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\chapter{Integration über stetig differenzierbare Wege}
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\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}
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In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Intervall.
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Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.
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\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}%
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Gegeben eine stetige Abbildung $f : [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
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\[
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\int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n
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\]
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durch komponentenweise Integration. Wenn $f$ differenzierbar ist, dann
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definiert man
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\[
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f' : [a,b] → ℝ^n
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\]
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durch komponentenweise Differentiation.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
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Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
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$V$, um $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ und
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$f'$ mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das
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Ergebnis jeweils nicht von der Wahl der Basis abhängt.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Es ist
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\[
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\int_0^{2π} \exp(i · t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2π} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2π} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 ∈ ℂ.
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\]
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\end{bsp}
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Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
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\begin{prop}
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item Für jedes $c ∈ (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt +
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\int_c^b f(t) \, dt$.
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\item Wenn $W$ reell-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum ist und $φ: V → W$ linear,
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dann ist
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\[
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\int_a^b (φ ◦ f)(t) \, dt = φ \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
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\]
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\item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
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(b-a) · \vec{v}$
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\item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| ≤
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\int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
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\end{enumerate}
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\end{prop}
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Wir erinnern uns an Analysis I: Integration ist einfach, wenn ich eine
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Stammfunktion habe.
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\begin{definition}[Stammfunktionen]\label{def:3-1-5}%
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
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Stammfunktion\index{Stammfunktion!von Funktion auf $ℝ$} von $f$, falls $F$
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differenzierbar ist und die Gleichung $F' = f$ gilt.
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\end{definition}
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Achtung! Wir werden im Abschnitt~\vref{sec:3-3} noch einen weiteren Begriff von
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Stammfunktion einführen, für komplexe Ableitungen von Funktionen auf $ℂ$. Bitte
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diese Begriffe nicht verwechseln!
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\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig. Dann ist
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\[
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F: [a,b] → V, \quad t ↦ \int_a^t f(u) \, du
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\]
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eine Stammfunktion \qed
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\end{satz}
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\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
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Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
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\end{satz}
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\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
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\[
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\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed
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\]
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\end{satz}
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\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
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Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
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\[
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||
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \eqno\qed
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\]
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\end{satz}
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\sideremark{Vorlesung 4}
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\begin{bsp}[Integrale und Stammfunktionen]
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Durch die Formel $\frac{1}{i} \exp(it)$ ist eine Stammfunktion von $\exp(it)$
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gegeben. Also ist
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\[
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\int_0^{2π} \exp(it) \, dt = \frac{1}{i} \left( \exp(2πi) - \exp(2πi · 0) \right) = 0.
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\]
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\end{bsp}
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\subsection{Rechenregeln zur Integration}
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\begin{satz}[Substitution]\label{satz:substitution}%
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Es sei $[α,β] ⊂ ℝ$ nicht leer und kompakt, es sei $f: [a,b] → V$ stetig und
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$γ: [α,β] → [a,b]$ sei differenzierbar. Dann ist
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\[
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\int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds.
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\]
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Beachte dabei: Für gegebenes $s$ ist $f(γ(s))$ ein Vektor, und $γ'(s)$ ist
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eine reelle Zahl. Das Produkt $f(γ(s)) · γ'(s)$ ist die skalare
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Multiplikation, die man traditionell eigentlich immer in anderer Reihenfolge
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schreibt, mit dem Skalar links und dem Vektor rechts. \qed
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\end{satz}
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\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}\label{satz:3-1-12}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von
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holomorphen Funktionen. Falls die Abbildung
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\[
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f: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ f_t(z)
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\]
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und
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\[
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\frac{∂f}{∂z}: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ \frac{∂f_t}{∂z}(z)
|
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\]
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beide stetig sind, dann ist die Abbildung
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\[
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F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_0^b f_t(z) \, dt
|
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\]
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holomorph und
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\[
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\frac{dF}{dz}(z) = \int_0^b \frac{∂f_t}{∂z}(z) \, dt. \eqno\qed
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\]
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\end{satz}
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\begin{satz}[Hausaufgabe]
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Partielle Integration funktioniert so, wie man denkt.
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\end{satz}
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\begin{satz}[Hausaufgabe]
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||
Partialbruchzerlegung funktioniert so, wie man denkt:
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\[
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\frac{1}{1 + x²} = \frac{i/2}{x+i} + \frac{-i/2}{x-i}.
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\]
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\end{satz}
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\section{Wegintegrale}
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\begin{definition}[Wegintegrale]\label{def:3-2-1}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph. Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
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stetig differenzierbarer Weg. Dann definiert man das
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\emph{Wegintegral}\index{Wegintegral!für stetig differenzierbare Wege} als
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\[
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\int_γ f(z) \, dz := \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt.
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\]
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}\label{bem:3-2-2}
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Wir werden späten, in Definition~\vref{def:4-1-5} den Begriff des Wegintegrals
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so erweitern, dass wir auch über stetige Wege integrieren können. Bis dahin
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bitte ich um Geduld.
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\end{bemerkung}
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\begin{bsp}[Integration von $z^n$ über den Rand des Einheitskreises]\label{bsp:3-2-2}%
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Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$. Weiter betrachten wir den Weg
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\[
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γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
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\]
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der einen Kreis mit Radius $r$ um den Nullpunkt beschreibt. Dann ist
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\begin{align*}
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\int_γ f(z) \, dz &= \int_0^{2π} \left[ r · \exp(it) \right]^n · ri · \exp(it) \, dt \\
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&= i · \int_0^{2π} r^{n+1} · \exp\bigl((n+1)it\bigr) \, dt \\
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||
&= \begin{cases}
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0 & \text{falls } n ≠ -1 \\
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2πi & \text{falls } n = -1.
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\end{cases}
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\end{align*}
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\end{bsp}
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\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wege]
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Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege
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zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$
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stückweise stetig differenzierbar. Dann definiert man
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\[
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\int_γ f(z) \, dz
|
||
\]
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als Summe der Integrale über die (endlich vielen) stetig differenzierbaren
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Teilwege.
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\end{erg}
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\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}
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\begin{prop}[Umkehrung des Weges]
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In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
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derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
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Dann ist
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\[
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||
\int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz. \eqno\qed
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\]
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\end{prop}
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\begin{prop}[Unabhängigkeit von der Parametrisierung]
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||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $δ : [c, d] → [a,b]$
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||
stetig differenzierbar mit $δ(c) = a$ und $δ(d) = b$. Dann ist
|
||
\[
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||
\int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz = \int_γ f(z) \, dz.
|
||
\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Um die Notation zu entwickeln, schreibe
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\[
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φ: [a,b] → ℂ, \quad φ(t) = f(γ(t)) · γ'(t).
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||
\]
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Dann
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\begin{align*}
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||
\int_γ f(z) \, dz &= \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt = \int_a^b φ(t) \, dt \\
|
||
&= \int_c^d φ(δ(s)) · δ'(s) \, ds && \text{Substitutionsregel} \\
|
||
&= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · γ'(δ(s)) · δ'(s) \, ds \\
|
||
&= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · (γ ◦ δ)' \, ds && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
|
||
&= \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz. && \qedhere
|
||
\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{beobachtung}[Abschätzungen]\label{beob:3-2-7}%
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Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
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daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
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\[
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L(γ) := \int_0^b |γ'(t)| \, dt
|
||
\]
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||
gegeben ist. Damit erhalten wir die Abschätzung
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\[
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||
\left| \int_γ f(z) \, dz \right| ≤ \int_a^b |f(γ(t))| · |γ'(t)| \, dt ≤ \sup_{t ∈ [a,b]} |f(γ(t))| · L(γ).
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||
\]
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\end{beobachtung}
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\section{Komplexe Stammfunktionen}
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\label{sec:3-3}
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\begin{definition}[Stammfunktion]\label{def:3-3-1}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
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heißt \emph{komplexe Stammfunktion}\index{Stammfunktion!von Abbildung auf
|
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$ℂ$} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
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\end{definition}
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Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: Definition~\ref{def:3-1-5} für
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Funktionen auf reellen Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, und
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Definition~\ref{def:3-3-1} für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen von $ℂ$.
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Die Begriffe hängen offenbar zusammen.
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\begin{beobachtung}[Reelle und komplexe Stammfunktionen]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$.
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Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar. Dann ist
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\begin{align*}
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||
(F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
|
||
& = (f ◦ γ) · γ'
|
||
\end{align*}
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Zusammenfassung: Im Sinne von Definition~\ref{def:3-1-5} ist $F◦γ$ eine
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Stammfunktion von $(f◦γ)·γ'$. Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial-
|
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und Integralrechnung die Gleichung
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\[
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||
\int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).
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\]
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\end{beobachtung}
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\subsection{Berechnung von Wegintegralen mithilfe von Stammfunktionen}
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\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]\label{kons:3-3-3}%
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Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
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$f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
|
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und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst. Insbesondere gilt: Wenn
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$γ$ ein geschlossener Weg ist (d.h.~Startpunkt = Endpunkt), dann ist $\int_γ
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f(z) \, dz = 0$.
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\end{kons}
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\begin{bsp}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
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Betrachte die Situation von Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}. Für $n ≠ -1$ ist
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$\frac{1}{n+1} · z^{n+1}$ eine Stammfunktion von $z^n$. Also ist für $n ≠ -1$
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das Integral
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\[
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\int_γ z^n \, dz = 0, \quad \text{wo } γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ \exp(it).
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\]
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Für $n = -1$ gibt es keine auf ganz $ℂ^*$ definierte Stammfunktion, denn das
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wäre der Logarithmus.
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\end{bsp}
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\begin{kons}[Funktionen mit verschwindender Ableitung]\label{kons:3-2-11}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph mit $f' \equiv 0$. Dann ist
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$f$ lokal konstant.
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\end{kons}
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||
Vor dem Beweis der Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} erinnere ich an zwei elementare
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Fakten der Analysis und Topologie.
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\begin{fakt}[Zerlegung in Zusammenhangskomponenten]\label{fakt:3-2-12}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Dann kann ich $U$ auf eindeutige Weise schreiben als
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\[
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||
U = \bigcup_{α ∈ A} U_α,
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\]
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||
wobei die Teilmengen $U_α ⊂ ℂ$ offen, zusammenhängend und disjunkt sind.
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\qed
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\end{fakt}
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||
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||
\begin{fakt}[Zusammenhang und Wegzusammenhang]\label{fakt:3-2-13}%
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||
Wenn $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend ist, und wenn $z_1, z_2 ∈ U$ sind, dann
|
||
gibt es einen stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und
|
||
$γ(1) = z_2$. \qed
|
||
\end{fakt}
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||
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\begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:3-2-11}]
|
||
Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
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annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist. Seien nun zwei
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||
Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben. Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen
|
||
stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ(1) = z_2$.
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Dann ist aber
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\[
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||
f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_γ 0 \, dz = 0.
|
||
\]
|
||
Da dies für alle Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gilt, ist die Konstanz der Funktion
|
||
$f$ gezeigt.
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\end{proof}
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\subsection{Konstruktion von Stammfunktionen durch Wegintegrale}
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\sideremark{Vorlesung 5}
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Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
|
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und es sei $f: U → ℂ$ stetig. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ besitzt,
|
||
dann gilt nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} für jeden (stückweise) stetig
|
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differenzierbaren Weg $γ: [a,b] → U$ die Gleichung
|
||
\[
|
||
\int_γ f(z)\, dz = F(γ(b)) - F(γ(a)).
|
||
\]
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||
Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab. Insbesondere gilt:
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||
Wenn der Weg $γ$ geschlossen ist (das bedeutet: $γ(a) = γ(b)$), dann ist
|
||
\[
|
||
\int_γ f(z)\, dz = 0.
|
||
\]
|
||
Ziel dieses Kapitels ist die Umkehrung dieser Aussage: Wir wollen zeigen, dass
|
||
die Existenz einer Stammfunktion bereits aus der Tatsache folgt, dass das
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||
Wegintegral nur von Start- und Endpunkt abhängt. Die folgende Beobachtung wird
|
||
beim Beweis helfen.
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||
|
||
\begin{beobachtung}
|
||
Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f: U → ℂ$ eine Funktion, sodass für jeden
|
||
geschlossenen Weg $γ$ stets $\int_γ f(z)\, dz = 0$ ist. Gegeben seien zwei
|
||
(stückweise) stetig differenzierbare Wege
|
||
\[
|
||
γ_1: [a_1, b_1] → U \qquad γ_2: [a_2, b_2] → U
|
||
\]
|
||
mit identischem Start- und Endpunkt,
|
||
\[
|
||
γ_1(a_1) = γ_2(a_2) =: z_a
|
||
\quad\text{und}\quad
|
||
γ_1(b_1) = γ_2(b_2) =: z_b.
|
||
\]
|
||
Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $γ_1$ und $γ_2$ gleich sind.
|
||
Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $γ_1$ hin und dann $γ_2$ zurück
|
||
durchläuft. Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise stetig
|
||
differenzierbaren Weg
|
||
\[
|
||
δ: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] → U, \quad t ↦
|
||
\begin{cases}
|
||
γ_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
|
||
γ_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
Dann gilt:
|
||
\begin{align*}
|
||
0 & = \int_{δ} f(z)\, dz && \text{weil $δ$ geschlossen} \\
|
||
& = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz.
|
||
\end{align*}
|
||
Also folgt:
|
||
\[
|
||
\int_{γ_1} f(z)\, dz = \int_{γ_2} f(z)\, dz.
|
||
\]
|
||
Zusammenfassung: Wenn das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg
|
||
verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start-
|
||
und Endpunkt ab.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
\begin{satz}[Existenz von Stammfunktionen]\label{satz:3-3-9}%
|
||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen, und sei $f: U → ℂ$ stetig. Falls die Wegintegrale $\int_•
|
||
f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen, dann existiert eine
|
||
Stammfunktion.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die offene Menge
|
||
$U$ zusammenhängend ist -- ansonsten betrachte die Zusammenhangskomponenten
|
||
einzeln. Wähle einen Punkt $z_0 ∈ U$. Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
|
||
Start- und Endpunkt abhängen, erlaubt die Definition der folgenden Funktion:
|
||
\[
|
||
F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_γ f(z)\, dz, \text{ wobei $γ$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
|
||
\]
|
||
Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Dazu müssen wir
|
||
zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
|
||
$F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass
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||
\begin{equation}\label{eq:3-3-9-1}
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||
\lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
|
||
\end{equation}
|
||
ist. Dazu wähle irgendeinen Weg $δ: [0, 1] → U$ mit $δ(0) = z_0$, und $δ(1) =
|
||
p$. Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag ist die
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||
Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten. Gegeben ein
|
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solches $h$, betrachten wir den Weg
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\[
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γ_h: [0, 1] → U, \quad t ↦ p + t · h.
|
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\]
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||
Dann ist
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\[
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F(p) = \int_{δ} f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_{δ} f(z)\, dz + \int_{γ_h} f(z)\, dz.
|
||
\]
|
||
Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die
|
||
Gleichung
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||
\begin{align*}
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\frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{γ_h} f(z)\, dz}{h} \\
|
||
& = \frac{1}{h} \int_0¹ f(γ_h(t)) · γ_h'(t)\, dt \\
|
||
& = \frac{1}{h} \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
|
||
& = \int_0¹ f(p + th)\, dt.
|
||
\end{align*}
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||
Gleichung~\eqref{eq:3-3-9-1} folgt sofort, weil $f$ bei $p$ stetig ist!
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\end{proof}
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\section{Stammfunktionen auf der Kreisscheibe}
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\subsection{Rechteckwege}
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Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein. Die Voraussetzung ist aber sehr
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stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden. Das ist
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in der Praxis schwer zu überprüfen. Wir wollen daher eine Variante des Satzes
|
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beweisen, die eine schwächere Voraussetzung hat. Dazu betrachten statt
|
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beliebigen nur noch achsenparallele Wege der folgenden Art.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
|
||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
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||
Statt beliebiger geschlossener Wege betrachtet man nur „Rechteckwege“ der
|
||
folgenden Art.
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\begin{center}
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||
\begin{tikzpicture}
|
||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||
\draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
|
||
\draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$γ_3$};
|
||
\draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$γ_4$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\begin{notation}[Randintegrale über Rechtecke]\label{not:3-4-1}%
|
||
Gegeben eine offene Menge $U ⊆ ℂ$, ein achsenparalleles Rechteck $\mathcal{R}
|
||
⊂ U$ und eine stetige Funktion $f : U → ℂ$, dann nennt man
|
||
\[
|
||
\int_{∂ \mathcal{R}} f(z)\, dz := \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
|
||
\]
|
||
das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
|
||
\end{notation}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
In Notation~\ref{not:3-4-1} meinen ich mit dem Rechteck $\mathcal{R}$ die
|
||
(topologisch abgeschlossene) Rechtecksfläche. Mit $\mathcal{R} ⊂ U$ meine ich
|
||
also, dass das gesamte Rechteck in $U$ liegt, also nicht nur der Rand.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe I]\label{satz:3-3-11}%
|
||
Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
|
||
eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
|
||
stets verschwindet. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal. Es
|
||
gilt: „Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn …“. Die
|
||
Umkehrrichtung ist ja schon aus dem letzten Kapitel bekannt.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
Satz~\ref{satz:3-3-11} zeigt dieselbe Folgerung wie Satz~\ref{satz:3-3-9},
|
||
aber unter schwächeren Voraussetzungen. Also ist der Beweis aufwändiger. Die
|
||
Grundidee ist aber dieselbe.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-3-11} als Bildgeschichte]
|
||
Gegeben irgendeinen Punkt $p ∈ U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt durch
|
||
zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
|
||
verlaufen. Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine Kreisscheibe ist.
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}
|
||
\draw (0,0) circle (2cm);
|
||
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||
\draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$γ_2$};
|
||
\node at (1.5,1) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$p$] {};
|
||
\node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=below:$0$] {};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
Definiere damit eine Funktion
|
||
\[
|
||
F : U → ℂ, \quad p ↦ \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz.
|
||
\]
|
||
Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Dazu müssen wir
|
||
zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
|
||
$F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben.
|
||
|
||
Ich diskutiere erst einmal die partielle Ableitung von $F$ nach $x$. Gegeben
|
||
eine hinreichend kleine reelle Zahl $h$, betrachte die folgenden Wege, die
|
||
wieder vollständig innerhalb von $U$ verlaufen.
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
||
\draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
|
||
\draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$δ_1$};
|
||
\draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$γ_2$};
|
||
\draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$δ_2$};
|
||
\draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$δ_3$};
|
||
\node at (2,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=left:$p$] {};
|
||
\node at (3,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=right:$p+h$] {};
|
||
\node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1pt,label=below:$0$] {};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
|
||
\begin{align*}
|
||
F(p + h) & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
|
||
& = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
|
||
& \qquad - \left(\int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz + \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz \right) \\
|
||
& = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \left( \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz \right) \\
|
||
& = F(p) - \int_{δ_3} f(z)\, dz.
|
||
\intertext{Also ist}
|
||
F(p+h) - F(p) & = -\int_{δ_3} f(z)\, dz = \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
|
||
\end{align*}
|
||
und damit
|
||
\[
|
||
\lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
|
||
\]
|
||
Zusammenfassung: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $x$
|
||
differenzierbar und es ist $\frac{∂ F}{∂ x}(p) = f(p)$. Analog beweist man:
|
||
Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$ differenzierbar und es ist
|
||
$\frac{∂ F}{∂ y}(p) = i · f(p)$. Das hat zwei Konsequenzen.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Weil $f$ stetig ist, haben wir gezeigt, dass $F$ stetig partiell
|
||
differenzierbar ist, also total differenzierbar.
|
||
|
||
\item Es ist $\frac{∂ F}{∂ \overline{z}} = \frac{∂ F}{∂ x} + i \frac{∂ F}{∂
|
||
y} = 0$. Also erfüllen die partiellen Ableitungen von $F$ die
|
||
Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
|
||
\end{itemize}
|
||
In der Summe sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
|
||
gilt.
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||
\end{proof}
|
||
|
||
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||
\subsection{Der Satz von Goursat}
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||
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||
Satz~\ref{satz:3-3-11} beweist die Existenz von Stammfunktionen unter der
|
||
Voraussetzung, dass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
|
||
verschwindet. Der folgende Satz von Goursat\footnote{Édouard Jean-Baptiste
|
||
Goursat (* 21. Mai 1858 in Lanzac, Département Lot, Frankreich; † 25. November
|
||
1936 in Paris, Frankreich) war ein französischer Mathematiker, der als Verfasser
|
||
eines klassischen Analysis-Lehrbuchs bekannt ist.} zeigt, dass diese
|
||
Voraussetzung für holomorphe Funktionen immer erfüllt ist.
|
||
|
||
Der Satz von Goursat ist ein Spezialfall der viel allgemeineren Integralformel
|
||
von Stokes\footnote{Sir George Gabriel Stokes, 1. Baronet PRS (* 13. August 1819
|
||
in Skreen, County Sligo; † 1. Februar 1903 in Cambridge) war ein irischer
|
||
Mathematiker und Physiker.}, die den Hauptsatz der Differenzial- und
|
||
Integralrechnung auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Weil sie die Formel
|
||
von Stokes in ihren Vorlesungen vielleicht noch nicht kennengelernt haben, gebe
|
||
ich hier einen direkten und elementaren Beweis des Satzes von Goursat, der auf
|
||
einer Viertelungsargumentation basiert.
|
||
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\begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:3-4-6}%
|
||
\index{Satz von Goursat!über Wegintegrale}Es sei $U ⊆ ℂ$ offen, es sei $f ∈
|
||
𝒪(U)$ holomorph und sei $\mathcal{R} ⊂ U$ ein achsenparalleles Rechteck. Dann
|
||
gilt:
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\begin{equation}\label{eq:3-4-6-1}
|
||
\int_{∂ R} f(z) \, dz = 0
|
||
\end{equation}
|
||
\end{satz}
|
||
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||
\begin{proof}[Beweis im Spezialfall]
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||
Wir beweisen die Aussage zuerst im Spezialfall, dass $f$ in $R$ sogar konstant
|
||
ist. In diesem Fall ist das Integral über jede Kante des Rechtecks das
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||
Integral einer Konstanten über eine Strecke, also der Wert der Konstanten
|
||
multipliziert mit der Länge der Strecke. Da die Kanten des Rechtecks
|
||
paarweise entgegengesetzt orientiert sind, heben sich die Integrale über die
|
||
gegenüberliegenden Kanten auf, und somit ist das gesamte Randintegral gleich
|
||
null.
|
||
|
||
Analog beweisen wir die Aussage im Spezialfall, dass $f$ in $R$ eine affine
|
||
Funktion ist, also die Form $f(z) = a z + b$ mit $a, b ∈ ℂ$ hat. Wiederum
|
||
heben sich die Integrale über die gegenüberliegenden Kanten des Rechtecks auf,
|
||
da die Beiträge der linearen Funktion an den gegenüberliegenden Kanten gleich
|
||
groß und entgegengesetzt sind. Somit ist auch in diesem Fall das gesamte
|
||
Randintegral gleich null.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis im Allgemeinen]
|
||
Der Beweis ist relativ lang und deshalb in mehrere Schritte aufgeteilt. Wie
|
||
üblich in der Analysis zeige ich \eqref{eq:3-4-6-1} nicht direkt, sondern
|
||
beweise die Aussage: Sei $d$ der Durchmesser des Rechtecks $\mathcal{R}$ und
|
||
sei $U$ der Umfang. Dann gilt für alle $ε > 0$ die Abschätzung
|
||
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-2}
|
||
\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right| ≤ ε · d · U.
|
||
\end{equation}
|
||
Sei also eine Zahl $ε > 0$ gegeben.
|
||
|
||
|
||
\paragraph*{Schritt 1: Viertelung des Rechtecks}
|
||
|
||
Teile $R$ durch Mittelsenkrechte in vier kongruente Rechtecke $R_1, R_2, R_3,
|
||
R_4$. Die Integrale über die inneren Kanten heben sich paarweise auf
|
||
(entgegengesetzte Orientierung), daher gilt
|
||
\[
|
||
\int_{∂ R} f(z) \, dz = \sum_{j=1}⁴ \int_{∂ R_j} f(z) \, dz.
|
||
\]
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 2: Auswahl}
|
||
|
||
Nach der Dreiecksungleichung gilt die Ungleichung
|
||
\[
|
||
\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right| ≤ \sum_{j=1}⁴ \left|\int_{∂ R_j} f(z) \, dz\right|.
|
||
\]
|
||
Also existiert (mindestens) ein Index $j$ mit:
|
||
\[
|
||
\left|\int_{∂ R_j} f(z) \, dz\right| ≥ \frac{1}{4}\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right|
|
||
\]
|
||
Wähle ein solches Rechteck und nenne es $R^{(1)}$.
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 3: Iteration}
|
||
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||
Wiederhole dieses Verfahren: Teile $R^{(1)}$ in vier Teile, wähle $R^{(2)}$
|
||
mit
|
||
\[
|
||
\left|\int_{∂ R^{(2)}} f(z) \, dz\right| ≥ \frac{1}{4}\left|\int_{∂ R^{(1)}} f(z) \, dz\right|
|
||
\]
|
||
und so weiter. Wir erhalten eine Folge geschachtelter Rechtecke,
|
||
\[
|
||
R = R^{(0)} ⊃ R^{(1)} ⊃ R^{(2)} ⊃ ⋯
|
||
\]
|
||
mit folgenden Eigenschaften.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Für jede Zahl $n$ sei $d_n$ der \textbf{Durchmesser} des Rechtecks
|
||
$R^{(n)}$. Dann ist $d_n = 2^{-n}·d$.
|
||
|
||
\item\label{il:3-4-6-4} Für jede Zahl $n$ sei $U_n$ der \textbf{Umfang} des
|
||
Rechtecks $R^{(n)}$. Dann ist $U_n = 2^{-n}·U$.
|
||
|
||
\item\label{il:3-4-6-5} Entsprechend der Auswahl der Rechtecke gilt die
|
||
\textbf{Integralabschätzung}
|
||
\[
|
||
\left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz\right| ≥ 4^{-n}\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right|.
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 4: Konvergenzpunkt}
|
||
|
||
Da die Rechtecke geschachtelt sind und ihre Durchmesser gegen 0 gehen,
|
||
existiert genau ein Punkt: $z_0 ∈ \bigcap_{n=1}^∞ R^{(n)}$. Dieser Punkt liegt
|
||
in $R ⊂ G$.
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 5: Komplexe Differenzierbarkeit}
|
||
|
||
Da $f$ in $z_0$ komplex differenzierbar ist, gilt:
|
||
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-6}
|
||
f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + r(z),
|
||
\end{equation}
|
||
wobei der Rest $r(z)$ die Eigenschaft hat:
|
||
\[
|
||
\lim_{z → z_0} \frac{r(z)}{z - z_0} = 0.
|
||
\]
|
||
Das bedeutet: Zu unserem gegebenen $ε > 0$ existiert $δ > 0$, sodass für jeden
|
||
Punkt $z$ mit $|z - z_0| < δ$ gilt:
|
||
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-7}
|
||
|r(z)| ≤ ε |z - z_0|.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 6: Integralabschätzung}
|
||
|
||
Für hinreichend großes $n$ liegt $R^{(n)}$ ganz in der $δ$-Um\-gebung von
|
||
$z_0$. Für jedes $z ∈ ∂ R^{(n)}$ mit $|z - z_0| ≤ d_n = 2^{-n} d$ gilt dann
|
||
nach~\eqref{eq:3-4-6-7} die Ungleichung
|
||
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-8}
|
||
|r(z)| ≤ ε · 2^{-n} d.
|
||
\end{equation}
|
||
Wir erhalten damit die folgende Integralabschätzung:
|
||
\begin{align*}
|
||
\left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz \right| &= \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) + r(z) \, dz \right| && \text{\eqref{eq:3-4-6-6}}\\
|
||
& = \left|\int_{∂ R^{(n)}} r(z) \, dz \right| && \text{Beweis im Spezialfall} \\
|
||
& ≤ \int_{∂ R^{(n)}} \left|r(z) \right| \, dz && \text{Dreiecksungleichung} \\
|
||
& ≤ \max_{z ∈ ∂ R^{(n)}} |r(z)| · U_n && \text{Monotonie} \\
|
||
& ≤ ε · 2^{-n}·d·U_n && \text{\eqref{eq:3-4-6-7}} \\
|
||
& = ε · 2^{-n}· d·2^{-n}·U && \text{\ref{il:3-4-6-4}} \\
|
||
& = ε · 4^{-n}·d·U.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 7: Ende des Beweises}
|
||
|
||
In der Summe aller bisheriger Schritte finden wir
|
||
\begin{align*}
|
||
\left|\int_{∂ \mathcal{R}} f(z) \, dz \right| &≤ 4^n \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz\right| && \text{\ref{il:3-4-6-5}} \\
|
||
& ≤ 4^n·ε·4^{-n}·d·U = ε·d·U && \text{Schritt 6.}
|
||
\end{align*}
|
||
Das ist Ungleichung~\eqref{eq:3-4-6-2}, die zu zeigen war.
|
||
\end{proof}
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||
|
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\begin{kor}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe II]\label{kor:3-4-7}%
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||
Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
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||
holomorph. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion. \qed
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||
\end{kor}
|
||
|
||
% !TEX root = Funktionentheorie
|