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\chapter{Differenzierbarkeit}

\section{Holomorphe Funktionen}

Wir definieren in wenigen Zeilen, komplexe Differenzierbarkeit von Funktionen
$ℂ → ℂ$.  Vorher erinnern wir kurz an die relevanten Begriffe aus den
Analysis-Vorlesungen.

\begin{definition}[Reelle Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-1}
  Es sei $U ⊂ ℝ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℝ$ ist
  bei $p$ differenzierbar mit Ableitung $δ ∈ ℝ$, wenn
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
  \]
  ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Reell differenzierbare Funktionen sind stetig.  Es gelten die Summenregel,
  Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, …
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Komplexe Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-3}
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℂ$ ist
  bei $p$ komplex differenzierbar\index{komplex differenzierbar} mit Ableitung
  $δ ∈ ℂ$, wenn
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
  \]
  ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Genau wie in der Vorlesung „Analysis“ beweist man: komplex differenzierbare
  Funktionen sind stetig.  Es gelten die Summenregel, Produktregel,
  Quotientenregel, Kettenregel, …
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Holomorphie an einem Punkt]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt
  „holomorph\index{holomorph} bei $p$“, wenn es eine offene Umgebung $p ∈ V ⊂ U$
  gibt, sodass $f$ bei jedem Punkt aus $V$ komplex differenzierbar ist.  Die
  Menge der Funktionen, die bei $p$ holomorph sind, wird mit $𝒪_p$ bezeichnet.
\end{definition}

\begin{definition}[Holomorphie auf einer offenen Menge]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt „holomorph
  auf $U$“, wenn $f$ bei jedem Punkt aus $U$ komplex differenzierbar ist.  In
  diesem Fall wird die Ableitungsfunktion mit $f' : U → ℂ$ bezeichnet.  Die
  Menge der Funktionen, die auf $U$ holomorph sind, wird mit $𝒪(U)$
  bezeichnet.
\end{definition}


\section{Komplex Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}

Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus.  Das
wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer
Begriff?  Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von
Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen?

\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]
  Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$.  Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$
  differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
  \]
  Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℝ²$ ist
  \[
    \lim_{n → ∞} \frac{|f(p+h_n) - f(p) - A · h_n|}{|h_n|} = 0.
  \]
  Falls $f$ bei $p$ differenzierbar ist, dann wissen wir auch genau, wie die
  Ableitungsmatrix $A$ aussieht.  Dazu schreiben wir die Funktion $f$ zuerst in
  Komponenten,
  \[
    f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}.
  \]
  Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen,
  \[
    A = \begin{pmatrix} \frac{∂}{∂ x}f_1(p) & \frac{∂}{∂ y} f_1(p) \\ \frac{∂}{∂ x} f_2(p) & \frac{∂}{∂ y} f_2(p) \end{pmatrix}.
  \]
\end{erinnerung}


\subsubsection{Proberechnungen}

Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
machen wir in diesem Abschnitt eine große Proberechnung.  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$.  Es gilt also
\[
  \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2.
\]
Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
  \lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2.
\end{equation}
Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
Komponenten,
\[
  p = p_1 + i·p_2
  \quad\text{und}\quad
  f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y).
\]

\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}

Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir also
zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist.  Dann ist
\begin{align*}
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
& = \frac{∂}{∂ x}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ x} f_2(p_1, p_2).
\end{align*}
Wir sehen:
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
  \frac{∂}{∂ x} f_1(p) = d_1
  \quad\text{und}\quad
  \frac{∂}{∂ x} f_2(p) = d_2.
\end{equation}

\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}

Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir also
als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen
ist.  Dann ist
\begin{align*}
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
& = -i·\left(\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)\right) \\
& = \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)-i·\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2).
\end{align*}
Wir sehen:
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
  \frac{∂}{∂ y} f_2(p) = d_1
  \quad\text{und}\quad
  \frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -d_2.
\end{equation}
Wir beenden die Proberechnungen hier.  Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.

\begin{prop}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
  differenzierbar.  Schreibe $f$ in Komponenten, $f$ in Komponenten, $f = f_1 +
  i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$.  Dann ist
  \begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
    \frac{∂}{∂ x} f_1(p) = \frac{∂}{∂ y} f_2(p)
    \quad\text{und}\quad
    \frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -\frac{∂}{∂ x} f_2(p).
  \end{equation}
\end{prop}
\begin{proof}
  Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}.
\end{proof}

\begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
  Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann
  partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
\end{notation}



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