% spell checker language \selectlanguage{german} \chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz} \begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}% \index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$. \end{satz} \begin{bem} Die Annahme $U ⊊ \bC$ ist wichtig, denn $U = \bC$ ist nicht biholomorph zu $B_1(0)$. \end{bem} \section{Der Satz von Montel} Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt „gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan beschränkt“. \begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}% Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R ∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung $|f_n(p)| < R$ gilt. Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$ gleichmäßig beschränkt ist. \end{defn} \begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April 1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}% Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte Folge von holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal gleichmäßig konvergiert. \end{satz} \begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März 1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer Mathematiker und Politiker.}]% Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen. Dann gibt es eine konvergente Teilfolge. Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das: wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1}, f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert. \end{erinnerung} \begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}% Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt. Insbesondere gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$. \begin{itemize} \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$ konvergiert. \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei $p_1$ und $p_2$ konvergiert. \item … \end{itemize} Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei allen $p_k$! \end{vorueberlegung} \begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}% Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für Ableitungen die Gleichung \[ f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz. \] Beachte: \begin{itemize} \item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt. \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls betragsmäßig beschränkt. \end{itemize} Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt. Genauer: es existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung \[ |f_n'(w)| < M \] gilt. \end{vorueberlegung} Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}. \begin{konsequenz}[Mittelwertsatz] In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung \[ |f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w| \] gilt. \qed \end{konsequenz} \begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}% In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine Zahl $ε > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$, sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung \[ |f_n(p) - f_n(w)| < ε/3 \] gilt. \qed \end{konsequenz} \begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel] Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig) durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert, sodass $f_n(p_k)$ konvergiert. Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung \[ |f_n(p) - f_m(p)| < ε \] gilt. Seien also $K$ und $ε$ gegeben. Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene Überdeckung von $U$. Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser Kreisscheiben die Menge $K$. Nach Umnummerierung seien dies \[ B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}). \] Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung \[ |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3 \] gilt. Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$, sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt: \begin{align*} |f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\ & ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\ & ≤ ε. \end{align*} Damit ist der Satz bewiesen. \end{proof} % !TEX root = Funktionentheorie