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\chapter{Singuläre Stellen holomorpher Funktionen}

\section{Isolierte Singularitäten}

Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei
$ρ ∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus ρ)$.
Was kann ich über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?

\begin{bsp}
  In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$.
  \begin{enumerate}
  \item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion,
    die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die
    \emph{Singularität von $f$  bei $ρ$ ist hebbar}.

  \item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer
    holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist $f$
    ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
    definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ^+$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
    \setminus 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn
    $z·f(z)$ ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
    Polstelle}.

  \item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$
    echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
    Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu
    betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
  \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
  Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
  holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge
  ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten]
  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$.
  \begin{enumerate}
  \item Wenn es eine Funktion $F ∈ \sO( (U \setminus T) \cup \{ρ\})$, die auch 
    $U \setminus T$ mit $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei
    $ρ$ eine \emph{hebbare Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.

  \item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈
    ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat,
    dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle}
    hat. Die kleinste Zahl $n$ heisst
    \emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$.

  \item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine
  Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{wesentliche
  Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat.
  \end{enumerate}
\end{definition}

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