% spell checker language
\selectlanguage{german}

\chapter{Anwendungen der Laurentreihenentwicklung}

\section{Charakterisierung von Singularitäten}

Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:9} drei Typen von isolierten Singularitäten
definiert.  Mithilfe der Laurentreihenentwicklung können wir diese Typen jetzt
charakterisieren.

\begin{beobachtung}[Holomorphe Funktionen mit Singularitäten]\label{beo:9-2-10}%
  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
  Singularitäten auf $U$.  Es sei $T ⊂ U$ die Menge der Singularitäten und sei
  $ρ ∈ T$ sei eine der isolierte Singularitäten.  Um das Verhalten von $f$ bei
  $ρ$ zu verstehen, entwickle $f$ bei $ρ$ in eine Laurentreihe.  Genauer: wähle
  eine Zahl $ε > 0$, sodass $ρ$ die einzige Singularität von $f$ in der
  Kreisscheibe $B_{ε}(ρ)$ ist, also
  \[
    B_{ε}(p) ∩ T = \{ρ\}.
  \]
  Betrachte dann den Kreisring
  \[
    K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: \frac{ε}{2} < |z - ρ| < ε \}.
  \]
  Nach Satz~\ref{satz:9-2-8} („Laurentreihenentwicklung“) gibt es eine auf
  $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ lokal gleichmäßig konvergierende Laurentreihe $\sum c_i
  (z - p)ⁱ$, deren Grenzfunktion auf $K_{\frac{ε}{2},ε}(ρ)$ mit $f$
  übereinstimmt.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine hebbare Singularität von $f$, wenn
      der Hauptteil gleich null ist.
    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine Polstelle von $f$, wenn der
      Hauptteil nur endlich viele Summanden hat.
    \item Der Punkt $ρ$ ist genau dann eine wesentliche Singularität von $f$,
      wenn der Hauptteil unendlich viele Summanden hat.
  \end{enumerate}
\end{beobachtung}

\begin{bsp}[Funktion mit wesentlicher Singularität]\label{bsp:9-2-11}%
  Die Funktion
  \[
    f : ℂ ∖ \{0\} → ℂ, \quad z ↦ \exp\left(\frac{1}{z}\right)
  \]
  ist durch die Laurentreihe
  \[
    f(z) = \sum_{k=-∞}⁰ \frac{1}{|k|!} z^k
  \]
  gegeben und hat deshalb in $0$ eine wesentliche Singularität.
\end{bsp}


\section{Automorphismen der komplexen Ebene}
\sideremark{Vorlesung 14}

Ähnlich wie im Abschnitt~\ref{sec:7-3} möchte ich die Stärke der
funktionentheoretischen Methoden demonstrieren, indem ich die Automorphismen der
komplexen Ebene bestimme.

\begin{frage}
  Was sind die biholomorphen Selbstabbildungen $ℂ → ℂ$?
\end{frage}

Einige Beispiele und Nicht-Beispiele sind und bereits bekannt.

\begin{bsp}[Affin-lineare Abbildungen]
  Für alle $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$ ist die Abbildung
  \[
    f : ℂ → ℂ, \quad z ↦ az + b
  \]
  biholomorph.
\end{bsp}

\begin{beobachtung}[Komposition mit Translationen]\label{beob:9-3-3}%
  Gegeben irgendeine biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$, so ist die Abbildung
  \[
    f - f(0) : ℂ → ℂ
  \]
  ebenfalls biholomorph und bildet die Null auf null ab.
\end{beobachtung}

\begin{bsp}[Polynome höheren Grades]
  Polynome vom Grad $≥ 2$ sind ganz bestimmt keine Automorphismen, denn jedes
  Polynom $f ∈ ℂ[z]$ zerfällt in Linearfaktoren
  \[
    f(z) = λ (z - a_1)(z - a_2) ⋯ (z - a_n).
  \]
  \begin{itemize}
    \item Wenn zwei der $a_•$ gleich sind, dann hat $f$ eine mehrfache
      Nullstelle.  Die Ableitung $f'$ verschwindet dort.  Aber biholomorphe
      Abbildungen haben nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit nirgends
      eine verschwindende Ableitung.

    \item Wenn alle $a_•$ verschieden sind, dann hat $f$ mindestens zwei
      verschiedene Nullstellen.  Also ist $f$ nicht injektiv.
  \end{itemize}
\end{bsp}

\begin{bsp}[Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden]\label{bsp:9-3-5}%
  Ich behaupte, dass Potenzreihen mit unendlich vielen Summanden ebenfalls
  \emph{keine} Automorphismen der komplexen Ebene sind.  Dazu führe ich einen
  Widerspruchsbeweis.  Angenommen, es gäbe einen Automorphismus $f : ℂ → ℂ$ der
  durch eine Potenzreihe
  \[
    f(z) = \sum a_i zⁱ
  \]
  mit unendlich vielen Summanden gegeben ist.  Nach Beobachtung~\ref{beob:9-3-3}
  können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $a_0 = 0$ ist, also $f(0) = 0$.
  Insbesondere bildet $f$ die Menge $ℂ^*$ biholomorph auf sich selbst ab.

  Aber: die Menge $ℂ^*$ hat einen interessanten Automorphismus, nämlich
  \[
    j : ℂ^* → ℂ^*, \quad z ↦ z^{-1}.
  \]
  Die Abbildung $f ◦ j : ℂ^* → ℂ^*$ ist dann auch holomorph und bijektiv, und
  kann als holomorphe Funktion mit Pol bei $0$ aufgefasst werden.  Die
  Laurentreihe von $f ◦ j$ ergibt sich sehr einfach aus der Laurentreihe von
  $f$,
  \[
    f ◦ j = \sum a_i z^{-i}.
  \]
  Ich stelle fest: Der Hauptteil dieser Laurentreihe hat unendlich viele
  Summanden.  Wie ist in Beobachtung~\ref{beo:9-2-10} gesehen haben, bedeutet
  das Folgendes: wenn ich $f ◦ j$ als Funktion mit isolierter Singularität
  auffasse, dann hat $f ◦ j$ hat bei $0$ eine wesentliche Singularität.

  Ich behaupte, dass $f ◦ j$ dann aber nicht bijektiv sein kann.  Betrachte dazu
  die Kreisscheibe $B_{1/2}(1) ⊂ ℂ^*$.  Wir wissen, dass die Bildmenge $(f ◦ j)
  \left(B_{1/2}(0)\right)$ eine offene Teilmenge von $ℂ^*$ ist.
  
  Es gilt aber auch noch Satz~\ref{satz:9-1-casorati-weierstrass}
  („Casorati-Weierstraß“).  Demnach ist die Bildmenge
  \[
    (f ◦ j) \left(B_{1/2}(0) ∖ \{0\}\right) ⊆ ℂ
  \]
  dicht, schneidet also $(f ◦ j) \left(B_{1/2}(0)\right)$ in mindestens einem
  Punkt.  Dieser Punkt hat demnach zwei Urbilder, nämlich eines in $B_{1/2}(1)$
  und eines $B_{1/2}(0) ∖ \{0\}$.  Also ist $f ◦ j$ tatsächlich nicht injektiv!
\end{bsp}

\begin{bemerkung}
  Die Argumentation aus Beispiel~\ref{bsp:9-3-5} zeigt in Wirklichkeit, dass
  holomorphe Funktionen mit essenziellen Singularitäten niemals injektiv sind.
\end{bemerkung}

In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.

\begin{satz}[Automorphismen der komplexen Ebene]\label{satz:9-3-6}%
  Jede biholomorphe Abbildung $f : ℂ → ℂ$ ist von der Form
  \[
    f(z) = az + b
  \]
  für gewisse $a,b ∈ ℂ$ mit $a ≠ 0$.  \qed
\end{satz}


\section{Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten}
\sideremark{Vorlesung 15}

\begin{frage}[Funktionen mit vorgeschriebenen Singularitäten, vereinfachte Fragestellung]\label{fr:11-3-1}%
  Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene und diskrete Teilmenge.  Gibt es eine Funktion
  $f ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$, sodass $f$ in jedem Punkt von $P$ einen Pol oder eine
  wesentliche Singularität hat?
\end{frage}

\begin{bemerkung}[Naiver Ansatz]
  Wenn die Menge $P$ aus Frage~\ref{fr:11-3-1} endlich ist, ist das alles kein
  Hexenwerk.  Wir können zum Beispiel die Funktion
  \[
    f(z) = \sum_{p ∈ P} \frac{1}{z-p} \quad \text{oder} \quad f(z) = \sum_{p ∈ P} \exp\left(\frac{1}{z-p}\right) \quad \text{oder} \quad \dots
  \]
  nehmen.  Aber was, wenn die Menge $P$ unendlich ist?  Kann man dann unendliche
  Summen nehmen?  Wie garantieren wir deren Konvergenz?
\end{bemerkung}

Der folgende Satz beantwortet Frage~\ref{fr:11-3-1} vollständig.  Der Satz
erlaubt sogar, die Hauptteile der $f$ für jeden Punkt $p ∈ P$ einen vorzugeben.

\begin{satz}[Mittag-Leffler\footnote{Magnus Gösta Mittag-Leffler, genannt Gösta,
  (* 16.~März 1846 in Stockholm; † 7.~Juli 1927 in Djursholm[1]) war ein
  schwedischer Mathematiker, der sich vor allem mit Analysis
  beschäftigte.}]\label{satz:mittag-leffler}%
  \index{Satz von Mittag-Leffler}Sei $P ⊂ ℂ$ eine abgeschlossene, diskrete
  Teilmenge.  Für jedes $p ∈ P$ sei eine Laurentreihe $f_p$ mit
  Entwicklungspunkt $p$ gegeben, die auf $K_{0,∞}(p) = ℂ ∖ \{p\}$ konvergiert.
  Dann gibt es eine Funktion $f ∈ 𝒪(ℂ ∖ P)$, sodass für jeden Punkt $p ∈ P$
  gilt: Die Laurententwicklung von $f$ am Punkt $p$ hat denselben Hauptteil wie
  die Laurentreihe $f_p$.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
  Satz~\ref{satz:mittag-leffler} ist nicht optimal.  Es gibt allgemeinere
  Versionen, bei denen zum Beispiel statt $ℂ$ nur durch eine offene Menge $U ⊆
  ℂ$ betrachtet wird.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
  Falls die Menge $P$ endlich ist, so können wir einfach $f(z) = \sum_{p ∈ P}
  f_p(z)$ nehmen.  Im Folgenden nehmen wir also ohne Beschränkung der
  Allgemeinheit an, dass die Menge $P$ unendlich ist.  Der Einfachheit halber
  nehmen wir zusätzlich noch an, dass die Menge $P$ den Nullpunkt nicht enthält.
  Um die Notation zu vereinfachen, schreiben wir für jeden Punkt $p ∈ P$ die
  $h_p$ für den Hauptteil der Laurentreihe $f_p$.  Dies ist eine Laurentreihe
  mit trivialem Nebenteil, die auf ganz $ℂ ∖ \{p\}$ konvergiert.


  \paragraph*{Schritt 1}

  Um das Problem von Mittag-Leffler auf den endlichen Fall zurückzuführen,
  beachte, dass für jede kompakte Menge $K ⊂ ℂ$ nur endlich viele $p ∈ P$ in $K$
  liegen.  Dies gilt, weil die Menge $P$ diskret ist.  Wir nutzen dies, und
  zerlegen die Menge $P$ in Teilmengen der Form wie folgt.
  \begin{center}
    \includegraphics[width=8cm]{10-mittagLeffler.png}
  \end{center}
  Gegeben eine natürliche Zahl $n ∈ ℕ$, dann ist die Summe der Hauptteile,
  \[
    S_n := \sum_{n ≤ |p| < n+1} h_p,
  \]
  eine endliche Summe von Laurentreihen\footnote{Wobei $h_p$ jeweils auf ganz $ℂ
  ∖ \{p\}$ konvergiert} und deshalb selbst eine Laurentreihe die auf ganz
  \[
    ℂ ∖ \{ p ∈ P \::\: n ≤ |p| < n+1\}
  \]
  konvergiert.  Wir erhalten also eine Funktion, die wir (nicht ganz korrekt)
  wieder mit $S_n$ bezeichnen,
  \[
    S_n : \underbrace{ℂ ∖ \{ p ∈ P \::\: n ≤ |p| < n+1\}}_{\text{enthält die gesamte offene Kreisscheibe }B_n(0)} → ℂ.
  \]
  
  
  \paragraph*{Schritt 2}

  Beachte, dass die Funktion $S_n$ auf der Kreisscheibe $B_n(0)$ holomorph ist,
  weil dort keine der Singularitäten liegen.  Wir können die Funktion $S_n$
  deshalb am Nullpunkt in eine Potenzreihe entwickeln, deren Konvergenzradius
  mindestens $n$ ist.  Aufgrund der lokal gleichmäßigen Konvergenz dieser
  Potenzreihe wird die Folge der Partialsummen auf der kompakten Kreisscheibe
  $\overline{B_{n-1}(0)}$ gleichmäßig gegen $S_n$ konvergieren.  Wir finden also
  für jedes $n ≥ 1$ ein Polynom $Q_n$, sodass
  \begin{equation}\label{eq:11-3-4-1}%
    \forall z ∈ B_{n-1}(0) : |S_n(z) - Q_n(z)| ≤ 2^{-n}
  \end{equation}
  gilt.
  
  
  \paragraph*{Schritt 3}
  
  Definiere jetzt die Funktionenfolge
  \[
    f_m : ℂ ∖ P → ℂ, \quad z ↦ \sum_{n=1}^m (S_n(z) - Q_n(z)).
  \]
  Damit gilt schon einmal Folgendes.
  \begin{enumerate}
    \item\label{il:11-3-4-1} Für jedes $m$ ist die Funktion $f_m$ auf $ℂ ∖ P$
      holomorph, weil sie als endliche Summe von holomorphen Funktionen
      dargestellt ist.

    \item\label{il:11-3-4-2} Für jeden Punkt $p ∈ P$ und jedes $m > |p|$ hat die
      Funktion $f_m$ bei $p$ denselben Hauptteil wie die Laurentreihe $f_p$,
      weil die Polynome $Q_n$ nichts an den Hauptteilen in $p ∈ P$ ändern.
  \end{enumerate}
  Falls wir zeigen können, dass die Funktionenfolge $f_m$ auf $ℂ ∖ P$ lokal
  gleichmäßig gegen eine Funktion $f$ konvergiert, sind wir fertig.  Der Grund
  ist der Folgende.
  \begin{enumerate}
    \item Als Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergierenden Folge
      holomorpher Funktionen ist $f$ nach
      Proposition~\vref{prop:potenzreihe-holomorph} wieder holomorph.

    \item Nach \ref{il:11-3-4-2} und Korollar~\ref{kor:10-2-7} hat die
      Laurentreihe von $f$ bei jedem Punkt $p ∈ P$ hat denselben Hauptteil wie
      die Laurentreihe $f_p$.
  \end{enumerate}


  \paragraph*{Schritt 4}
  
  Um die lokal gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, sei ein Punkt $z_0 ∈ ℂ ∖ P$
  gegeben.  Wir müssen eine Umgebung dieses Punktes finden, auf der die Folge
  $f_m$ gleichmäßig konvergiert.  Wähle dazu eine Zahl $n ∈ ℕ$ mit $n > |z_0|$
  und betrachte die Umgebung $B_n(z_0) ∖ P$.  Für jedes $z ∈ B_n(z_0) ∖ P$ gilt
  dann:
  \begin{align*}
    |f(z) - f_m(z)| &= \left| \sum_{n=m+1}^∞ (S_n(z) - Q_n(z)) \right| \\
    & ≤ \sum_{n=m+1}^∞ |S_n(z) - Q_n(z)| && \text{Dreiecks-Ungleichung} \\
    & ≤ \sum_{n=m+1}^∞ 2^{-n} && \text{\eqref{eq:11-3-4-1}} \\
    & = 2 - \frac{1-(\frac{1}{2})^{m+1}}{1-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{m+1}.
  \end{align*}
  Damit ist die gleichmäßige Konvergenz von $f_m$ auf $B_n(z_0) ∖ P$ gezeigt.
\end{proof}

% !TEX root = Funktionentheorie
