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\chapter{Der Residuensatz}

In diesem Abschnitt sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $P ⊂ U$ endlich, und es $f ∈ 𝒪(U
∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten Singularitäten bei $P$.  Gegeben
einen geschlossenen Weg $γ: [a,b] → U ∖ P$, der in $U$ zusammenziehbar ist, dann
fragen wir nach Möglichkeiten, das Integral
\[
  \int_{γ} f(z) \, dz
\]
einfach zu berechnen.  Einige Fälle kennen wir schon.

\begin{bemerkung}[Integralsatz von Cauchy]
  Falls $P = ∅$ die leere Menge ist, also $f ∈ 𝒪(U)$, dann sagt
  Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“), dass das gesuchte
  Integral verschwindet,
  \[
    \int_{γ} f(z) \, dz = 0.
  \]
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Umlaufsinn ist wichtig]\label{bem:12-0-2}%
  Wenn $\overline{γ}$ derselbe Weg wie $γ$ ist, aber entgegengesetzter Richtung
  läuft, dann gilt
  \[
    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = -\int_{γ} f(z) \, dz.
  \]
  Also muss es eine Rolle spielen, wie $γ$ durchlaufen wird.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Spezielle Koeffizienten der Laurent-Entwicklung]
  Es sei $U = ℂ$ $P = \{rho\}$ sei ein einziger Punkt.  Schreibe $f$ als
  Laurentreihe,
  \[
    f(z) = \sum_{k=-∞}^∞ c_k (z-p)^k.
  \]
  Dann gilt nach Korollar~\ref{kor:10-2-5} für jede reelle Zahl $r ∈ ℝ⁺$ die
  Gleichung
  \[
    \frac{1}{2π i} \int_{\mathcal{B}_R(p)} f(z) \, dz = c_{-1}.
  \]
  Der Koeffizient $c_{-1}$ der Laurententwicklung scheint also eine besondere
  Rolle zu spielen.
\end{bemerkung}


\section{Die Umlaufzahl}

Der Begriff „Umlaufzahl“ präzisiert die in \ref{bem:12-0-2} gemachte
Beobachtung.

\begin{satz}[Umlaufzahl]\label{satz:12-2-1}%
  Sei $p ∈ ℂ$ und $γ: [0,1] → ℂ ∖ \{p\}$ ein geschlossener Weg.  Dann gibt es
  genau eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
  \[
    [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ p + \exp(2π int)
  \]
  ist, nämlich
  \[
    n = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{1}{z-p} \, dz.
  \]
\end{satz}

Wir beweisen Satz~\ref{satz:12-2-1} später.  Zunächst definieren wir die
Umlaufzahl und diskutieren den Inhalt des Satzes geometrisch.

\begin{definition}[Umlaufzahl]\label{def:12-2-2}%
  In der Situation von Satz~\ref{satz:12-2-1} heißt $n$ die
  \emph{Umlaufzahl}\index{Umlaufzahl} oder
  \emph{Windungszahl}\index{Windungszahl} des Weges $γ$ um und Punkt $p$. Die
  Schreibweise $\Um(γ, p)$ ist üblich.
\end{definition}

\subsection{Anschauliche Bedeutung der Umlaufzahl}

Anschaulich gesprochen: Die Umlaufzahl zählt, wie oft $γ$ den Punkt $p$ entgegen
dem Uhrzeigersinn umläuft (Umrundungen im Uhrzeigersinn werden mit $-1$
gezählt).  Mit den folgenden goldenen Regeln kann man die Umlaufzahl praktisch
ermitteln, wenn man den Weg $γ$ zeichnerisch gegeben hat und wenn der Weg $γ$
einfach durchlaufen wird.  Dabei bedeutet „einfach durchlaufen“, dass es eine
endliche Menge $Z ⊂ [0,1]$ gibt, sodass $γ|_{[0,1] ∖ Z}$ injektiv ist.

\begin{description}
  \item[Goldene Regel 1] Die Umlaufzahl $\Um(γ, p)$ hängt nur von der
    Zusammenhangskomponente von $ℂ ∖ \Bild(γ)$ ab, in der sich der Punkt $p$
    befindet.

  \item[Goldene Regel 2] Auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $\bC
    ∖ \Bild(γ)$ ist die Umlaufzahl gleich $0$.

  \item[Goldene Regel 3] Die Windungszahl in benachbarten
  Zusammenhangskomponenten unterscheidet sich um $± 1$, wobei die größere Zahl
  in Fahrtrichtung links liegt.
\end{description}

Abbildung~\ref{fig:12-1-1} zeigt, was dabei herauskommt.  Wir beweisen die
goldenen Regeln nicht wirklich vollständig, sondern geben nur gute Gründe für
deren Gültigkeit an.  Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
\begin{figure}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=4cm]{12-res1.png}
  \end{center}

  \caption{Anwendung der Goldenen Regeln}
  \label{fig:12-1-1}
\end{figure}

\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 1]
  Der Satz über parameterabhängige Integral zeigt, dass die Funktion
  \[
    \Um(γ, ·): ℂ ∖ \Bild(γ) → ℤ
  \]
  stetig ist.  Die Aussage folgt, weil die Bildmenge $ℤ$ diskret ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 2]
  In der Topologie zeigt man: Der Weg $γ$ ist in $ℂ ∖ \{p\}$ zusammenziehbar,
  falls $p$ in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $γ$ liegt.  Die
  Aussage folgt dann aus Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“),
  \[
    \int_γ \frac{1}{z-p} \, dz = \Um(γ, p) = 0.
  \]
\end{proof}

\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 3]
  Seien $p_1, p_2 ∈ ℂ ∖ \Bild(γ)$ in benachbarten Zusammenhangskomponenten.  Das
  sieht dann etwa so aus:
  \begin{center}
    \includegraphics[width=14cm]{12-res2.png}
  \end{center}
  Wir ändern den Weg $γ$ wie eingezeichnet ab und vergleichen die Umlaufzahlen
  der Wege $γ$ und $\widetilde{γ}_{ε}$.  Es ist
  \[
    \Um(γ, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2).
  \]
  Dabei gilt das erste Gleichheitszeichen, weil der Weg $γ$ in $ℂ ∖ \{p_1\}$
  homotop zu $\widetilde{γ}_{ε}$ ist.  Die zweite Gleichheit gilt nach der
  Goldenen Regel 1, weil $p_1$ und $p_2$ in derselben Zusammenhangskomponente
  von $ℂ ∖ \Bild(\widetilde{γ}_{ε})$ ist.  Die Umlaufzahl $\Um(\widetilde{β},
  p_2)$ hängt natürlich nicht von der Größe $ε$ ab.  Wenn man $ε$ gegen null
  gehen lässt, erhält man folgendes Bild:
  \begin{center}
    \includegraphics[width=6cm]{12-res3.png}
  \end{center}
  Dann ist
  \begin{align*}
    \Um(γ, p_1) & = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2) \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_{\widetilde{γ}} \frac{1}{z-p_2} \, dz \\
    & = \frac{1}{2π i} \left( \int_{γ} \frac{1}{z-p_2} \, dz + \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz \right) \\
    & = \Um(γ, p_2) + \frac{1}{2π i} · \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz
    \intertext{und für $r$ ausreichend klein ist nach der Cauchy-Integralformel}
    \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz & = \int_{B_r(p_2)} \frac{1}{z-p_2} \, dz = ± 2π i.
  \end{align*}
  Damit ist die Goldene Regel 3 zumindest halbwegs gerechtfertigt.
\end{proof}

% !TEX root = Funktionentheorie
