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\selectlanguage{german}
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\chapter{Anwendungen der Laurentreihenentwicklung}
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\section{Charakterisierung von Singularitäten}
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Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:9} drei Typen von isolierten Singularitäten
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definiert. Mithilfe der Laurentreihenentwicklung können wir diese Typen jetzt
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charakterisieren.
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\begin{beobachtung}[Holomorphe Funktionen mit Singularitäten]\label{beo:9-2-10}%
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Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
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Singularitäten auf $U$. Es sei $T ⊂ U$ die Menge der Singularitäten und sei
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$ρ ∈ T$ sei eine der isolierte Singularitäten. Um das Verhalten von $f$ bei
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$ρ$ zu verstehen, entwickle $f$ bei $ρ$ in eine Laurentreihe. Genauer: wähle
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eine Zahl $ε > 0$, sodass $ρ$ die einzige Singularität von $f$ in der
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Kreisscheibe $B_{ε}(ρ)$ ist, also
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\[
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B_{ε}(p) ∩ T = \{ρ\}.
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\]
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Betrachte dann den Kreisring
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\[
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K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: \frac{ε}{2} < |z - ρ| < ε \}.
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\]
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Nach Satz~\ref{satz:9-2-8} („Laurentreihenentwicklung“) gibt es eine auf
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$K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe $\sum c_i
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(z - p)ⁱ$, deren Grenzfunktion auf $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ mit $f$
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übereinstimmt. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine hebbare Singularität von $f$, wenn
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der Hauptteil gleich null ist.
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\item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine Polstelle von $f$, wenn der
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Hauptteil nur endlich viele Summanden hat.
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\item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine wesentliche Singularität von $f$,
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wenn der Hauptteil unendlich viele Summanden hat.
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\end{enumerate}
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\end{beobachtung}
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\begin{bsp}[Funktion mit wesentlicher Singularität]\label{bsp:9-2-11}%
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Die Funktion
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\[
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f : ℂ ∖ \{0\} → ℂ, \quad z ↦ \exp\left(\frac{1}{z}\right)
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\]
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ist durch die Laurentreihe
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\[
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f(z) = \sum_{k=-∞}⁰ \frac{1}{|k|!} z^k
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\]
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gegeben und hat deshalb in $0$ eine wesentliche Singularität.
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\end{bsp}
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\section{Automorphismen der komplexen Ebene}
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Ähnlich wie im Abschnitt~\ref{sec:7-3} möchte ich die Stärke der
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funktionentheoretischen Methoden demonstrieren, indem ich die Automorphismen der
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komplexen Ebene bestimme.
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\begin{frage}
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Was sind die biholomorphen Selbstabbildungen $ℂ → ℂ$?
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\end{frage}
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Einige Beispiele und Nicht-Beispiele sind und bereits bekannt.
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\begin{bsp}[Affin-lineare Abbildungen]
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Für alle $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$ ist die Abbildung
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\[
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f : ℂ → ℂ, \quad z ↦ az + b
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\]
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biholomorph.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}[Komposition mit Translationen]\label{beob:9-3-3}%
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Gegeben irgendeine biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$, so ist die Abbildung
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\[
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f - f(0) : ℂ → ℂ
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\]
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ebenfalls biholomorph und bildet die Null auf null ab.
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\end{beobachtung}
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\begin{bsp}[Polynome höheren Grades]
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Polynome vom Grad $≥ 2$ sind ganz bestimmt keine Automorphismen, denn jedes
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Polynom $f ∈ ℂ[z]$ zerfällt in Linearfaktoren
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\[
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f(z) = λ (z - a_1)(z - a_2) ⋯ (z - a_n).
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\]
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\begin{itemize}
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\item Wenn zwei der $a_•$ gleich sind, dann hat $f$ eine mehrfache
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Nullstelle. Die Ableitung $f'$ verschwindet dort. Aber biholomorphe
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Abbildungen haben nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit nirgends
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eine verschwindende Ableitung.
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\item Wenn alle $a_•$ verschieden sind, dann hat $f$ mindestens zwei
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verschiedene Nullstellen. Also ist $f$ nicht injektiv.
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\end{itemize}
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden]\label{bsp:9-3-5}%
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Ich behaupte, dass Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden ebenfalls
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\emph{keine} Automorphismen der komplexen Ebene sind. Dazu führe ich einen
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Widerspruchsbeweis. Angenommen, es gäbe einen Automorphismus $f : ℂ → ℂ$ der
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durch eine Potenzreihe
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\[
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f(z) = \sum a_i zⁱ
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\]
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mit unendlich vielen Summanden gegeben ist. Nach Beobachtung~\ref{beob:9-3-3}
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können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $a_0 = 0$ ist, also $f(0) = 0$.
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Insbesondere bildet $f$ die Menge $ℂ^*$ biholomorph auf sich selbst ab.
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Aber: die Menge $ℂ^*$ hat einen interessanten Automorphismus, nämlich
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\[
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j : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ z^{-1}.
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\]
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Die Abbildung $f ◦ j : ℂ^* → ℂ^*$ ist dann auch holomorph und bijektiv, und
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kann als holomorphe Funktion mit Pol bei $0$ aufgefasst werden. Die
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Laurentreihe von $f ◦ j$ ergibt sich sehr einfach aus der Laurentreihe von
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$f$,
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\[
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f ◦ j = \sum a_i z^{-i}.
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\]
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Ich stelle fest: Der Hauptteil dieser Laurentreihe hat unendlich viele
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Summanden. Wie ist in Beobachtung~\ref{beo:9-2-10} gesehen haben, bedeutet
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das Folgendes: wenn ich $f ◦ j$ als Funktion mit isolierter Singularität
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auffasse, dann hat $f ◦ j$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität.
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Ich behaupte, dass $f ◦ j$ dann aber nicht bijektiv sein kann. Betrachte dazu
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die Kreisscheibe $B_{1/2}(1) ⊂ ℂ^*$. Wir wissen, dass die Bildmenge $(f ◦ j)
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\left(B_{1/2}(0)\right)$ eine offene Teilmenge von $ℂ^*$ ist.
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Es gilt aber auch noch Satz~\ref{satz:9-1-casorati-weierstrass}
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(„Casorati-Weierstraß“). Demnach ist die Bildmenge
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\[
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(f ◦ j) \left(B_{1/2}(0) ∖ \{0\}\right) ⊆ ℂ
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\]
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dicht, schneidet also $(f ◦ j) \left(B_{1/2}(0)\right)$ in mindestens einem
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Punkt. Dieser Punkt hat demnach zwei Urbilder, nämlich eines in $B_{1/2}(1)$
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und eines $B_{1/2}(0) ∖ \{0\}$. Also ist $f ◦ j$ tatsächlich nicht injektiv!
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\end{bsp}
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\begin{bemerkung}
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Die Argumentation aus Beispiel~\ref{bsp:9-3-5} zeigt in Wirklichkeit, dass
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holomorphe Funktionen mit essenziellen Singularitäten niemals injektiv sind.
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\end{bemerkung}
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In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.
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\begin{satz}[Automorphismen der komplexen Ebene]\label{satz:9-3-6}%
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Jede biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$ ist von der Form
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\[
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f(z) = az + b
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\]
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für gewisse $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$. \qed
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\end{satz}
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\section{Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten}
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\sideremark{Vorlesung 14}
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\begin{frage}[Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten, vereinfachte Fragestellung]\label{fr:11-3-1}%
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Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene und diskrete Teilmenge. Gibt es eine Funktion
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$f ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$, sodass $f$ in jedem Punkt von $P$ einen Pol oder eine
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wesentliche Singularität hat?
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\end{frage}
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\begin{bemerkung}[Naiver Ansatz]
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Wenn die Menge $P$ aus Frage~\ref{fr:11-3-1} endlich ist, ist das alles kein
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Hexenwerk. Wir können zum Beispiel die Funktion
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\[
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f(z) = \sum_{p ∈ P} \frac{1}{z-p} \quad \text{oder} \quad f(z) = \sum_{p ∈ P} \exp\left(\frac{1}{z-p}\right) \quad \text{oder} \quad \dots
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\]
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nehmen. Aber was, wenn die Menge $P$ unendlich ist? Kann man dann unendliche
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Summen nehmen? Wie garantieren wir deren Konvergenz?
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\end{bemerkung}
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Der folgende Satz beantwortet Frage~\ref{fr:11-3-1} vollständig. Der Satz
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erlaubt sogar, die Hauptteile der $f$ für jeden Punkt $p ∈ P$ einen vorzugeben.
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\begin{satz}[Mittag-Leffler\footnote{Magnus Gösta Mittag-Leffler, genannt Gösta,
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(* 16.~März 1846 in Stockholm; † 7.~Juli 1927 in Djursholm[1]) war ein
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schwedischer Mathematiker, der sich vor allem mit Analysis
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beschäftigte.}]\label{satz:mittag-leffler}%
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\index{Satz von Mittag-Leffler}Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene, diskrete
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Teilmenge. Für jedes $p ∈ P$ sei eine Laurentreihe $f_p$ mit
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Entwicklungspunkt $p$ gegeben, die auf $K_{0,∞}(p) = ℂ ∖ \{p\}$ konvergiert.
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Dann gibt es eine Funktion $f ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$, sodass für jeden Punkt $p ∈ P$
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gilt: Die Laurententwicklung von $f$ am Punkt $p$ hat denselben Hauptteil wie
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die Laurentreihe $f_p$.
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\end{satz}
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\begin{bemerkung}
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Satz~\ref{satz:mittag-leffler} ist nicht optimal. Es gibt allgemeinere
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Versionen, bei denen zum Beispiel statt $ℂ$ nur durch eine offene Menge $U ⊆
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ℂ$ betrachtet wird.
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}
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Falls die Menge $P$ endlich ist, so können wir einfach $f(z) = \sum_{p ∈ P}
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f_p(z)$ nehmen. Im Folgenden nehmen wir also ohne Beschränkung der
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Allgemeinheit an, dass die Menge $P$ unendlich ist. Der Einfachheit halber
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nehmen wir zusätzlich noch an, dass die Menge $P$ den Nullpunkt nicht enthält.
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Um die Notation zu vereinfachen, schreiben wir für jeden Punkt $p ∈ P$ die
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$h_p$ für den Hauptteil der Laurentreihe $f_p$. Dies ist eine Laurentreihe
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mit trivialem Nebenteil, die auf ganz $ℂ ∖ \{p\}$ konvergiert.
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\paragraph*{Schritt 1}
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Um das Problem von Mittag-Leffler auf den endlichen Fall zurückzuführen,
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beachte, dass für jede kompakte Menge $K ⊂ ℂ$ nur endlich viele $p ∈ P$ in $K$
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liegen. Dies gilt, weil die Menge $P$ diskret ist. Wir nutzen dies, und
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zerlegen die Menge $P$ in Teilmengen der Form wie folgt.
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\begin{center}
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\includegraphics[width=8cm]{10-mittagLeffler.png}
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\end{center}
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Gegeben eine natürliche Zahl $n ∈ ℕ$, dann ist die Summe der Hauptteile,
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\[
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S_n := \sum_{n ≤ |p| < n+1} h_p,
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\]
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eine endliche Summe von Laurentreihen\footnote{Wobei $h_p$ jeweils auf ganz $ℂ
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∖ \{p\}$ konvergiert} und deshalb selbst eine Laurentreihe die auf ganz
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\[
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ℂ ∖ \{ p ∈ P \::\: n ≤ |p| < n+1\}
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\]
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konvergiert. Wir erhalten also eine Funktion, die wir (nicht ganz korrekt)
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wieder mit $S_n$ bezeichnen,
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\[
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S_n : \underbrace{ℂ ∖ \{ p ∈ P \::\: n ≤ |p| < n+1\}}_{\text{enthält die gesamte offene Kreisscheibe }B_n(0)} → ℂ.
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\]
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\paragraph*{Schritt 2}
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Beachte, dass die Funktion $S_n$ auf der Kreisscheibe $B_n(0)$ holomorph ist,
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weil dort keine der Singularitäten liegen. Wir können die Funktion $S_n$
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deshalb am Nullpunkt in eine Potenzreihe entwickeln, deren Konvergenzradius
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mindestens $n$ ist. Aufgrund der lokal gleichmäßigen Konvergenz dieser
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Potenzreihe wird die Folge der Partialsummen auf der kompakten Kreisscheibe
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$\overline{B_{n-1}(0)}$ gleichmäßig gegen $S_n$ konvergieren. Wir finden also
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für jedes $n ≥ 1$ ein Polynom $Q_n$, sodass
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\begin{equation}\label{eq:11-3-4-1}%
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\forall z ∈ B_{n-1}(0) : |S_n(z) - Q_n(z)| ≤ 2^{-n}
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\end{equation}
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gilt.
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\paragraph*{Schritt 3}
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Definiere jetzt die Funktionenfolge
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\[
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f_m : ℂ ∖ P → ℂ, \quad z ↦ \sum_{n=1}^m (S_n(z) - Q_n(z)).
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\]
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Damit gilt schon einmal Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:11-3-4-1} Für jedes $m$ ist die Funktion $f_m$ auf $ℂ ∖ P$
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holomorph, weil sie als endliche Summe von holomorphen Funktionen
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dargestellt ist.
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\item\label{il:11-3-4-2} Für jeden Punkt $p ∈ P$ und jedes $m > |p|$ hat die
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Funktion $f_m$ bei $p$ denselben Hauptteil wie die Laurentreihe $f_p$,
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weil die Polynome $Q_n$ nichts an den Hauptteilen in $p ∈ P$ ändern.
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\end{enumerate}
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Falls wir zeigen können, dass die Funktionenfolge $f_m$ auf $ℂ ∖ P$ lokal
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gleichmäßig gegen eine Funktion $f$ konvergiert, sind wir fertig. Der Grund
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ist der Folgende.
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\begin{enumerate}
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\item Als Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergierenden Folge
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holomorpher Funktionen ist $f$ nach
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Proposition~\vref{prop:potenzreihe-holomorph} wieder holomorph.
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\item Nach \ref{il:11-3-4-2} und Korollar~\ref{kor:10-2-7} hat die
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Laurentreihe von $f$ bei jedem Punkt $p ∈ P$ hat denselben Hauptteil wie
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die Laurentreihe $f_p$.
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\end{enumerate}
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\paragraph*{Schritt 4}
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Um die lokal gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, sei ein Punkt $z_0 ∈ ℂ ∖ P$
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gegeben. Wir müssen eine Umgebung dieses Punktes finden, auf der die Folge
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$f_m$ gleichmäßig konvergiert. Wähle dazu eine Zahl $n ∈ ℕ$ mit $n > |z_0|$
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und betrachte die Umgebung $B_n(z_0) ∖ P$. Für jedes $z ∈ B_n(z_0) ∖ P$ gilt
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dann:
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\begin{align*}
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|f(z) - f_m(z)| &= \left| \sum_{n=m+1}^∞ (S_n(z) - Q_n(z)) \right| \\
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& ≤ \sum_{n=m+1}^∞ |S_n(z) - Q_n(z)| && \text{Dreiecks-Ungleichung} \\
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& ≤ \sum_{n=m+1}^∞ 2^{-n} && \text{\eqref{eq:11-3-4-1}} \\
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& = 2 - \frac{1-(\frac{1}{2})^{m+1}}{1-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{m+1}.
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\end{align*}
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Damit ist die gleichmäßige Konvergenz von $f_m$ auf $B_n(z_0) ∖ P$ gezeigt.
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\end{proof}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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