+bedeuten soll.
 
 \begin{beobachtung}\label{beo:6-2-1}
   Gegeben eine algebraische Menge $X$, die ich als Vereinigung von endliche
@@ -136,9 +136,9 @@ eigentlich bedeuten soll.
 \end{beobachtung}
 
 Ich fasse den Inhalt von Beobachtung~\ref{beo:6-2-1} noch einmal informell
-zusammen: Die geometrische Aussage ``$X$ kann als Vereinigung von irreduziblen
+zusammen: Die geometrische Aussage „$X$ kann als Vereinigung von irreduziblen
-Mengen geschrieben werden'' ist also gleichbedeutend mit der algebraischen
+Mengen geschrieben werden“ ist also gleichbedeutend mit der algebraischen
-Aussage ``$I$ ist Durchschnitt von Primidealen''.  Die folgende Proposition
+Aussage „$I$ ist Durchschnitt von Primidealen“.  Die folgende Proposition
 formuliert den Sachverhalt noch einmal präzise und fügt unserem Wörterbuch eine
 besonders interessante Zeile hinzu.