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\chapter{Anwendungen des Residuensatzes}

\section{Zählen von Null- und Polstellen}

\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
  ---
  \begin{itemize}
    \item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
      diskrete Teilmenge.
    
    \item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
      Singularitäten.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
      keine essenziellen Singularitäten hat.  Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
      $ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
      bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.

    \item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
      $f$.

    \item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
  \end{itemize}
\end{situation}

\begin{bemerkung}
  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
  gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
  Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
  ungleich null sind.  Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
  Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
  Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
\end{bemerkung}

\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
  In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
  \[
    \Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
  \]
  Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
  auf der rechten Seite ungleich null sind.
\end{satz}
\begin{proof}
  Es gilt
  \begin{align*}
    \Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
    & = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
  \end{align*}
  Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
\end{proof}

\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
    Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
    französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
  \index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
  abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
  gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
  \begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
    |f(z)| > |g(z)|
  \end{equation}
  gilt.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
    \item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
      im Inneren von $K$.

    \item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
      gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
  \end{enumerate}
\end{kor}
\begin{proof}
  Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
  t·g(z)$.  Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
  [0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
  \[
    h_t(z)
  \]
  gilt.  Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen.  Als Nächstes betrachte
  \[
    N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
  \]
  Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
  stetig ist.  Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
  $t ∈ [0,1]$ die Gleichung
  \[
    N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
  \]
  Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant.  Somit gilt insbesondere
  $N(0) = N(1)$.
\end{proof}

\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
  Wir behaupten, dass die Funktion
  \[
    \frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
  \]
  in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat.  Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
  \frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
  Ungleichung
  \[
    |f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
  \]
  gilt.  Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
\end{bsp}


\section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}

\begin{satz}[Weierstraß]
  \index{Satz von Weierstraß}Sei $P \subset \bC$ eine diskrete und
  abgeschlossene Menge und $n : P \to \bN$ eine beliebige Abbildung. Dann
  existiert eine Funktion $f \in \sO(\bC)$, sodass folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
    \item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.

    \item Für jedes $p \in P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
      der Ordnung $n(p)$.
  \end{enumerate}
\end{satz}


\subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}

Es sei $f \in \sO(\bC)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p \in \bC$ eine
Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt.  Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
\begin{align}
  f(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i (z-p)^i \\
  f'(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
  f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{\infty} \cdots \\
  \label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
\end{align}


\subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}

Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden. Sei also
$g \in \sO(\bC \setminus P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p
\in P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel ist jetzt, aus der
Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.

\begin{erinnerung}
  Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in $\bC
  \setminus P$ gilt:
  \[
    \int_\gamma g(z) \, dz = 2\pi i \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) · n(p).
  \]
  Da $n(p) \in \bZ$ für alle $p \in P$ gilt, ist das Integral auf der linken
  Seite also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$, liegt also im Kern
  der Exponentialfunktion $\exp : \bC \to \bC^*$.
\end{erinnerung}

Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q \in \bC
\setminus P$ und wähle für jedes $w \in \bC \setminus P$ einen Weg $\gamma_w$
von $q$ nach $w$.  Dann definiere die Funktion
\[
  f : \bC \setminus P \to \bC^*, \quad w \mapsto \exp \left(\int_{\gamma_w} g(z) \, dz\right).
\]
Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
$\gamma_w$ ist.

\begin{beobachtung}
  Die Funktion $f$ ist auf $\bC \setminus P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.
  \qed
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}
  Die Funktion $f$ hat auf $\bC \setminus P$ keine Nullstelle, weil die
  Exponentialfunktion keine Nullstelle hat. \qed
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
  Auf $\bC \setminus P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
\end{beobachtung}

Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p \in P$ eine hebbare
Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
$n(p)$ besitzt.  Sei also ein Punkt $p \in P$ gegeben. Wähle eine kleine
Kreisscheibe $B_\varepsilon(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$
enthält.  Nach Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf
$B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die Gleichung
\[
  \frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
\]
wobei $h \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine holomorphe Funktion ist.  Äquivalent:
Die Funktion $f$ erfüllt auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die
Differentialgleichung
\[
  f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
\]
Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
Genauer: Wenn $H \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann
sind alle Lösungen der Differentialgleichung auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$
gegeben durch
\[
  \text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
\]
Die Funktion $f|_{B_\varepsilon(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei
$p$ eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist
der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed


\section{Integration}

\subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}

Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich
skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. 
Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
\begin{enumerate}
  \item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
  \item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
    b \ge \deg a + 2$.
\end{enumerate}
und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole.  Dann kann man den Residuensatz
anwenden, um das uneigentliche Integral
\[
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
\]
zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r \in \bR⁺$ hinreichend groß ist,
dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei
$\gamma_r$ der folgende geschlossene Weg:
\begin{itemize}
  \item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
  \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 \leq t \leq \pi\}$ von
    $r$ nach $-r$ zurück.
\end{itemize}
Dann hängt das Integral über $\gamma_r$  nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz
\[
  \int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
\]
da das Integral über den oberen Halbkreis für $r \to \infty$ verschwindet.

\begin{rem}[Variante]
Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und mit $\deg b > \deg a$.  
Dann existieren die Grenzwerte
\[
  \lim_{r \to \infty} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
  \lim_{r \to \infty} \int_{-r}^0 f(x)e^{ix}\,dx,
\]
und
\[
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ix}\,dx = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
\]
\end{rem}

\begin{rem}[Fourier-Transformierte]
Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.  
Dann existiert für alle $y \in \bR$ das Integral
\[
  \widehat{f}(y) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy}\,dx,
\]
die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.  
Mit der Substitution $u = x y$ ergibt sich
\[
  \widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
\]
Dieses Integral lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
\end{rem}


\part{Weiterführende Themen}

\chapter{Harmonische Funktionen}

In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig \emph{harmonische Funktionen} auf.

\begin{definition}
Sei $U \subset \bR^2$ offen.  
Eine stetige Funktion $f : U \to \bR$ heißt \emph{harmonisch}, wenn für jede Kreisscheibe $B_r(p) \subset U$ gilt:
\[
  f(p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(p + e^{it})\,dt.
\]
Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am Rand der Kreisscheibe.
\end{definition}

\begin{bsp}
Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch 
\emph{(vgl. Mittelwertsatz der Funktionentheorie)}.
\end{bsp}

% !TEX root = Funktionentheorie
