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\chapter{Anwendungen des Residuensatzes}

\section{Zählen von Null- und Polstellen}

\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
  ---
  \begin{itemize}
    \item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
      diskrete Teilmenge.
    
    \item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
      Singularitäten.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
      keine essenziellen Singularitäten hat.  Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
      $ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
      bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.

    \item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
      $f$.

    \item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
  \end{itemize}
\end{situation}

\begin{bemerkung}
  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
  gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
  Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
  ungleich null sind.  Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
  Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
  Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
\end{bemerkung}

\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
  In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$.  Dann gilt
  \[
    \Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
  \]
  Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
  auf der rechten Seite ungleich null sind.
\end{satz}
\begin{proof}
  Es gilt
  \begin{align*}
    \Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
    & = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
  \end{align*}
  Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
\end{proof}

\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
    Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
    französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
  \index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
  abgeschlossene Kreisscheibe.  Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈
  𝒪(U)$ gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
  \begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
    |f(z)| > |g(z)|
  \end{equation}
  gilt.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
    \item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
      im Inneren von $K$.

    \item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
      gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
  \end{enumerate}
\end{kor}
\begin{proof}
  Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
  t·g(z)$.  Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
  [0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
  \[
    h_t(z)
  \]
  gilt.  Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen.  Als Nächstes betrachte
  \[
    N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
  \]
  Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
  stetig ist.  Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
  $t ∈ [0,1]$ die Gleichung
  \[
    N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
  \]
  Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant.  Somit gilt insbesondere
  $N(0) = N(1)$.
\end{proof}

\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
  Wir behaupten, dass die Funktion
  \[
    \frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
  \]
  in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat.  Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
  \frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
  Ungleichung
  \[
    |f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
  \]
  gilt.  Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
\end{bsp}


\section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}

\begin{satz}[Weierstraß]
  \index{Satz von Weierstraß}Sei $P ⊂ ℂ$ eine diskrete und abgeschlossene Menge
  und $n : P → ℕ$ eine beliebige Abbildung.  Dann existiert eine Funktion $f ∈
  𝒪(ℂ)$, sodass folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
    \item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.

    \item Für jedes $p ∈ P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
      der Ordnung $n(p)$.
  \end{enumerate}
\end{satz}


\subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}

Es sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p ∈ ℂ$ eine
Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt.  Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
\begin{align}
  f(z) & = \sum_{i = n}^{∞} a_i (z-p)ⁱ \\
  f'(z) & = \sum_{i = n}^{∞} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
  f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{∞} ⋯ \\
  \label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
\end{align}


\subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}

Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden.  Sei also
$g ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p ∈ P$ exakt
gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel ist jetzt, aus der Funktion $g$ die
gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.

\begin{erinnerung}
  Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $γ$ in $ℂ ∖ P$ gilt:
  \[
    \int_{γ} g(z) \, dz = 2π i \sum_{p ∈ P} \Um(γ, p) · n(p).
  \]
  Da $n(p) ∈ ℤ$ für alle $p ∈ P$ gilt, ist das Integral auf der linken Seite
  also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2π i$, liegt also im Kern der
  Exponentialfunktion $\exp : ℂ → ℂ^*$.
\end{erinnerung}

Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q ∈ ℂ ∖ P$ und
wähle für jedes $w ∈ ℂ ∖ P$ einen Weg $γ_w$ von $q$ nach $w$.  Dann definiere
die Funktion
\[
  f : ℂ ∖ P → ℂ^*, \quad w ↦ \exp \left(\int_{γ_w} g(z) \, dz\right).
\]
Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
$γ_w$ ist.

\begin{beobachtung}
  Die Funktion $f$ ist auf $ℂ ∖ P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.  \qed
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}
  Die Funktion $f$ hat auf $ℂ ∖ P$ keine Nullstelle, weil die
  Exponentialfunktion keine Nullstelle hat.  \qed
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
  Auf $ℂ ∖ P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$.  \qed
\end{beobachtung}

Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p ∈ P$ eine hebbare
Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
$n(p)$ besitzt.  Sei also ein Punkt $p ∈ P$ gegeben.  Wähle eine kleine
Kreisscheibe $B_{ε}(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$ enthält.  Nach
Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$
die Gleichung
\[
  \frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
\]
wobei $h ∈ 𝒪(B_{ε}(p))$ eine holomorphe Funktion ist.  Äquivalent: Die Funktion
$f$ erfüllt auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$ die Differenzialgleichung
\[
  f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
\]
Diese Differenzialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
Genauer: Wenn $H ∈ 𝒪(B_{ε}(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann sind alle
Lösungen der Differenzialgleichung auf $B_{ε}(p) ∖ \{p\}$ gegeben durch
\[
  \text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
\]
Die Funktion $f|_{B_{ε}(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei $p$
eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$.  Damit ist der
Satz von Weierstraß bewiesen.  \qed


\section{Integration}

\subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}

Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale.  Ich
skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen.  Sei $f(z) =
\frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
\begin{enumerate}
  \item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.

  \item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
    b \ge \deg a + 2$.
\end{enumerate}
und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole.  Dann kann man den Residuensatz
anwenden, um das uneigentliche Integral
\[
  \int_{-∞}^{∞} f(x) \, dx
\]
zu berechnen.  Beachte dazu folgendes: Wenn $r ∈ ℝ⁺$ hinreichend groß ist, dann
liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei $γ_r$
der folgende geschlossene Weg:
\begin{itemize}
  \item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.

  \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 ≤ t ≤ π\}$ von $r$
    nach $-r$ zurück.
\end{itemize}
Dann hängt das Integral über $γ_r$ nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem
Residuensatz
\[
  \int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
\]
da das Integral über den oberen Halbkreis für $r → ∞$ verschwindet.

\begin{rem}[Variante]
  Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und
  mit $\deg b > \deg a$.  Dann existieren die Grenzwerte
  \[
    \lim_{r → ∞} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
    \lim_{r → ∞} \int_{-r}⁰ f(x)e^{ix}\,dx,
  \]
  und
  \[
    \int_{-∞}^{∞} f(x)e^{ix}\,dx = 2π i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
  \]
\end{rem}

\begin{rem}[Fourier-Transformierte]
  Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf
  der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.  Dann existiert für alle $y ∈ ℝ$
  das Integral
  \[
    \widehat{f}(y) := \int_{-∞}^{∞} f(x)e^{-ixy}\,dx,
  \]
  die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.  Mit der Substitution $u = x y$
  ergibt sich
  \[
    \widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-∞}^{∞} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
  \]
  Dieses Integral lässt sich mithilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die
  Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
\end{rem}

% !TEX root = Funktionentheorie
