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\chapter{Cauchy's Integralformel}

\sideremark{Vorlesung 8}


\section{Integralformel}

\begin{satz}[Integralformel von Cauchy]\label{satz:4-4-1}%
  \index{Integralformel von Cauchy}Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter
  sei $K ⊂ U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe, und es sei $γ$ ein stetiger Weg,
  der den Rand von $K$ gegen den Uhrzeigersinn durchläuft.  Dann gilt für alle
  Punkte $w$ aus dem Inneren von $K$:
  \begin{equation}\label{eq:4-4-0}
    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
  \end{equation}
\end{satz}

\begin{notation}[Kreisscheiben und Wege]
  Gegeben $z_0 ∈ ℂ$ und $r ∈ ℝ⁺$, dann bezeichnen wir die offene/abgeschlossene
  Kreisscheibe beziehungsweise den Rand der Kreisscheibe mit
  \begin{align*}
    B_r(z_0) &= \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_0| < r \}, \\
    \overline{B}_r(z_0) &= \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_0| ≤ r \}, \\
    ∂ B_r(z_0) &= \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_0| = r \}.
  \end{align*}
  Ein Weg, der $∂ B_r(z_0)$ im Gegenuhrzeigersinn durchläuft, ist
  \[
    γ: [0, 2π] → ℂ, \quad t ↦ z_0 + \exp(it) · r.
  \]
  Wir schreiben statt $\int_{γ} ⋯\, dz$ auch kurz $\int_{∂ B_r(z_0)} ⋯\, dz$.
\end{notation}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:4-4-1}]
  Der Beweis ist relativ lang und deshalb in mehrere Schritte aufgeteilt.  Sei
  ein Punkt $w$ aus dem Inneren von $K$ gegeben.


  \paragraph{Schritt 1: Kreisscheiben um $w$}

  Wir beobachten: Wenn $ε ∈ ℝ⁺$ klein genug ist, dann ist die $ε$-Kreis\-scheibe
  um $w$ vollständig in $K$ enthalten, also
  \[
    B_ε(w) ⊂ K = \overline{B}_r(z_0).
  \]
  Das heißt: Wege rund um $K$ und um $B_ε(w)$ sind in der Menge
  \[
    \text{Definitionsbereich von } z ↦ \frac{f(z)}{z - w} = U ∖ \{w\}
  \]
  frei homotop, also sind die Integrale gleich.
  \begin{equation}\label{eq:4-4-1}
    \int_{∂ K} \frac{f(z)}{z - w} \, dz
    = \int_{∂ B_{ε}(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
  \end{equation}


  \paragraph{Schritt 2: Hilfsfunktion}

  Betrachte die Hilfsfunktion
  \[
    g: U → ℂ, \quad z ↦
    \begin{cases}
      \frac{f(z) - f(w)}{z - w} & z ≠ w, \\
      f'(w) & z = w.
    \end{cases}
  \]
  Diese Funktion ist per Definition auf ganz $U$ stetig.  Insbesondere nimmt der
  Betrag von $g$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $K$ ein Maximum an, sagen
  wir
  \[
    M = \max \bigl\{ |g(z)| \::\: z ∈ K \bigr\}.
  \]
  Damit gilt für alle $z ∈ U ∖ \{w\}$ die Gleichung
  \begin{equation}\label{eq:4-4-2}
    \frac{f(z)}{z - w} = g(z) + f(w) · \frac{1}{z - w}
  \end{equation}


  \paragraph{Schritt 3: Integration}

  Insgesamt erhalten wir für alle hinreichend kleinen Zahlen $ε$ eine Gleichheit
  von Integralen,
  \begin{align*}
    \int_{∂ K} \frac{f(z)}{z - w} \, dz & = \int_{∂ B_{ε}(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz && \text{\eqref{eq:4-4-1}} \\
    &= \int_{∂ B_{ε}(w)} g(z) + f(w)·\frac{1}{z - w} \, dz && \text{\eqref{eq:4-4-2}} \\
    &= \underbrace{\int_{∂ B_{ε}(w)} g(z) \, dz}_{=: I_{1,ε}}
       + \underbrace{f(w) · \int_{∂ B_{ε}(z)} \frac{1}{z - w} \, dz}_{=: I_{2,ε}}.
  \end{align*}
  Der Witz: Die linke Seite hängt nicht von $ε$ ab, also hängt auch die Summe
  nicht von $ε$ ab.  Wir untersuchen die beiden Integrale auf der rechten Seite
  einzeln.  Für hinreichend kleine $ε$ gilt:
  \begin{align*}
    I_{2,ε} & = f(w) · 2π i && \text{Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}} \\
    |I_{1,ε}| & ≤ 2π · ε · M && \text{Beobachtung~\ref{beob:3-2-7}.}
  \end{align*}
  In der Summe erhalten wir $I_{1,ε} = 0$ und deshalb ist
  \[
    \int_{∂ K} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = f(w) · 2π i.
  \]
  Damit ist die gesuchte Gleichung \eqref{eq:4-4-0} gezeigt.
\end{proof}


\section{Anwendungen der Integralformel}

Wir betrachten einige unmittelbare Konsequenzen der Integralformel von Cauchy.

\begin{prop}[Mittelwertsatz]\label{satz:5-2-1}%
  \index{Mittelwertsatz}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$ und sei
  $\overline{B}_r(z_0) ⊂ U$.  Dann ist $f(z_0)$ (=der Funktionswert von $f$ im
  Mittelpunkt der Kreisscheibe) gleich dem Mittelwert von $f$ auf dem Rand $∂
  B_r(z_0)$ der Kreisscheibe.  Genauer gilt:
  \[
    f(z_0) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + r · \exp(it)) \, dt.
  \]
\end{prop}
\begin{proof}
  Wir betrachten den konkreten Weg $γ: [0, 2π] → U$, $t ↦ z_0 + r · \exp(it)$.
  Dann sagt die Integralformel:
  \begin{align*}
    f(z_0) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz && \text{Integralformel, Satz~\ref{satz:4-4-1}} \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_0^{2π} \frac{f(z_0 + r · \exp(it))}{r · \exp(it)} · ri \exp(it) \, dt && \text{Definition~\ref{def:3-2-1} (Wegintegral)} \\
    & = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + r · \exp(it)) \, dt.
  \end{align*}
  Damit ist der Mittelwertsatz gezeigt.
\end{proof}

\begin{kor}[Schwaches Maximumprinzip]\label{kor:5-2-2}%
  \index{Maximumprinzip!schwaches}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Dann
  hat die stetige Funktion $|f|$ kein echtes Maximum.  Genauer: Für jeden Punkt
  $z_0 ∈ U$ und jede Umgebung $V = V(z_0) ⊆ U$ gibt es einen Punkt $z ∈ V$ mit
  $|f(z)| ≥ |f(z_0)|$.
\end{kor}
\begin{proof}
  Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es gibt es einen Punkt $z_0 ∈ U$, bei
  dem ein echtes Maximum vorliegt.  Dann gibt es $ε > 0$, sodass für alle $z ∈ ∂
  B_{ε}(z_0) ∖ \{z_0\}$ die Ungleichung $|f(z)| < |f(z_0)|$ gilt.  Dann ist
  \begin{align*}
    |f(z_0)| & = \left| \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + ε · \exp(it)) \, dt \right| && \text{Mittelwertsatz~\ref{satz:5-2-1}} \\
    & ≤ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0 + ε · \exp(it))| \, dt && \text{Dreiecksungleichung} \\
    & < \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0)| \, dt = |f(z_0)| && \text{Annahme.}
  \end{align*}
  Wir erhalten einen Widerspruch.
\end{proof}

Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.

\begin{satz}[Starkes Maximumprinzip]\label{satz:5-2-3}%
  \index{Maximumprinzip!starkes}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ und es
  sei $z_0 ∈ U$ ein lokales Maximum der stetigen Funktion $|f|: U → ℝ^{≥ 0}$.
  Dann ist $f$ in der Nähe von $z_0$ konstant.  Genauer:
  \[
    ∃ ε > 0: B_{ε}(z_0) ⊂ U \text{ und } f|_{B_{ε}(z_0)} \equiv \text{const.}
  \]
\end{satz}

\begin{erinnerung}[Existenz lokaler Logarithmus-Funktionen]\label{erinnerung:5-2-4}%
  Gegeben irgendein $z_0 ∈ ℂ$, dann gibt es eine Umgebung $V$ von $z_0$, sodass
  eine holomorphe Logarithmus-Funktion auf $V$ existiert.  Genauer: Es gibt eine
  holomorphe Funktion $\log ∈ 𝒪(V)$, sodass für alle $z ∈ V$ die Gleichung
  $\exp(\log z) = z$ gilt.  Der Beweis ist einfach: Falls $z_0$ ein Punkt der
  geschlitzten Ebene $ℂ ∖ ℝ_{≤ 0}$ ist, dann können wir nach der Diskussion in
  Abschnitt~\ref{sec:2-5-2} den Hauptzweig des Logarithmus verwenden, der auf
  der ganzen geschlitzten Ebene holomorph ist.  Andernfalls spiegele die
  geschlitzte Ebene an der imaginären Achse und …
\end{erinnerung}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:5-2-3}]
  Weil $z_0 ∈ U$ ein lokales Maximum der stetigen Funktion $|f|: U → ℝ^{≥ 0}$
  ist, gibt es eine Zahl $ε > 0$, sodass $\overline{B}_ε(z_0) ⊂ U$ ist für alle
  $z ∈ \overline{B}_ε(z_0)$ die Ungleichung $|f(z)| ≤ |f(z_0)|$ gilt.


  \paragraph*{Schritt 1: $|f|$ ist konstant in der Nähe von $z_0$}

  Ich behaupte, dass $|f|$ auf ganz $B_ε(z_0)$ konstant ist.  Angenommen, es
  gibt einen Punkt $z_1 ∈ B_ε(z_0)$ mit $|f(z_1)| < |f(z_0)|$.  Setze $δ := |z_0
  - z_1|$ und berechne exakt wie im Beweis des schwachen Maximumsprinzips,
  Korollar~\ref{kor:5-2-2}, dass
  \begin{align*}
    |f(z_0)| & = \left| \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + δ · \exp(it)) \, dt \right| && \text{Mittelwertsatz~\ref{satz:5-2-1}} \\
    & ≤ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0 + δ · \exp(it))| \, dt && \text{Dreiecksungleichung} \\
    & < \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0)| \, dt = |f(z_0)| && \text{Annahme}
  \end{align*}
  ist.  Wir erhalten einen Widerspruch.  Also ist $|f|$ auf ganz $B_ε(z_0)$
  konstant.

  \paragraph*{Schritt 2: $f$ ist konstant in der Nähe von $z_0$}
  
  Wenn $f(z_0) = 0$ ist, dann folgt aus der lokalen Konstanz von $|f|$ sofort,
  dass $f$ lokal konstant ist.  Wir nehmen also an, dass $f(z_0) ≠ 0$ ist.
  Wende Erinnerung~\ref{erinnerung:5-2-4} an: Nach Verkleinern von $U$ können
  wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, das eine holomorphe Funktion
  $\log f ∈ 𝒪(U)$ existiert, sodass für alle $z ∈ U$ die Gleichung $\exp(\log
  f(z)) = f(z)$ gilt.  Weil $|f|$ konstant in der Nähe von $z_0$ konstant ist,
  ist der Realteil $\operatorname{Re} \log f$ dort ebenfalls konstant.  Also
  verschwinden die folgenden partiellen Ableitungen von $\operatorname{Re} \log
  f$ in der Nähe von $z_0$ identisch:
  \[
    \frac{∂(\operatorname{Re} \log f)}{∂ z} \equiv 0, \quad \frac{∂\log f}{∂ \overline{z}} \equiv 0.
  \]
  Die Cauchy-Riemann-Gleichungen für die holomorphe Funktion $\log f$ erzwingen
  dann aber, dass die Ableitungen von $\operatorname{Im}(\log f)$ ebenfalls
  identisch verschwinden.  Also ist $\log f$ konstant.  Also ist $f$ konstant.
\end{proof}

\begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:4-4-2}%
  \index{Satz von Goursat!über Differenzierbarkeit}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈
  𝒪(U)$.  Dann ist $f$ unendlich oft komplex differenzierbar.  Wenn
  $\overline{B}_r(z_0) ⊂ U$ ist, dann gilt für alle $w ∈ B_r(z_0)$ die Gleichung
  \[
    f^{(n)}(w) = \frac{n!}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z - w)^{n+1}} \, dz.
  \]
\end{satz}
\begin{proof}
  Sei eine Zahl $r > 0$ gegeben, sodass $\overline{B}_r(z_0) ⊂ U$ ist.


  \paragraph*{Schritt 1: Diskussion der Funktion $f$}

  Für alle $w ∈ B_r(z_0)$ gilt die Gleichung
  \begin{align*}
    f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz && \text{Integralformel, Satz~\ref{satz:4-4-1}} \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_0^{2π} \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· ri \exp(it)}{z + r · \exp(it) - w} \, dt && \text{Definition~\ref{def:3-2-1} (Wegintegral)}
  \end{align*}
  Betrachte die Funktion unter dem Integral:
  \[
    \varphi: B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] \to ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{z_0 + r · \exp(it) - w}.
  \]
  Die Funktion $\varphi$ ist stetig.  Zusätzlich gilt für jedes $t ∈ [0, 2π]$,
  dass die Funktion $\varphi(·, t): B_r(z_0) → ℂ$ holomorph ist.  Damit folgt
  aus dem Satz über die komplexe Ableitung unter dem Integral,
  Satz~\ref{satz:3-1-12}, dass $f$ auf $B_r(z_0)$ komplex differenzierbar ist
  (wissen wir schon) und dass für alle $w ∈ B_r(z_0)$ die Gleichung
  \begin{align*}
    f'(w) & = \frac{1}{2π i} \int_0^{2π} \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{(z_0 + r · \exp(it) - w)²} \, dt \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z - w)²} \, dz
  \end{align*}
  gilt.
  

  \paragraph*{Schritt 2: Diskussion der Funktion $f$}

  Betrachte die Funktion unter dem Integral:
  \[
    \varphi': B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] \to ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{(z_0 + r · \exp(it) - w)²}.
  \]
  Die Funktion $\varphi'$ ist stetig.  Zusätzlich gilt für jedes $t ∈ [0, 2π]$,
  dass die Funktion $\varphi'(·, t): B_r(z_0) → ℂ$ holomorph ist.  Damit folgt
  aus dem Satz über die komplexe Ableitung unter dem Integral,
  Satz~\ref{satz:3-1-12}, dass $f'$ auf $B_r(z_0)$ komplex differenzierbar ist
  (wissen wir noch nicht) und dass für alle $w ∈ B_r(z_0)$ die Gleichung
  \[
    f''(w) = ⋯
  \]
  gilt.

  \paragraph*{Schritt 3: Iteriere ad Infimum}

  Induktiv erhalten wir so die Behauptung.
\end{proof}

\begin{kor}[Satz von Liouville\footnote{Joseph Liouville (* 24.~März 1809 in Saint-Omer; † 8.~September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{kor:4-4-3}%
  \index{Satz von Liouville}Sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ eine auf ganz $ℂ$ holomorphe
  Funktion.  Falls $|f|$ beschränkt ist, dann ist $f$ konstant.
\end{kor}
\begin{proof}
  Sei $M ∈ ℝ⁺$ eine obere Schranke von $|f|$.  Dann gilt nach dem
  Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat für alle Zahlen $r > 0$ die Gleichung
  \[
    f'(0) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(0)} \frac{f(z)}{(z - 0)²} \, dz.
  \]
  Es gilt also für alle Zahlen $r > 0$ die Abschätzung
  \[
    |f'(0)| ≤ \frac{M}{2π} · 2π r · \frac{1}{r²}.
  \]
  Also $f'(0) = 0$.  Analog zeigt man für alle anderen $z ∈ ℂ$ ebenfalls, dass
  $f'(z) = 0$ ist.  Nach Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} ist $f$ damit konstant.
\end{proof}

% !TEX root = Funktionentheorie
