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\selectlanguage{german}
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\chapter{Singuläre Stellen holomorpher Funktionen}
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\section{Isolierte Singularitäten}
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Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
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∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich
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über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
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\begin{bsp}
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In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$.
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion,
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die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die
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\emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}.
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\item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer
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holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist
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$f$ ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
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definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ⁺$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
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∖ 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn $z·f(z)$
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ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
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Polstelle}.
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\item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$
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echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
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Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu
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betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
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Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
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holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge ist.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten]
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In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$.
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\begin{enumerate}
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\item Wenn es eine Funktion $F ∈ 𝒪( (U ∖ T) ∪ \{ρ\})$, die auch $U ∖ T$ mit
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$f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{hebbare
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Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
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\item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈
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ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat,
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dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle} hat.
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Die kleinste Zahl $n$ heißt
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\emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$.
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\item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine
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Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{wesentliche
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Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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