% spell checker language
\selectlanguage{german}

\chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}

\begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
  \index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
  einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
\end{satz}

\begin{bem}
  Die Annahme $U ⊊ \bC$ ist wichtig, denn $U = \bC$ ist nicht biholomorph zu
  $B_1(0)$.
\end{bem}


\section{Der Satz von Montel}

Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über
gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen.  In der Literatur findet man statt
„gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan
beschränkt“.

\begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig
  beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R
  ∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung
  $|f_n(p)| < R$ gilt.  Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig
  beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder
  Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$
  gleichmäßig beschränkt ist.
\end{defn}

\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April
    1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer
    Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte
  Folge von holomorphen Funktionen.  Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal
  gleichmäßig konvergiert.
\end{satz}

\begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März
    1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher
    Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin
    Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region
    Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer
    Mathematiker und Politiker.}]%
  Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen.  Dann gibt es eine
  konvergente Teilfolge.  Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das:
  wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
  f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
\end{erinnerung}

\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}%
  Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.  Insbesondere
  gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$.
  \begin{itemize}
    \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$
      konvergiert.

    \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei
      $p_1$ und $p_2$ konvergiert.

    \item …
  \end{itemize}
  Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei
  allen $p_k$!
\end{vorueberlegung}

\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}%
  Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede
  Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für
  Ableitungen die Gleichung
  \[
    f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz.
  \]
  Beachte:
  \begin{itemize}
    \item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt.

    \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls
      betragsmäßig beschränkt.
  \end{itemize}
  Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt.  Genauer: es
  existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈
  B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
  \[
    |f_n'(w)| < M
  \]
  gilt.
\end{vorueberlegung}

Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte
Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.

\begin{konsequenz}[Mittelwertsatz]
  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe
  $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben.  Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für
  jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w|
  \]
  gilt.  \qed
\end{konsequenz}

\begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}%
  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine
  Zahl $ε > 0$ gegeben.  Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$,
  sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl
  $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p) - f_n(w)| < ε/3
  \]
  gilt.  \qed
\end{konsequenz}

\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel]
  Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig)
  durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
  annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert,
  sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.

  Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig
  konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen
  Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p) - f_m(p)| < ε
  \]
  gilt.  Seien also $K$ und $ε$ gegeben.

  Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus
  Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene
  Überdeckung von $U$.  Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
  Kreisscheiben die Menge $K$.  Nach Umnummerierung seien dies
  \[
    B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}).
  \]
  Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden
  Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung
  \[
    |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3
  \]
  gilt.  Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$,
  sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt:
  \begin{align*}
    |f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\
    & ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
    & ≤ ε.
  \end{align*}
  Damit ist der Satz bewiesen.
\end{proof}

% !TEX root = Funktionentheorie
