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\chapter{Wegintegrale}

\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}

In diesem Abschnitt ist $[a,b] \subset \mathbb{R}$ stets ein nicht leeres,
kompaktes Intervall. Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler
Vektorraum.

\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $\bR^n$]\label{def:3-1-1}%
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$, dann definiert man
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt \in \bR^n
  \]
  durch komponentenweise Integration.
\end{definition}

\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] \to V$, dann wählt man eine Basis von
  $V$ mit $\mathbb{R}^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
  mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
  nicht von der Wahl der Basis abhängt.
\end{definition}

\begin{bsp}
  Es ist
  \[
    \int_0^{2\pi} \exp(i \cdot t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 \in \mathbb{C}.
  \]
\end{bsp}

Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.

\begin{prop}
  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
  \item Für jedes $c \in (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt + \int_c^b f(t) \, dt$.

  \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und $\phi: V \to W$ linear, dann ist
  \[
    \int_a^b (\phi \circ f)(t) \, dt = \phi \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
  \]

  \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
  (b-a) \cdot \vec{v}$

  \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| \leq
  \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
  \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{definition}[Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Eine Abbildung $F: [a,b] \to V$ heißt
  Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
  die Gleichung $F' = f$ gilt.
\end{definition}

\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig. Dann ist
  \[
    F: [a,b] \to V, \quad t \mapsto \int_a^t f(u) \, du
  \]
  eine Stammfunktion \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
  Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] \to V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion. Dann ist
\[
  \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a). \qed
\]
\end{satz}

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