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\chapter{Wegintegrale}

\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}

In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Intervall.
Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.

\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}%
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n
  \]
  durch komponentenweise Integration.
\end{definition}

\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
  $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ mithilfe von
  Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis nicht von der
  Wahl der Basis abhängt.
\end{definition}

\begin{bsp}
  Es ist
  \[
    \int_0^{2π} \exp(i · t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2π} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2π} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 ∈ ℂ.
  \]
\end{bsp}

Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.

\begin{prop}
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
  \item Für jedes $c ∈ (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt +
  \int_c^b f(t) \, dt$.

  \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum ist und $φ: V → W$ linear,
  dann ist
  \[
    \int_a^b (φ ◦ f)(t) \, dt = φ \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
  \]

  \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
  (b-a) · \vec{v}$

  \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| ≤
  \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
  \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{definition}[Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
  Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
  die Gleichung $F' = f$ gilt.
\end{definition}

\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Dann ist
  \[
    F: [a,b] → V, \quad t ↦ \int_a^t f(u) \, du
  \]
  eine Stammfunktion \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
  Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion.  Dann ist
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion.  Dann ist
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\sideremark{Vorlesung 4}

\begin{bsp}[Integrale und Stammfunktionen]
  Durch die Formel $\frac{1}{i} \exp(it)$ ist eine Stammfunktion von $\exp(it)$
  gegeben.  Also ist
  \[
    \int_0^{2π} \exp(it) \, dt = \frac{1}{i} \left( \exp(2πi) - \exp(2πi · 0) \right) = 0.
  \]
\end{bsp}


\subsection{Rechenregeln zur Integration}

\begin{satz}[Substitution]\label{satz:substitution}%
  Es sei $[α,β] ⊂ ℝ$ nicht leer und kompakt, und $γ: [α,β] → [a,b]$ sei
  differenzierbar.  Dann ist
  \[
    \int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds.  \qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von
  holomorphen Funktionen.  Falls die Abbildung
  \[
    f: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ f_t(z)
  \]
  und
  \[
    \frac{∂f}{∂z}: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ \frac{∂f_t}{∂z}(z)
  \]
  beide stetig sind, dann ist die Abbildung
  \[
    F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_0^b f_t(z) \, dt
  \]
  holomorph und
  \[
    \frac{dF}{dz}(z) = \int_0^b \frac{∂f_t}{∂z}(z) \, dt.  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Hausaufgabe]
  Partielle Integration funktioniert so, wie man denkt.
\end{satz}

\begin{satz}[Hausaufgabe]
  Partialbruchzerlegung funktioniert so, wie man denkt:
  \[
    \frac{1}{1 + x²} = \frac{i/2}{x+i} + \frac{-i/2}{x-i}.
  \]
\end{satz}


\section{Wegintegrale}

\begin{definition}[Wegintegrale]\label{def:3-2-1}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
  stetig differenzierbarer Weg.  Dann definiert man das
  \emph{Wegintegral}\index{Wegintegral} als
  \[
    \int_γ f(z) \, dz := \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt.
  \]
\end{definition}

\begin{bsp}[Wegintegral]\label{bsp:3-2-2}%
  Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$.  Weiter betrachten wir den Weg
  \[
    γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
  \]
  der einen Kreis mit Radius $r$ um den Nullpunkt beschreibt.  Dann ist
  \begin{align*}
    \int_γ f(z) \, dz &= \int_0^{2π} \left[ r · \exp(it) \right]^n · ri · \exp(it) \, dt \\
    &= i · \int_0^{2π} r^{n+1} · \exp\bigl((n+1)it\bigr) \, dt \\
    &= \begin{cases}
      0 & \text{falls } n ≠ -1 \\
      2πi & \text{falls } n = -1.
    \end{cases}
  \end{align*}
\end{bsp}

\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wegs]
  Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege
  zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$
  stückweise stetig differenzierbar.  Dann definiert man
  \[
    \int_γ f(z) \, dz
  \]
  als Summe der Integrale über die (endlich vielen) stetig differenzierbaren
  Teilwege.
\end{erg}


\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}

\begin{prop}[Umkehrung des Weges]
  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
  derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
  Dann ist
  \[
    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz.  \eqno\qed
  \]
\end{prop}

\begin{prop}[Unabhängigkeit von der Parametrisierung]
  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $δ : [c, d] → [a,b]$
  stetig differenzierbar mit $δ(c) = a$ und $δ(d) = b$.  Dann ist
  \[
    \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz = \int_γ f(z) \, dz.
  \]
\end{prop}
\begin{proof}
  Um die Notation zu entwickeln, schreibe
  \[
    φ: [a,b] → ℂ, \quad φ(t) = f(γ(t)) · γ'(t).
  \]
  Dann
  \begin{align*}
    \int_γ f(z) \, dz &= \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt = \int_a^b φ(t) \, dt \\
    &= \int_c^d φ(δ(s)) · δ'(s) \, ds && \text{Substitutionsregel} \\
    &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · γ'(δ(s)) · δ'(s) \, ds \\
    &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · (γ ◦ δ)' \, ds && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
    &= \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz.  && \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{beobachtung}[Abschätzungen]
  Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
  daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
  \[
    L(γ) := \int_0^b |γ'(t)| \, dt
  \]
  gegeben ist.  Damit erhalten wir die Abschätzung
  \[
    \left| \int_γ f(z) \, dz \right| ≤ \int_a^b |f(γ(t))| · |γ'(t)| \, dt ≤ \sup_{t ∈ [a,b]} |f(γ(t))| · L(γ).
  \]
\end{beobachtung}


\section{Wegintegrale und Stammfunktionen}

\begin{definition}[Stammfunktion]
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig.  Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
  heißt \emph{Stammfunktion}\index{Stammfunktion} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
\end{definition}

Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: einmal für Funktionen auf reellen
Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, einmal für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen
von $ℂ$.  Die Begriffe hängen offenbar zusammen.

\begin{beobachtung}
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$.
  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar.  Dann ist
  \begin{align*}
    (F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
    & = (f ◦ γ) · γ' && F ◦ γ \text{ ist Stammfunktion auf } [a,b] \text{ von } (f ◦ γ) · γ'.
  \end{align*}
  Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
  \[
    \int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).
  \]
\end{beobachtung}


\subsection{Berechnung von Wegintegralen mithilfe von Stammfunktionen}

\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
  Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
  $f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
  und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst.  Insbesondere gilt: Wenn
  $γ$ ein geschlossener Weg ist (d.h.~Startpunkt = Endpunkt), dann ist $\int_γ
  f(z) \, dz = 0$.
\end{kons}

\begin{bsp}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
  Betrachte die Situation von Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}.  Für $n ≠ -1$ ist
  $\frac{1}{n+1} · z^{n+1}$ eine Stammfunktion von $z^n$.  Also ist für $n ≠ -1$
  das Integral
  \[
    \int_γ z^n \, dz = 0, \quad \text{wo } γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ \exp(it).
  \]
  Für $n = -1$ gibt es keine auf ganz $ℂ^*$ definierte Stammfunktion, denn das
  wäre der Logarithmus.
\end{bsp}

\begin{kons}[Funktionen mit verschwindender Ableitung]\label{kons:3-2-11}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph mit $f' \equiv 0$.  Dann ist
  $f$ lokal konstant.
\end{kons}

Vor dem Beweis der Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} erinnere ich an zwei elementare
Fakten der Analysis und Topologie.

\begin{fakt}[Zerlegung in Zusammenhangskomponenten]\label{fakt:3-2-12}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Dann kann ich $U$ auf eindeutige Weise schreiben als
  \[
    U = \bigcup_{α ∈ A} U_α,
  \]
  wobei die Teilmengen $U_α ⊂ ℂ$ offen, zusammenhängend und disjunkt sind.
  \qed
\end{fakt}

\begin{fakt}[Zusammenhang und Wegzusammenhang]\label{fakt:3-2-13}%
  Wenn $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend ist, und wenn $z_1, z_2 ∈ U$ sind, dann
  gibt es einen stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und
  $γ(1) = z_2$.  \qed
\end{fakt}

\begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:3-2-11}]
  Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
  annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist.  Seien nun zwei
  Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben.  Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen
  stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
  z_2$.  Dann ist aber
  \[
    f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0.
  \]
  Da dies für alle Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gilt, ist die Konstanz der Funktion
  $f$ gezeigt.
\end{proof}


\subsection{Konstruktion von Stammfunktionen durch Wegintegrale}

Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U \subset
\bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ stetig. Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U
\to \bC$ besitzt, dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg 
$\gamma: [a,b] \to U$ die Gleichung
\[
\int_\gamma f(z)\, dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)).
\]
Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab. Insbesondere gilt:
Wenn der Weg $\gamma$ geschlossen ist (das bedeutet: $\gamma(a) = \gamma(b)$),
dann ist
\[
\int_\gamma f(z)\, dz = 0.
\]
Ziel dieses Kapitels ist die Umkehrung dieser Aussage: Wir wollen zeigen, dass
die Existenz einer Stammfunktion bereits aus der Tatsache folgt, dass das
Wegintegral nur von Start- und Endpunkt abhängt.  Die folgende Beobachtung wird
beim Beweis helfen.

\begin{beobachtung}
  Es sei $U \subseteq \bC$ offen und es sei $f: U \to \bC$ eine Funktion, sodass
  für jeden geschlossenen Weg $\gamma$ stets $\int_\gamma f(z)\, dz = 0$ ist.
  Gegeben seien zwei (stückweise) stetig differenzierbare Wege
  \[
    \gamma_1: [a_1, b_1] \to U \qquad \gamma_2: [a_2, b_2] \to U
  \]
  mit identischem Start- und Endpunkt,
  \[
    \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2) =: z_a \quad\text{und}\quad \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2) =: z_b.
  \] 
  Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $\gamma_1$ und $\gamma_2$ gleich
  sind. Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $\gamma_1$ hin und dann
  $\gamma_2$ zurück durchläuft. Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise
  stetig differenzierbaren Weg
  \[
    \delta: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] \to U, \quad t \mapsto 
    \begin{cases}
      \gamma_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
      \gamma_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
    \end{cases}
  \]
  Dann gilt:
  \begin{align*}
    0 & = \int_\delta f(z)\, dz && \text{weil $\delta$ geschlossen} \\
    & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
  \end{align*}
  Also folgt:
  \[
    \int_{\gamma_1} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
  \]
  Zusammenfassung: Wenn das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg
  verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von
  Start- und Endpunkt ab.
\end{beobachtung}

\begin{satz}[Existenz von Stammfunktionen]\label{satz:3-3-9}%
  Sei $U \subset \mathbb{C}$ offen, und sei $f: U \to \bC$ stetig. Falls die
  Wegintegral $\int_{\bullet} f(d)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen,
  dann existiert eine Stammfunktion.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die offene Menge
  $U$ zusammenhängend ist -- ansonsten betrachte die Zusammenhangskomponenten
  einzeln. Wähle einen Punkt $z_0 \in U$. Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
  Start- und Endpunkt abhängen, erlaubt die Definition der folgenden Funktion:
  \[
    F: U \to \bC, \quad z \mapsto \int_\gamma f(z)\, dz, \text{ wobei $\gamma$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
  \]
  Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.  Dazu müssen wir
  zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
  $F' = f$ gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass
  \begin{equation}\label{eq:3-3-9-1}
    \lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
  \end{equation}
  ist.  Dazu wähle irgendeinen Weg $\delta: [0, 1] \to U$ mit $\delta(0) = z_0$,
  und $\delta(1) = p$.  Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag
  ist die Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten.
  Gegeben ein solches $h$, betrachten wir den Weg 
  \[  
    \gamma_h: [0, 1] \to U, \quad t \mapsto p + t \cdot h.
  \]
  Dann ist
  \[
    F(p) = \int_\delta f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_\delta f(z)\, dz + \int_{\gamma_h} f(z)\, dz.
  \]
  Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die Gleichung
  \begin{align*}
    \frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{\gamma_h} f(z)\, dz}{h} \\
    & = \frac{1}{h} \int_0^1 f(\gamma_h(t)) \cdot \gamma_h'(t)\, dt \\
    & = \frac{1}{h} \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
    & = \int_0^1 f(p + th)\, dt.
  \end{align*}
  Gleichung~\eqref{eq:3-3-9-1} folgt sofort, weil $f$ bei $p$ stetig ist!
\end{proof}


\subsection{Rechteckwege}

Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein.  Die Voraussetzung ist aber sehr
stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden. Das ist
in der Praxis schwer zu überprüfen.  Wir wollen daher eine Variante des Satzes
beweisen, die eine schwächere Voraussetzung hat.  Dazu betrachten statt
beliebigen nur noch achsenparallele Wege der folgenden Art.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
  \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

Statt beliebiger geschlossener Wege betrachtet man nur „Rechteckwege“ der
folgenden Art.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
    \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$\gamma_2$};
    \draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$\gamma_3$};
    \draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$\gamma_4$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{notation}
  Gegeben eine offene Menge $U \subseteq \bC$, ein achsenparalleles Rechteck
  $\mathcal{R} \subset U$ und eine stetige Funktion $f : U \to \bC$, dann nennt
  man
  \[
    \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz + \int_{\gamma_3} f(z)\, dz + \int_{\gamma_4} f(z)\, dz
  \]
  das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
\end{notation}

\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe]\label{satz:3-3-11}%
  Es sei $U = \{z \in \bC \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U \to
  \bC$ eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele
  Rechtecke stets verschwindet. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
  Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal. Es gilt:
  „Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn \ldots“. Die
  Umkehrrichtung ist ja schon aus dem letzten Kapitel bekannt.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Satz~\ref{satz:3-3-11} zeigt dieselbe Folgerung wie Satz~\ref{satz:3-3-9},
  aber unter schwächeren Voraussetzungen. Also ist der Beweis aufwändiger. Die
  Grundidee ist aber dieselbe.
\end{bemerkung}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-3-11} als Bildgeschichte]
  Gegeben irgendeinen Punkt $p \in U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt
  durch zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
  verlaufen. Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine  Kreisscheibe ist.
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \draw (0,0) circle (2cm);
      \draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
      \draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$\gamma_2$};
      \node at (1.5,1) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$p$] {};
      \node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=below:$0$] {};
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  Definiere damit eine Funktion
  \[
    F : U \to \bC, \quad p \mapsto \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\gamma_2} f(z)\, dz.
  \]
  Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.  Dazu müssen wir zeigen,
  dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
  gilt. Sei also ein Punkt $p \in U$ gegeben.

  Ich diskutiere erst einmal die partielle Ableitung von $F$ nach $x$.  Gegeben
  eine hinreichend kleine reelle Zahl $h$, betrachte die folgenden Wege, die
  wieder vollständig innerhalb von $U$ verlaufen.
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
      \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$\gamma_1$};
      \draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$\delta_1$};
      \draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$\gamma_2$};
      \draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$\delta_2$};
      \draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$\delta_3$};
      \node at (2,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=left:$p$] {};
      \node at (3,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=right:$p+h$] {};
      \node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1pt,label=below:$0$] {};
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
   Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
  \begin{align*}
    F(p + h) & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
    & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz \\
    & \qquad - \bigl(\int_{\delta_1} f(z)\, dz + \int_{\delta_2} f(z)\, dz + \int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
    & = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{\delta_3} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz\bigr) \\
    & = F(p) - \int_{\delta_3} f(z)\, dz.
    \intertext{Also ist}
    F(p+h) - F(p) & = -\int_{\delta_3} f(z)\, dz = \int_0^1 f(p + t \cdot h) \cdot h\, dt \\
  \end{align*}
  und damit
  \[
    \lim_{h \to 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
  \]
  Zusammenfassung: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $x$
  differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial x}(p) = f(p)$. Analog
  beweist man: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$
  differenzierbar und es ist $\frac{\partial F}{\partial y}(p) = i \cdot f(p)$.
  Das hat zwei Konsequenzen.
  \begin{itemize}
    \item Weil $f$ stetig ist, haben wir gezeigt, dass $F$ stetig partiell
    differenzierbar ist, also total differenzierbar.

    \item Es ist $\frac{\partial F}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial
    F}{\partial x} + i \frac{\partial F}{\partial y} = 0$. Also erfüllen die
    partiellen Ableitungen von $F$ die Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
  \end{itemize}
  In der sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$ gilt.
\end{proof}


\section{Homotopie von Wegen}

Gegeben eine offene Menge $U \subset \mathbb{C}$, und Punkte $z_0, z_1 \in U$, so betrachten wir Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.

Anschaulich ist klar, dass manche dieser Wege ineinander übergeführt werden können und andere nicht.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) ellipse (2cm and 1.5cm);
\draw (0.5,0) circle (0.3cm);
\node at (-1.5,0.5) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$z_0$] {};
\node at (1.5,0.5) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=right:$z_1$] {};
\draw[thick] (-1.5,0.5) .. controls (-0.5,1) and (0.5,1) .. (1.5,0.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textbf{Def} Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] \subset \mathbb{R}$ ein kompaktes Intervall. Zwei stetige Wege
\[
\gamma_0: [a, b] \to U, \quad \gamma_1: [a, b] \to U \quad \text{mit } \gamma_0(a) = \gamma_1(a), \quad \gamma_0(b) = \gamma_1(b)
\]
heißen homotop, wenn es stetig, Abb
\[
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \longrightarrow U
\]
gibt sodass
\begin{itemize}
\item $\forall s \in [0, 1]$ $\Gamma(a, s) = \gamma_0(a)$. $\Gamma(b, s) = \gamma_0(b)$
\item $\forall t \in [a, b]$ $\Gamma(t, 0) = \gamma_0(t)$, $\Gamma(t, 1) = \gamma_1(t)$
\end{itemize}

Man kann dann $\Gamma_s(t) := \Gamma(t, s)$ als Familie von Wegen auffassen, die stetig zwischen $\gamma_0$ und $\gamma_1$ interpoliert.

\textbf{Def} Situation wie oben. Ein geschlossener Weg heißt zusammenziehbar, wenn er homotop zu einem konstanten Weg ist. Der Raum $U$ heißt ``wegweise einfach zusammenhängend'', wenn jeder geschlossener Weg zusammenziehbar ist.

\textbf{Beispiel 1} $U =$ Kreisscheibe, $\gamma_0: [a, b] \to U$ ein Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 0$. Dann ist
\[
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - t) \cdot \gamma_0(t)
\]
eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv 0$.

Also ist $\gamma_0$ zusammenziehbar.

\textbf{Beispiel 2} $U =$ Kreisscheibe $\gamma_0: [a, b] \to U$ irgendein geschl. Weg mit $\gamma_0(a) = \gamma_0(b) = 2$. Dann ist
\[
\Gamma: [a, b] \times [0, 1] \to U, \quad (t, s) \mapsto (1 - s) \cdot (\gamma_0(t) - 2) + 2
\]
eine Homotopie zwischen $\gamma_0$ und dem konstanten Weg $\gamma_1 \equiv 2$.

Also ist der Kreisscheibe 1-zusammenhängend.
% !TEX root = Funktionentheorie