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\chapter{Anwendungen des Residuensatzes}
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\section{Zählen von Null- und Polstellen}
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\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
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\begin{itemize}
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\item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
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diskrete Teilmenge.
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\item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
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Singularitäten. Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
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keine essenziellen Singularitäten hat. Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
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$ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
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bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.
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\item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
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$f$.
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\item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
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\end{itemize}
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\end{situation}
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\begin{bemerkung}
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In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
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gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
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In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
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Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
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ungleich null sind. Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
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Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
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Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
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In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
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\[
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\Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
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\]
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Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
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auf der rechten Seite ungleich null sind.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Es gilt
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\begin{align*}
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\Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
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& = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
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& = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
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\end{align*}
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Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
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Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
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französischer Mathematiker. }]\label{kor:12-5-2}%
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\index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
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abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
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gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
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\begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
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|f(z)| > |g(z)|
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\end{equation}
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gilt. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
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im Inneren von $K$.
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\item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
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gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
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\end{enumerate}
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
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t·g(z)$. Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
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[0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
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\[
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h_t(z)
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\]
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gilt. Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen. Als Nächstes betrachte
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\[
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N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
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\]
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Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
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stetig ist. Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
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$t ∈ [0,1]$ die Gleichung
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\[
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N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
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\]
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Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant. Somit gilt insbesondere
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$N(0) = N(1)$.
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\end{proof}
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\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
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Wir behaupten, dass die Funktion
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\[
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\frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
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\]
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in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat. Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
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\frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
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Ungleichung
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\[
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|f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
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\]
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gilt. Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
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\end{bsp}
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\section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}
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\begin{satz}[Weierstraß]
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\index{Satz von Weierstraß}Sei $P \subset \bC$ eine diskrete und
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abgeschlossene Menge und $n : P \to \bN$ eine beliebige Abbildung. Dann
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existiert eine Funktion $f \in \sO(\bC)$, sodass folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.
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\item Für jedes $p \in P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
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der Ordnung $n(p)$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}
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Es sei $f \in \sO(\bC)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p \in \bC$ eine
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Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt. Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
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sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
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\begin{align}
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f(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i (z-p)^i \\
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f'(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
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f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{\infty} \cdots \\
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\label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
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\end{align}
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\subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}
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Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden. Sei also
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$g \in \sO(\bC \setminus P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p
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\in P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist. Das Ziel ist jetzt, aus der
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Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
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\begin{erinnerung}
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Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in $\bC
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\setminus P$ gilt:
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\[
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\int_\gamma g(z) \, dz = 2\pi i \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) · n(p).
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\]
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Da $n(p) \in \bZ$ für alle $p \in P$ gilt, ist das Integral auf der linken
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Seite also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$, liegt also im Kern
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der Exponentialfunktion $\exp : \bC \to \bC^*$.
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\end{erinnerung}
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Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q \in \bC
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\setminus P$ und wähle für jedes $w \in \bC \setminus P$ einen Weg $\gamma_w$
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von $q$ nach $w$. Dann definiere die Funktion
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\[
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f : \bC \setminus P \to \bC^*, \quad w \mapsto \exp \left(\int_{\gamma_w} g(z) \, dz\right).
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\]
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Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
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$\gamma_w$ ist.
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\begin{beobachtung}
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Die Funktion $f$ ist auf $\bC \setminus P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.
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\qed
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}
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Die Funktion $f$ hat auf $\bC \setminus P$ keine Nullstelle, weil die
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Exponentialfunktion keine Nullstelle hat. \qed
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
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Auf $\bC \setminus P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
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\end{beobachtung}
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Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p \in P$ eine hebbare
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Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
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$n(p)$ besitzt. Sei also ein Punkt $p \in P$ gegeben. Wähle eine kleine
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Kreisscheibe $B_\varepsilon(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$
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enthält. Nach Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf
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$B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die Gleichung
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\[
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\frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
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\]
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wobei $h \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine holomorphe Funktion ist. Äquivalent:
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Die Funktion $f$ erfüllt auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die
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Differentialgleichung
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\[
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f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
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\]
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Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
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Genauer: Wenn $H \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann
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sind alle Lösungen der Differentialgleichung auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$
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gegeben durch
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\[
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\text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
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\]
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Die Funktion $f|_{B_\varepsilon(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei
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$p$ eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist
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der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
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\section{Integration}
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\subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
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Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich
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skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.
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Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
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\item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
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b \ge \deg a + 2$.
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\end{enumerate}
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und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole. Dann kann man den Residuensatz
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anwenden, um das uneigentliche Integral
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\[
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\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
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\]
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zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r \in \bR⁺$ hinreichend groß ist,
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dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$. Sei
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$\gamma_r$ der folgende geschlossene Weg:
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\begin{itemize}
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\item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
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\item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 \leq t \leq \pi\}$ von
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$r$ nach $-r$ zurück.
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\end{itemize}
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Dann hängt das Integral über $\gamma_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz
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\[
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\int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
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\]
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da das Integral über den oberen Halbkreis für $r \to \infty$ verschwindet.
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\begin{rem}[Variante]
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Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und mit $\deg b > \deg a$.
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Dann existieren die Grenzwerte
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\[
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\lim_{r \to \infty} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
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\lim_{r \to \infty} \int_{-r}^0 f(x)e^{ix}\,dx,
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\]
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und
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\[
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\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ix}\,dx = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
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\]
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\end{rem}
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\begin{rem}[Fourier-Transformierte]
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Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.
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Dann existiert für alle $y \in \bR$ das Integral
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\[
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\widehat{f}(y) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy}\,dx,
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\]
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die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.
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Mit der Substitution $u = x y$ ergibt sich
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\[
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\widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
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\]
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Dieses Integral lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
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\end{rem}
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\part{Weiterführende Themen}
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\chapter{Harmonische Funktionen}
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In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig \emph{harmonische Funktionen} auf.
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\begin{definition}
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Sei $U \subset \bR^2$ offen.
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Eine stetige Funktion $f : U \to \bR$ heißt \emph{harmonisch}, wenn für jede Kreisscheibe $B_r(p) \subset U$ gilt:
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\[
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f(p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(p + e^{it})\,dt.
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\]
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Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am Rand der Kreisscheibe.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch
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\emph{(vgl. Mittelwertsatz der Funktionentheorie)}.
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\end{bsp}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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