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\chapter{Wegintegrale}

\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}

In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Intervall.
Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.

\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}%
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n
  \]
  durch komponentenweise Integration.
\end{definition}

\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
  $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ mithilfe von
  Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis nicht von der
  Wahl der Basis abhängt.
\end{definition}

\begin{bsp}
  Es ist
  \[
    \int_0^{2π} \exp(i · t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2π} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2π} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 ∈ ℂ.
  \]
\end{bsp}

Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.

\begin{prop}
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
  \item Für jedes $c ∈ (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt +
  \int_c^b f(t) \, dt$.

  \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum ist und $φ: V → W$ linear,
  dann ist
  \[
    \int_a^b (φ ◦ f)(t) \, dt = φ \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
  \]

  \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
  (b-a) · \vec{v}$

  \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| ≤
  \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
  \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{definition}[Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
  Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
  die Gleichung $F' = f$ gilt.
\end{definition}

\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Dann ist
  \[
    F: [a,b] → V, \quad t ↦ \int_a^t f(u) \, du
  \]
  eine Stammfunktion \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
  Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion.  Dann ist
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion.  Dann ist
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\sideremark{Vorlesung 4}

\begin{bsp}[Integrale und Stammfunktionen]
  Durch die Formel $\frac{1}{i} \exp(it)$ ist eine Stammfunktion von $\exp(it)$
  gegeben.  Also ist
  \[
    \int_0^{2π} \exp(it) \, dt = \frac{1}{i} \left( \exp(2πi) - \exp(2πi · 0) \right) = 0.
  \]
\end{bsp}


\subsection{Rechenregeln zur Integration}

\begin{satz}[Substitution]\label{satz:substitution}%
  Es sei $[α,β] ⊂ ℝ$ nicht leer und kompakt, und $γ: [α,β] → [a,b]$ sei
  differenzierbar.  Dann ist
  \[
    \int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds.  \qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von
  holomorphen Funktionen.  Falls die Abbildung
  \[
    f: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ f_t(z)
  \]
  und
  \[
    \frac{∂f}{∂z}: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ \frac{∂f_t}{∂z}(z)
  \]
  beide stetig sind, dann ist die Abbildung
  \[
    F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_0^b f_t(z) \, dt
  \]
  holomorph und
  \[
    \frac{dF}{dz}(z) = \int_0^b \frac{∂f_t}{∂z}(z) \, dt.  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Hausaufgabe]
  Partielle Integration funktioniert so, wie man denkt.
\end{satz}

\begin{satz}[Hausaufgabe]
  Partialbruchzerlegung funktioniert so, wie man denkt:
  \[
    \frac{1}{1 + x²} = \frac{i/2}{x+i} + \frac{-i/2}{x-i}.
  \]
\end{satz}


\section{Wegintegrale}

\begin{definition}[Wegintegrale]\label{def:3-2-1}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
  stetig differenzierbarer Weg.  Dann definiert man das
  \emph{Wegintegral}\index{Wegintegral} als
  \[
    \int_γ f(z) \, dz := \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt.
  \]
\end{definition}

\begin{bsp}[Wegintegral]\label{bsp:3-2-2}%
  Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$.  Weiter betrachten wir den Weg
  \[
    γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
  \]
  der einen Kreis mit Radius $r$ um den Nullpunkt beschreibt.  Dann ist
  \begin{align*}
    \int_γ f(z) \, dz &= \int_0^{2π} \left[ r · \exp(it) \right]^n · ri · \exp(it) \, dt \\
    &= i · \int_0^{2π} r^{n+1} · \exp\bigl((n+1)it\bigr) \, dt \\
    &= \begin{cases}
      0 & \text{falls } n ≠ -1 \\
      2πi & \text{falls } n = -1.
    \end{cases}
  \end{align*}
\end{bsp}

\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wegs]
  Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege
  zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$
  stückweise stetig differenzierbar.  Dann definiert man
  \[
    \int_γ f(z) \, dz
  \]
  als Summe der Integrale über die (endlich vielen) stetig differenzierbaren
  Teilwege.
\end{erg}


\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}

\begin{prop}[Umkehrung des Weges]
  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
  derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
  Dann ist
  \[
    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz.  \eqno\qed
  \]
\end{prop}

\begin{prop}[Unabhängigkeit von der Parametrisierung]
  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $δ : [c, d] → [a,b]$
  stetig differenzierbar mit $δ(c) = a$ und $δ(d) = b$.  Dann ist
  \[
    \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz = \int_γ f(z) \, dz.
  \]
\end{prop}
\begin{proof}
  Um die Notation zu entwickeln, schreibe
  \[
    φ: [a,b] → ℂ, \quad φ(t) = f(γ(t)) · γ'(t).
  \]
  Dann
  \begin{align*}
    \int_γ f(z) \, dz &= \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt = \int_a^b φ(t) \, dt \\
    &= \int_c^d φ(δ(s)) · δ'(s) \, ds && \text{Substitutionsregel} \\
    &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · γ'(δ(s)) · δ'(s) \, ds \\
    &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · (γ ◦ δ)' \, ds && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
    &= \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz.  && \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{beobachtung}[Abschätzungen]
  Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
  daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
  \[
    L(γ) := \int_0^b |γ'(t)| \, dt
  \]
  gegeben ist.  Damit erhalten wir die Abschätzung
  \[
    \left| \int_γ f(z) \, dz \right| ≤ \int_a^b |f(γ(t))| · |γ'(t)| \, dt ≤ \sup_{t ∈ [a,b]} |f(γ(t))| · L(γ).
  \]
\end{beobachtung}


\subsection{Wegintegrale und Stammfunktionen}

\begin{definition}[Stammfunktion]
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig.  Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
  heißt \emph{Stammfunktion}\index{Stammfunktion} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
\end{definition}

Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: einmal für Funktionen auf reellen
Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, einmal für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen
von $ℂ$.  Die Begriffe hängen offenbar zusammen.

\begin{beobachtung}
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$.
  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar.  Dann ist
  \begin{align*}
    (F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
    & = (f ◦ γ) · γ' && F ◦ γ \text{ ist Stammfunktion auf } [a,b] \text{ von } (f ◦ γ) · γ'.
  \end{align*}
  Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
  \[
    \int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).
  \]
\end{beobachtung}

\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
  Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
  $f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
  und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst.  Insbesondere gilt: Wenn
  $γ$ ein geschlossener Weg ist (d.h.~Startpunkt = Endpunkt), dann ist $\int_γ
  f(z) \, dz = 0$.
\end{kons}

\begin{bsp}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
  Betrachte die Situation von Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}.  Für $n ≠ -1$ ist
  $\frac{1}{n+1} · z^{n+1}$ eine Stammfunktion von $z^n$.  Also ist für $n ≠ -1$
  das Integral
  \[
    \int_γ z^n \, dz = 0, \quad \text{wo } γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ \exp(it).
  \]
  Für $n = -1$ gibt es keine auf ganz $ℂ^*$ definierte Stammfunktion, denn das
  wäre der Logarithmus.
\end{bsp}

\begin{kons}[Funktionen mit verschwindender Ableitung]\label{kons:3-2-11}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph mit $f' \equiv 0$.  Dann ist
  $f$ lokal konstant.
\end{kons}

Vor dem Beweis der Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} erinnere ich an zwei elementare
Fakten der Analysis und Topologie.

\begin{fakt}[Zerlegung in Zusammenhangskomponenten]\label{fakt:3-2-12}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Dann kann ich $U$ auf eindeutige Weise schreiben als
  \[
    U = \bigcup_{α ∈ A} U_α,
  \]
  wobei die Teilmengen $U_α ⊂ ℂ$ offen, zusammenhängend und disjunkt sind.
  \qed
\end{fakt}

\begin{fakt}[Zusammenhang und Wegzusammenhang]\label{fakt:3-2-13}%
  Wenn $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend ist, und wenn $z_1, z_2 ∈ U$ sind, dann
  gibt es einen stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und
  $γ(1) = z_2$.  \qed
\end{fakt}

\begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:3-2-11}]
  Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
  annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist.  Seien nun zwei
  Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben.  Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen
  stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
  z_2$.  Dann ist aber
  \[
    f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_{γ} 0 \, dz = 0.  \qed
  \]
\end{proof}

% !TEX root = Funktionentheorie

