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\chapter{Irreduzible Mengen und Durchschnitte von Primidealen}

Für algebraisch abgeschlossene Körper hatten wir im letzten Abschnitt mithilfe
der Abbildungen $V$ und $I$ eine Bijektion
\[
  \lbrace \text{algebraische Mengen} \rbrace \leftrightarrow \lbrace
  \text{Radikalideale} \rbrace
\]
konstruiert.  Ich hatte schon erwähnt, dass es sich hier um mehr als eine
Bijektion handelt, sondern um eine Äquivalenz von Kategorien.  Es gibt also eine
vollständige Entsprechung zwischen den Objekten der geometrisch-anschaulichen
und den Objekten der algebraisch-abstrakten Seite dieser Äquivalenz.  Ebenso hat
jeder Satz der kommutativen Algebra eine entsprechende Formulierung als Satz der
Geometrie.  Ich möchte in dieser Vorlesung aber nicht die theoretische Seite
dieser Äquivalenz betonen, sondern Zug umd Zug ein ganz konkretes ``Wörterbuch
Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie'' entwickeln.

\begin{bsp}
  Korollar~\ref{cor:5-2-6} liefert den ersten Eintrag.  Das Korollar zeigt
  nämlich, dass die Punkte des affinen Raumes $𝔸^•_k$ unter den Korrespondenzen
  $V$ und $I$ genau den maximalen Idealen des Polynomringes $k[x_1, …, x_•]$
  entsprechen.  Wir halten fest:
  \[
    \{ \text{Punkte} \} \leftrightarrow \{ \text{maximale Ideale} \}
  \]
\end{bsp}


\section{Reduzible und irreduzible Mengen}

Den zweiten Eintrag in unserem Wörterbuch hatte ich in Beispiel~\ref{bsp:2-1-8}
vorbereitet.  Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ besteht aus mehr als einer
``Komponente'' (nämlich der $x$-Achse und der $y$-Achse) weil das zugehörende
Ideal $(x·y) ⊊ k[x,y]$ kein Primideal ist.  Das mathematisch korrekte Wort für
``besteht aus mehr als einer Komponente'' heißt ``reduzibel''.

\begin{defn}[Reduzible und irreduzible Mengen]
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
  und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Wenn es eine Darstellung
  $A = A_1 ∪ A_2$ von $A$ als Vereinigung von zwei echten\footnote{Erinnerung:
    Eine Teilmenge $B ⊆ A$ heißt ``echt'', wenn $B ≠ ∅$ und $B ≠ A$ ist.}
  algebraischen Teilmengen gibt, dann nenne $A$
  \emph{reduzibel}\index{reduzibel}.  Ansonsten nenne $A$
  \emph{irreduzibel}\index{irreduzibel}.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Das Achsenkreuz im $𝔸²_k$ ist reduzibel, weil es die echte Vereinigung der
  algebraischen Teilmengen ``$x$-Achse'' und ``$y$-Achse'' ist.
\end{bsp}

Ich hoffe, Sie stimmen mir zu, dass der Begriff ``reduzibel'' sehr anschaulich
ist.  Ich hatte oben schon angedeutet: Die algebraische Entsprechung von
``irreduzibler algebraischer Menge'' ist ``Primideal''.

\begin{satz}[Irreduzible Mengen und Primideale]\label{satz:6-1-3}
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
  und es sei $A ⊂ 𝔸^n_k$ eine algebraische Menge.  Dann gilt: Die algebraische
  Menge $A$ ist genau dann irreduzibel, wenn $I(X) ⊂ k[x_1, …, x_n]$ ein
  Primideal ist.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis der Implikation ``irreduzibel $⇒$ Primideal'']
  \video{6-3}
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis der Implikation ``Primideal $⇒$ irreduzibel'']
  \video{6-4}.
\end{proof}

Satz~\ref{satz:6-1-3} fügt unserem Wörterbuch einen zweiten Eintrag hinzu:
\[
  \{ \text{irreduzible Mengen}\} \leftrightarrow \{\text{Primideale}\}.
\]
Der Satz kann uns auch dabei helfen, die Irreduzibilität einer algebraischen
Menge zu beweisen.

\begin{bsp}[Die Normalparabel ist irreduzibel]
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper; wir betrachten das Polynom
  $y-x² ∈ k[x,y]$.  Das Ideal $(y-x²)$ ist prim, weil der Quotientenring
  $k[X,Y]/(y-x²)$ isomorph zu $k[x]$ ist\footnote{Betrachten Sie die Abbildung
    $k[x] → k[x,y] → k[x,y]/(y-x²)$} und deshalb insbesondere nullteilerfrei.
  Aus Satz~\ref{satz:6-1-3} folgt dann, dass die Normalparabel
  \[
    \bigl\{ (x,y) ∈ 𝔸²_k \::\: x²=y \bigr\}
  \]
  eine irreduzible algebraische Menge ist.
\end{bsp}

\begin{bemerkung}
  Bei Mengen, die ich zeichnen oder mir zumindest vorstellen kann, ist die Frage
  nach der Irreduzibilität meist sofort ``durch Draufschauen'' zu beantworten.
  Bei Mengen, die nicht so leicht vorzustellen sind (zum Beispiel Mengen von
  hoher Dimension) schaut man dumm.  Tatsächlich ist es auch für den Algebraiker
  sehr schwer, zu entscheiden, ob ein gegebenes Ideal jetzt prim ist oder nicht.
\end{bemerkung}


\section{Zerlegung in irreduzible Komponenten}

Anschaulich ist völlig klar, dass sich jede algebraische Menge auf eindeutige
Weise als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt: Das
Achsenkreuz besteht aus der $x$-Achse und der $y$-Achse.  Wir werden dies im
Folgenden kurz beweisen.


\subsection{Algebraische Bedeutung der Zerlegung}

Wenn ich kurz einmal glaube, dass jede algebraische Menge auf eindeutige Weise
als echte Vereinigung von irreduziblen Mengen schreiben lässt, dann muss dem auf
der algebraischen Seite eine Aussage gegenüberstehen, die sagt, dass jedes
Radikalideal eindeutig durch Primideale dargestellt werden kann --wobei wir uns
jetzt erst noch überlegen müssen, was ``darstellen'' in diesem Kontext
eigentlich bedeuten soll.

\begin{beobachtung}\label{beo:6-2-1}
  Gegeben eine algebraische Menge $X$, die ich als Vereinigung von endliche
  vielen irreduziblen algebraischen Mengen schreiben kann, $X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_a$.
  Wir betrachten das Radikalideal $I := I(X)$ und die Primideale
  $I_• := I(X_•)$.  Satz~\vref{satz:5-3-2} gibt uns in dieser Situation die
  Gleichungen
  \begin{equation}\label{eq:6-2-1-1}
    V(I) = V( I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a ).
  \end{equation}
  Ich beobachte, dass der Durchschnitt $I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a$ selbst ein Radikalideal
  ist.  Das ist cool, denn ich erinnere mich daran, dass die Abbildung
  \[
    V : \{ \text{Radikalideale} \} → \{ \text{algebraische Mengen} \}
  \]
  bijektiv, also insbesondere injektiv ist.  Wir erhalten also eine Gleichheit
  von Idealen,
  \[
    I = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_a.
  \]
\end{beobachtung}

Ich fasse den Inhalt von Beobachtung~\ref{beo:6-2-1} noch einmal informell
zusammen: Die geometrische Aussage ``$X$ kann als Vereinigung von irreduziblen
Mengen geschrieben werden'' ist also gleichbedeutend mit der algebraischen
Aussage ``$I$ ist Durchschnitt von Primidealen''.  Die folgende Proposition
formuliert den Sachverhalt noch einmal präzise und fügt unserem Wörterbuch eine
besonders interessante Zeile hinzu.

\begin{prop}[Algebraische Bedeutung der Zerlegung in irreduzible Komponenten]\label{prop:ziic}
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $n ∈ ℕ$ eine
  Zahl.  Dann sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend.
  \begin{itemize}
  \item Jede algebraische Teilmenge des $𝔸^n_k$ kann auf eindeutige Weise als
    echte Vereinigung von irreduziblen algebraischen Mengen geschrieben werden.
    
  \item Jedes Radikalideal im Ring $k[x_1, …, x_n]$ kann auf eindeutige Weise
    als echter Durchschnitt von Primidealen geschrieben werden.  \qed
  \end{itemize}
\end{prop}

Wenn Sie sich bei Proposition~\ref{prop:ziic} an die Aussage erinnert fühlen,
dass jede Zahl auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben
werden kann, liegen Sie natürlich völlig richtig.


\subsection{Existenz und Eindeutigkeit von Zerlegungen}

\sideremark{Vorlesung 7}Um den Abschnitt abzuschließen, muss ich noch zeigen,
dass eine Zerlegung tatsächlich existiert.

\begin{satz}[Existenz und Eindeutigkeit von Zerlegung in irreduzible Komponenten]\label{satz:6-2-3}
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es $X ⊆ 𝔸_k^n$ eine
  algebraische Teilmenge.  Dann existiert eine Darstellung von $X$ als
  Vereinigung von irreduziblen algebraischen Teilmengen,
  \[
    X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r
  \]
  wobei zusätzlich für alle Indizes $i ≠ j$ die Bedingung $X_i ⊄ X_j$ gilt.  Die
  Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge.
\end{satz}

\begin{notation}[Irreduzible Komponenten einer algebraischen Menge]
  In der Situation von Satz~\ref{satz:6-2-3} werden die $X_•$ als die
  \emph{irreduziblen Komponenten von $X$}\index{irreduzible Komponente einer
    algebraischen Menge} bezeichnet.
\end{notation}

Der Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3} kommt gleich.  Zuerst benötige ich noch
einige Vorüberlegungen.

\begin{lem}[Existenz minimaler Mengen]
  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
  und es sei
  \[
    X ⊆ \mathcal{P}(𝔸^n_k)
  \]
  eine nicht-leere Menge von algebraischen Mengen des $𝔸^n_k$.  Dann besitzt $X$
  ein Element, das minimales bezüglich Inklusion minimal ist.
\end{lem}
\begin{proof}
  Nach dem \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn}{Lemma von
    Zorn}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Max
      August Zorn} (* 6.  Juni 1906 in Krefeld; † 9.  März 1993 in Bloomington,
    Indiana, USA) war ein US-amerikanischer Professor der Mathematik deutscher
    Abstammung.} genügt es zu zeigen, dass jede absteigende Kette
  \[
    X_1 ⊇ X_2 ⊇ ⋯
  \]
  von algebraischen Mengen stationär wird.  Mit anderen Worten:
  \[
    ∃ m ∈ ℕ: X_m = X_{m+1} = X_{m+2} = ⋯
  \]
  gilt.  Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(X_1) ⊆ I(X_2) ⊆ ⋯$.
  Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär.
  Mit anderen Worten:
  \[
    ∃ m ∈ ℕ: I(X_m) = I(X_{m+1}) = I(X_{m+2}) = ⋯.
  \]
  Weil die Abbildungen $I$ und $V$ bijektiv sind, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{lem}
  Sei $X=X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r$ irgendeine Darstellung von $X$ als Vereinigung von
  endlich vielen irreduziblen algebraischen Mengen.  Sei $p ⊇ I(X)$ irgendein
  Primideal.  Dann gibt es einen Index $i$, sodass $p ⊇ I(X_i)$ ist.
\end{lem}
\begin{proof}
  Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es für jeden Index $i$
  ein Element $f_i ∈ I(X_i)∖p$ gibt.  Dann gilt für das Produkt dieser Elemente
  die Inklusion
  \[
    f_1 ⋯ f_r ∈ \bigcap_{i = 1}^r I(X_i) = I(X) ⊆ p.
  \]
  Kurz: das Produkt der Elemente $f_•$ (die alle nicht in $p$ liegen), liegt in
  $p$.  Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $p$ ein Primideal ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3}, Existenz von Zerlegungen]
  \video{7-1}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3}, Eindeutigkeit von Zerlegungen]
  \video{7-2}
\end{proof}

Wenn Sie sich den Beweis für die Existenz von Zerlegungen anschauen, werden Sie
sehen: der tiefere Grund für die Existenz ist der
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Basissatz}{Hilbertsche
  Basissatz}, nach dem der Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist.  Diese
Interpretation der Noether-Eigenschaft ist vielleicht wieder einen Eintrag in
unser Wörterbuch wert.  Tabelle~\ref{tab:6-1} fasst die Ergebnisse dieses
Kapitels zusammen.

\begin{table}
  \centering

  \begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}}
    \rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\
    Radikalideale & algebraische Mengen \\
    maximale Ideale & Punkte \\
    Primideale & irreduzible Mengen \\
    Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen & Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten \\
    Noether-Eigenschaft des Polynomrings & Existenz von Zerlegungen
  \end{tabular}

  \caption{Wörterbuch: algebraische Teilmengen des affinen Raums}
  \label{tab:6-1}
\end{table}



%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End:
