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\chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}

\section{Wurzeln holomorpher Funktionen}

Ich beginne mit einer Erinnerung.

\begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
  sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist.  Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
  sodass folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
  \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.

  \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist biholomorph.
  \end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
  Das haben wir schon oft gemacht.  Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex
  differenzierbar ist.  Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
  wo $f' ≠ 0$ ist.  Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
  lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$,
  sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist.  Außerdem gilt: für
  jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$.  Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die
  Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
\end{proof}

\sideremark{Vorlesung: 12}Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen,
dass jeder Punkt aus $ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion
existiert.

\begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
  Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$.  Dann gibt es eine Umgebung $V =
  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$, sodass folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
  \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$.

  \item Die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir betrachten aus Faulheit nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist.
  Falls $n = 1$ ist, dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen
  können.

  Sei also $n > 1$.  Wir haben im Abschnitt~\ref{sec:7-1} aber schon gesehen:
  auf einer geeigneten Kreisscheibe $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit
  $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$ die folgende Gleichung gilt:
  \[
    f(z) = z^n·g(z).
  \]
  Wegen $g(0) ≠ 0$ gibt es eine offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$ auf der eine
  $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: Ω → ℂ^*$ sodass für
  jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt.  Setze dann $V := D ∩
  g^{-1}(Ω)$ und definiere die Funktion
  \[
    b : V → ℂ, \quad z ↦ z·r(g(z)).
  \]
  Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
\end{proof}


\section{Lokale Struktur}

Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede
holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$.  Die folgende Notation und der
folgende Satz machen diese Aussage präzise.

\begin{definition}[Einbettungen]\label{def:8-0-2}%
  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f ∈ \mathcal{O}(U)$.  Nenne $f$ eine
  \emph{Einbettung von $U$ in $ℂ$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) ⊆ ℂ$ offen und
  die eingeschränkte Abbildung $f: U → f(U)$ biholomorph ist.
\end{definition}

\begin{notation}[Einbettungen]
  In der Situation von Definition~\ref{def:8-0-2} schreibt man anstelle der
  üblichen Notation $f: U → ℂ$ oft $f: U ↪ ℂ$, um darauf hinzuweisen, dass $f$
  eine Einbettung ist,
\end{notation}

\begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
  $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist.  Dann gibt es eine Zahl $n ∈ ℕ$
  und Einbettungen der Einheitskreisscheibe,
  \[
    u, v: Δ ↪ ℂ,
  \]
  sodass die folgenden Eigenschaften gelten
  \begin{equation}\label{eq:8-0-1}
    u(Δ) ⊆ U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ)
  \end{equation}
  und das folgende Diagramm kommutiert
  \begin{equation}\label{eq:8-0-2}
    \begin{tikzcd}
      Δ \ar[r, hook, "u"] \ar[d, "z ↦ z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
      Δ \ar[r, hook, "v"'] & ℂ.
    \end{tikzcd}
  \end{equation}
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir nehme ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $f$ bei $ρ$ eine
  Nullstelle hat, ansonsten betrachte die Funktion $z ↦ f(z) - f(ρ)$.  Sei $1 ≤
  n < ∞$ dann die Nullstellenordnung von $f$ bei $p$.  Nach
  Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt es eine
  Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$ und eine Einbettung
  \[
    b: V ↪ ℂ,
  \]
  sodass für jedes $z ∈ V$ die Gleichung $f(z) = b(z)^n$ gilt.  Insbesondere ist
  $b(0) = 0$.
  

  \paragraph{Schritt 1: Konstruktion der Einbettung $u$}

  Die Bildmenge $b(V)$ der Einbettung $b$ ist eine offene Umgebung der $0$.  Wir
  können daher ein Skalar $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die Bildmenge der skalierten
  Einbettung
  \[
    λ·b : V → ℂ, \quad z ↦ λ·b(z)
  \]
  die Einheitskreisscheibe $Δ$ enthält.  Betrachte die Umkehrabbildung
  \[
    (λ·b)^{-1} : (λ·b)(V) → V
  \]
  und definiere die Abbildung $u$ als Einschränkung
  \[
    u := (λ·b)^{-1}|_Δ : Δ → V ⊆ U.
  \]
  Dann ist $u(Δ) = (λ·b)^{-1}(Δ)$ offen und $u: Δ → u(Δ)$ ist biholomorph.  Also
  ist $u$ schon einmal eine Einbettung und es gilt
  \[
    u(0) = (λ·b)^{-1}(0) = b^{-1}(λ^{-1}·0) = b^{-1}(0) = ρ.
  \]
  Damit erfüllt $u$ die in \eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften.  Zusätzlich
  gilt für jedes $z$ aus dem Bild der Abbildung $u$ die Gleichung
  \begin{equation}\label{eq:xx}
    \left(u^{-1}(z)\right)^n = \left(λ·b(z)\right)^n = λ^n·b(z)^n = λ^n·f(z).
  \end{equation}

  
  \paragraph{Schritt 2: Konstruktion der Einbettung $v$}

  Betrachte als Nächstes die Abbildung
  \[
    v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{1}{λ^n}·z.
  \]
  Es ist klar, dass $v$ eine Einbettung ist.  Ebenso ist klar, dass die
  Gleichung $v(0) = 0 = f(ρ)$ gilt.  Also erfüllt auch $v$ die in
  \eqref{eq:8-0-1} genannten Eigenschaften.

  
  \paragraph{Schritt 3: Kommutativität des Diagramms}

  Wir müssen zeigen, dass abschließend zeigen, Diagramm~\eqref{eq:8-0-2}
  kommutiert.  Äquivalent: wir müssen zeigen, dass jedes $δ ∈ Δ$ die Gleichung
  \[
    f(u(δ)) = v(δ^n)
  \]
  erfüllt.  Sei also ein Element $δ ∈ Δ$ gegeben.  Dann ist aber
  \begin{align*}
    f(u(δ)) & = \frac{1}{λ^n}·λ^n·f(u(δ)) \\
    & = \frac{1}{λ^n}·(u^{-1}(u(δ)))^n && \text{Gleichung \eqref{eq:xx}} \\
    & = \frac{1}{λ^n}·δ^n && \text{Umkehrabbildung} \\
    & = v(δ^n) && \text{Definition von } v.
  \end{align*}
  Damit ist der Satz bewiesen.
\end{proof}


\section{Anwendungen}

Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen.  Zum Beispiel ist die
Abbildung $z ↦ z^n$ offen\index{offene Abbildung} (= Bilder offener Mengen sind
offen).  Also erhalten wir:

\begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ 𝒪(U)$ nicht konstant.
  Dann ist $f(U) ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend.
\end{satz}
\begin{proof}
  Nach dem Satz über die lokale Struktur ist $f(U)$ offen, weil die Abbildung
  $f$ offen ist.  Aus der Vorlesung „Analysis II“ wissen wir: Bilder
  zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend.
\end{proof}

\begin{notation}
  In der Funktionentheorie nennt man offene, zusammenhängende Teilmengen des $ℂ$
  oft \emph{Gebiete}\index{Gebiet}.  Satz~\ref{satz:gebietstreue} sagt in dieser
  Sprache: ist die Funktion nicht konstant, dann sind Bilder von Gebieten selbst
  wieder Gebiete.
\end{notation}

Als Beispielanwendung erhalten wir einen neuen Beweis des Maximumsprinzips.

\begin{satz}[Maximumprinzip]
  \index{Maximumprinzip}Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ 𝒪(U)$ sei eine
  nicht-konstante, holomorphe Funktion.  Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in
  $U$.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, es gebe ein $ρ ∈ U$ sodass
  $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt.  Nach Verkleinern von $U$ können
  wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein
  globales Maximum annimmt.  Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$,
  sodass $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist.  Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch
  Punkten mit größerem Betrag.
\end{proof}

% !TEX root = Funktionentheorie
