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\chapter{Nullstellen von holomorphen Funktionen}

Wir betrachten die folgende Situation.

\begin{situation}[Nullstellen von holomorphen Funktionen]\label{set:7-0-1}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph und es sei
  \[
    Z = \{ z ∈ U \mid f(z) = 0 \}
  \]
  die Nullstellenmenge der Funktion $f$.
\end{situation}

Weil holomorphe Funktionen stetig ist, ist klar, dass die Menge $Z$ eine
abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist.  Aber was können wir sonst noch sagen?


\section{Zwei Typen von Nullstellen}
\label{sec:7-1}

In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $ρ ∈ Z$ eine Nullstelle von $f$ und sei
\begin{equation}\label{eq:7-2-0-1}
  \sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ
\end{equation}
die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$.  Der Konvergenzradius sei $r$.
Dann gibt es zwei Möglichkeiten.
\begin{description}
  \item[Nullstelle vom Typ 1] Alle Koeffizienten $a_i$ der
    Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0.  Dann ist $f$ bereits in einer
    ganzen Umgebung von $f$ konstant Null.
  
  \item[Nullstelle vom Typ 2] Nicht alle Koeffizienten $a_i$ der
    Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0.  Betrachte in diesem Fall den
    Index
    \[
      n := \min \{ i \::\: a_i ≠ 0 \}
    \]
    und nenne $n$ die „Ordnung der Nullstelle $ρ$ von $f$“.  Schreibe weiter
    \begin{align*}
      f(z) & = \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ \\
      & = (z-ρ)^n · \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)^{i-n} \\
      & = (z-ρ)^n · \sum_{i=0}^∞ b_i (z-ρ)^{i-n},
    \end{align*}
    wobei $b_i := a_{n+i}$ ist.  Man rechne nach, dass die Potenzreihe
    \[
      \sum_{i=0}^∞ b_i (z-ρ)^{i-n}
    \]
    ebenfalls Konvergenzradius $r$ hat, also eine Funktion $g ∈ 𝒪(B_r(ρ))$
    definiert, die aber bei $ρ$ \emph{keine} Nullstelle hat (und deshalb in
    einer ausreichend kleinen Umgebung von $ρ$ ebenfalls nicht).  Auf $B_r(ρ)$
    gilt die Gleichung
    \[
      f(z) = (z-ρ)^n · g(z)
    \]
    und es gibt ein $ε > 0$, sodass $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist.  Man sagt: $ρ$ ist
    eine isolierte Nullstelle von $f$.
\end{description}
Zusammenfassung: Ich kann die Nullstellenmenge $Z$ aufteilen
\[
    Z = \text{Typ 1} \: ∪ \text{Typ 2}
\]
Dabei gilt Folgendes:
\begin{itemize}
  \item Die Menge der Nullstellen vom Typ~2 ist eine abgeschlossene, diskrete
    Teilmenge von $U$.
  
  \item Die Menge der Nullstellen von Typ~1 ist offen.
  
  \item Die Menge der Punkte von $U$, an denen \emph{keine} Nullstelle vom Typ~1
    vorliegt, ist ebenfalls offen.  Grund: Wenn $f$ bei $ρ$ überhaupt keine
    Nullstelle hat, dann hat $f$ als stetige Funktion auch in einer Umgebung von
    $ρ$ keine Nullstelle.  Wenn $f$ bei $ρ$ eine Nullstelle vom Typ~2 hat, dann
    haben wir gesehen, dass $f$ in einer Umgebung von $ρ$ keine weitere
    Nullstelle hat.
\end{itemize}
In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und}
abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!

\begin{notation}[Nullestellenordnung]
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben.  Schreibe $f$
  in der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe
  \[
    f = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ.
  \]
  Die Zahl
  \[
    \min \{ i ∈ ℕ \mid a_i ≠ 0 \}
  \]
  heißt \emph{Nullstellenordnung}\index{Nullestellenordnung} von $f$ bei $ρ$.
  Falls die Potenzreihe konstant $0$ ist, so hat $f$ bei $ρ$ unendliche
  Nullstellenordnung.
\end{notation}


\section{Identitätssatz und Maximumsprinzip}

\begin{satz}
  In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend.  Dann sind die folgenden
  Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item Die Nullstellenmenge $Z$ ist \emph{nicht} diskret.  Äquivalent: die
    Nullstellenmenge $Z$ hat einen Häufungspunkt.

  \item Die Funktion $f$ ist konstant gleich $0$.  \qed
  \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{kor}[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]\label{kor:7-2-2}%
  \index{Identitätssatz}In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend und
  es sei $g ∈ 𝒪(U)$ eine weitere holomorphe Funktion auf $U$.  Dann sind die
  folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item Die Menge
    \[
      \{ z ∈ U \mid f(z) = g(z) \}
    \]
    ist \emph{nicht} diskret.  Äquivalent: die Menge hat einen Häufungspunkt.
  
  \item Die Funktionen $f$ und $g$ sind gleich.
  \end{enumerate}
\end{kor}

\begin{bsp}[Eindeutigkeit der Exponentialfunktion]
  Die Funktion $\exp: ℂ → ℂ$ ist die einzige holomorphe Funktion auf $ℂ$, die
  für reelle Zahlen mit der bekannten Exponentialfunktion übereinstimmt.
\end{bsp}

\begin{kor}[Maximumsprinzip]\label{kor:7-2-4}%
  In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $U$ zusammenhängend.  Falls $|f|$ ein Maximum
  hat, dann ist $f$ konstant.
\end{kor}
\begin{proof}
  \index{Maximumprinzip}Es sei $ρ ∈ U$ ein Maximum von $|f|$.  Nach
  Satz~\ref{satz:5-2-3} („Starkes Maximumsprinzip“) wissen wir schon: es gibt
  ein $ε > 0$, sodass $f|_{B_ε(ρ)}$ konstant ist.  Nach dem Identitätssatz,
  Korollar~\ref{kor:7-2-2}, ist $f$ dann aber auf ganz $U$ konstant.
\end{proof}


\section{Beispielanwendung: Automorphismen der Kreisscheibe}
\label{sec:7-3}%
\sideremark{Vorlesung: 11}

Im Folgenden bezeichnen wir mit $Δ := B_1(0)$ die offene Einheitskreisscheibe in
$ℂ$.

\begin{lemma}[Lemma von Schwarz\footnote{Karl Hermann Amandus Schwarz (*
    25.~Januar 1843 in Hermsdorf, Provinz Schlesien; † 30.~November 1921 in
    Berlin) war ein deutscher Mathematiker.}]\label{lem:7-2-1}%
  \index{Lemma vom Schwarz}Es sei $f: Δ → Δ$ holomorph und $f(0) = 0$.  Dann gilt
  Folgendes:
  \begin{enumerate}
    \item\label{il:7-2-1-1} Für jede Zahl $z ∈ Δ$ ist $|f(z)| ≤ |z|$.

    \item\label{il:7-2-1-2} Wenn eine Zahl $z ∈ Δ ∖ \{0\}$ existiert mit $|z| =
      |f(z)|$, dann ist $f$ eine Drehung, also die Multiplikation mit einer
      komplexen Zahl der Form $\exp(iα)$, für $α ∈ ℝ$.

    \item\label{il:7-2-1-3} Es ist $|f'(0)| ≤ 1$.
  
    \item\label{il:7-2-1-4} Wenn $|f'(0)| = 1$ ist, dann ist $f$ eine Drehung.
    \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
  Wenn $f \equiv 0$ ist, dann ist alles klar.  Also nehmen wir im Folgenden an,
  dass $f$ \emph{nicht} die Nullfunktion ist.  Die Zahl $0 ∈ ℂ$ ist also eine
  isolierte Nullstelle.  Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$.  Wir
  halten folgende Eigenschaften der Funktion $g$ fest.
  \begin{enumerate}
    \item\label{il:7-2-1-5} Für alle $z ∈ Δ$ gilt die Ungleichung $|g(z)| ≤ 1$.
      Dazu argumentieren wir mit Widerspruch und nehmen an, dass es ein $z_m ∈
      Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$.  Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$.  Wähle ein
      $ε > 0$ so klein, dass $|g(z)| > 1 + ε$ gilt und beachte aber, dass für
      jede Zahl $z$ mit $|z| > \frac{1}{1+ε}$ die folgende Ungleichung gilt:
      \[
        1 > |f(z)| = |z|·|g(z)| > \frac{1}{1+ε}·|g(z)|, \quad\text{also } |g(z)| < 1 + ε.
      \]
      Es folgt: Die Funktion $|g|$ nimmt nur auf abgeschlossenen Kreisscheibe
      $\overline{B_{1/(1+\epsilon)}}(0)$ Werte vom Betrag $> 1 + ε$ an.  Dort
      nimmt $|g|$ dann aber sogar ein Maximum an, also muss $|g|$ nach
      Korollar~\ref{kor:7-2-4} („Maximumsprinzip“) bereits konstant sein,
      Widerspruch.

    \item\label{il:7-2-1-6} Falls es ein $z_m ∈ Δ$ mit $|g(z_m)| = 1$ gibt, dann
      muss dies nach \ref{il:7-2-1-5} ein Maximum sein.  Nach
      Korollar~\ref{kor:7-2-4} („Maximumsprinzip“) ist $g$ dann konstant mit
      Betrag $1$.
  \end{enumerate}
  Nun können wir die Behauptungen des Lemmas beweisen.
  \begin{itemize}
    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-1} folgt direkt aus
      \ref{il:7-2-1-5}, da $|f(z)| = |z|·|g(z)| ≤ |z|$ gilt.

    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-2} folgt aus \ref{il:7-2-1-6}.

    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-3} folgt aus \ref{il:7-2-1-5}, da $|f'(0)| =
      |g(0)| ≤ 1$ gilt.

    \item Behauptung~\ref{il:7-2-1-4} ist wieder \ref{il:7-2-1-6}.  \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

\begin{rem}[Warum interessiert mich das?]
  Gegeben eine offene Menge $U$, dann bilden die holomorphen Selbstabbildungen
  $U → U$ eine Gruppe: Die Identität ist das neutrale Element,
  hintereinander-Ausführung ist die Gruppenverknüpfung und die Umkehrabbildung
  ist das Inverse.  Um die holomorphe Geometrie von $U$ zu verstehen,
  interessiere ich mich für diese Gruppe, die man auch mit $\Aut_𝒪(U)$
  bezeichnet.
\end{rem}

\begin{notation}[Automorphismen]
  Es seien $U, V ⊂ ℂ$ offen, Mengen.  Eine holomorphe Abbildung $φ: U → V$ heißt
  \emph{biholomorph}\index{biholomorph}, wenn $φ$ bijektiv ist und die
  Umkehrabbildung auch wieder holomorph ist.  Für eine offene Menge $U ⊂ ℂ$
  bezeichne
  \[
    \Aut_{𝒪}(U) := \{ φ: U → U \mid φ \text{ biholomorph} \}
  \]
  die Gruppe der \emph{holomorphen Automorphismen}\index{Automorphismus} von
  $U$.
\end{notation}

\begin{bsp}[$ℂ$ und $Δ$ sind nicht biholomorph]
  Korollar~\ref{kor:4-4-3} („Satz von Liouville“) zeigt, dass es keine
  Biholomorphie zwischen $ℂ$ und $Δ$ gibt.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Kreisscheibe]
  Es sei $Δ$ wieder die offene Einheitskreisscheibe.
  \begin{itemize}
  \item Einige Automorphismen von $Δ$ sehe ich direkt, zum Beispiel Drehungen
    (=Multiplikation mit komplexen Zahlen der Form $\exp(iα)$, wobei $α ∈ [0,
    2π)$ reell ist).

  \item Andere Automorphismen sieht man nicht sofort: für jedes $α ∈ Δ$ ist
    \[
      g_α: Δ → Δ, \quad z ↦ \frac{α - z}{1 - \bar{α}z}
    \]
    ein Automorphismus von $Δ$ mit folgenden Eigenschaften:
    \begin{itemize}
      \item Es ist $g_α(0) = α$ und $g_α(α) = 0$.
      \item Es ist $g_α ◦ g_α = \text{Id}$.
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{bsp}

\begin{beobachtung}[Automorphismen der Kreisscheibe mit Fixpunkt 0]
  Wenn $g : Δ → Δ$ ein Automorphismus mit $g(0) = 0$ ist, dann ist $g$ eine
  Drehung.  Dies folgt direkt aus dem Lemma von Schwarz, Lemma~\ref{lem:7-2-1},
  da $|g'(0)| = |(g^{-1})'(0)|^{-1}$ ist.  Also gilt $|g'(0)| ≥ 1$ oder
  $|(g^{-1})'(0)| ≥ 1$.
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}[Automorphismen der Kreisscheibe]
  Gegeben irgendein Automorphismus $φ: Δ → Δ$, dann setze $α := φ(0)$ und
  betrachte $Ψ := g_α ◦ φ$.  Dies ist ein Automorphismus, der $0$ auf $0$
  abbildet.  Das ist dann eine Drehung.
\end{beobachtung}

Insgesamt sehen wir: jeder Automorphismus von $Δ$ ist die Komposition einer
Drehung und eines Automorphismus der Form $g_α$.  Kommt Ihnen das bekannt vor?

% !TEX root = Funktionentheorie
