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\chapter{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}

Ich beginne mit einer Erinnerung.

\begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
  sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
  sodass Folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
  \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
  \item Die eingeschränkte Abbildung $f|_V: V → W$ ist bijektiv und die
    Umkehrfunktion ist holomorph.
  \end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
  Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft  komplex
  differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
  wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
  lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$,
  sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für
  jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$.  Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist  die
  Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
\end{proof}

\sideremark{Vorlesung: 12}Wir haben diese Argumente schon benutzt, um zu zeigen,
dass jeder Punkt aus $ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion
existiert.

\begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
  Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V =
  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ \sO(V)$ sodass folgendes gilt:
  \begin{enumerate}
  \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$, und
  \item die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$,
  dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können.

  Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
  $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$
  die folgende Gleichung gilt:
  \[
    f(z) = z^n·g(z).
  \]
  Insbesondere gibt es offene Umgebung $\Omega = \Omega(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf
  $\Omega$ eine $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: \Omega →
  ℂ^*$ sodass für jedes $\omega \in \Omega$ die Gleichung $r(\omega)^n = \omega$
  gilt.  
  Setze dann $V := D \cap g^{-1}(\Omega)$ und definiere die Funktion
  \[
    b : V \to \bC, \quad z \mapsto z·r(g(z)).
  \]
  Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
\end{proof}

Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass  lokal jede
holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Der folgende Satz macht diese
Aussage präzise.

\begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
  $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es Einbettungen der
  Einheitskreisscheibe,
  \[
    u, v: Δ → ℂ,
  \]
  sodass die folgenden Eigenschaften gelten
  \[
    u(\Delta) \subseteq U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ).
  \]
  Zusätzlich gilt: Es gibt eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass das folgende Diagramm
  kommutiert
  \[
    \begin{tikzcd}
      Δ \ar[r, "u"] \ar[d, "z \mapsto z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
      Δ \ar[r, "v"'] & ℂ.
    \end{tikzcd}
  \]
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir betrachten die Funktion $z \mapsto f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine
  Nullstelle hat. Sei $1 \leq n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei
  $p$. Nach Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt
  es eine Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
  \[
    b: V → ℂ
  \]
  mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$.

  Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$.  Wir können daher ein Skalar
  $λ ∈ ℝ^+$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
  Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung
  \[
    u : \Delta \to \bC, \quad z \mapsto \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
  \]
  und setze
  \[
    U := (λ·b)^{-1}(Δ).
  \]
  Dann ist $u: Δ → U$ eine biholomorphe Abbildung und für jedes $z ∈ U$ gilt:
  \begin{align*}
    \left(u^{-1}(z)\right)^n & = \left(λ·b(z)\right)^n \\
    & = λ^n·b(z)^n \\
    & = λ^n·(f(z) - ρ)^n \\
    & = \left(\sqrt[n]{λ}·(f(z) - ρ)\right)^n.
  \end{align*}
  Betrachte dann die Abbildung
  \[
    v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ.
  \]
  Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir
  annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
  \[
    f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n.
  \]
  Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$,
  also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass  es eine
  Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge
  ist.
\end{proof}

Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die
Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten
wir:

\begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ \sO(U)$ nicht konstant.
  Dann ist $f(U) ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend.
\end{satz}
\begin{proof}
  Nach dem Satz über die lokale Struktur ist $f(U)$ offen, weil die Abbildung
  $f$ offen ist. Aus der Vorlesung  „Analysis II“ wissen wir: Bilder
  zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend.
\end{proof}

\begin{notation}
  In der Funktionentheorie nennt man offene, zusammenhängende Teilmengen des $ℂ$
  oft \emph{Gebiete}\index{Gebiet}.  Satz~\ref{satz:gebietstreue} sagt in dieser
  Sprache: ist die Funktion nicht konstant, dann sind Bilder von Gebieten selbst
  wieder Gebiete.
\end{notation}

Als Beispielanwendung erhalten wir einen neuen Beweis des Maximumsprinzips.

\begin{satz}[Maximumsprinzip]
  Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ \sO(U)$ sei eine nicht-konstante, holomorphe
  Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in $U$.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, es gebe ein $ρ ∈ U$ sodass
  $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können wir
  ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein globales
  Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$, sodass
  $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch Punkten mit
  größerem Betrag.
\end{proof}

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