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\chapter{Singuläre Stellen holomorpher Funktionen}

\section{Isolierte Singularitäten}

Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
∈ U$ ein Punkt.  Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$.  Was kann ich
über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?

\begin{bsp}
  In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$.
  \begin{enumerate}
  \item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion,
    die bereits auf ganz $U$ definiert ist.  Man sagt in diesem Fall, die
    \emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}.

  \item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer
    holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert.  Tatsächlich ist
    $f$ ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
    definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ⁺$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
    ∖ 0$ unbeschränkt).  Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn $z·f(z)$
    ist holomorph.  Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
    Polstelle}.

  \item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$
    echt übel.  Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
    Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu
    betrachten).  So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
  \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
  Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
  holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten]
  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$.
  \begin{enumerate}
  \item Wenn es eine Funktion $F ∈ 𝒪( (U ∖ T) ∪ \{ρ\})$, die auch $U ∖ T$ mit
    $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{hebbare
    Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.

  \item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈
    ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat,
    dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle} hat.
    Die kleinste Zahl $n$ heißt
    \emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$.

  \item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine
  Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{wesentliche
  Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{satz}[Hebbarkeitsatz von Riemann]\label{satz:9-1-hebbarkeit}%
  \index{Hebbarkeitsatz von Riemann}In der Situation von
  Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$.  Falls die Funktion $|f|$ in der Nähe
  von $ρ$ beschränkt ist, dann hat $f$ bei $ρ$ eine hebbare Singularität.
  Genauer: Falls es $ε > 0$ und $M > 0$ gibt, sodass für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ T$
  die Ungleichung $|f(z)| < M$ gilt, dann hat $f$ bei $ρ$ eine hebbare
  Singularität.
\end{satz}
\begin{proof}
  Nach Verkleinerung von $U$ können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $U$
  eine Kreisscheibe um $ρ$ ist und dass $ρ$ der einzige Punkt in $U ∩ T$ ist.
  Betrachte die Funktion
  \[
    φ : U \longrightarrow ℂ, \quad z ↦ \begin{cases}
      f(z)·(z - ρ) & \text{falls } z ≠ ρ \\
      0 & \text{falls } z = ρ.
    \end{cases}
  \]
  Per Annahme ist diese Funktion stetig, und auf $U ∖ \{ρ\}$ holomorph.  Also
  ist nach Korollar~\ref{kor:5-2-7} („Hebbarkeitssatz“) die Abbildung $φ$ auf
  ganz $U$ holomorph.  Weil $φ$ aber bei $ρ$ eine Nullstelle hat, finden durch
  Potenzreihenentwicklung eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$, sodass für jedes
  $z ∈ U$ die Gleichung $φ(z) = (z - ρ)·g(z)$ gilt.  Die Funktionen $g$ und $f$
  stimmen demnach auf $U ∖ \{ρ\}$ überein, sind nach Korollar~\ref{kor:7-2-2}
  („Identitätssatz für holomorphe Funktionen“) also gleich!
\end{proof}

\begin{bemerkung}
  Die Aussage ist in der reellen Analysis überhaupt nicht differenzierbar!
  Betrachte die Funktion $f : ℝ² ∖ \{0\} → ℝ$, $\vec{v} ↦ |\vec{v}|$.  Die
  Abbildung ist stetig und außerhalb von $0$ differenzierbar.  Aber auf ganz
  $ℝ²$ überhaupt nicht differenzierbar.
\end{bemerkung}

\begin{frage}
  Was kann ich über Beiträge von Funktionen mit Polstelle sagen?
\end{frage}

Als Antwort eine Beispielrechnung.

\begin{rem}[Beispielrechnung zu Funktionen mit Polstellen]
  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$ eine Polstelle der
  Ordnung $n > 0$ hat.  Also gibt es eine Zahl $ε > 0$ und eine holomorphe
  Funktion $g ∈ 𝒪(B_ε(ρ))$, sodass folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
    \item Die Kreisscheibe $B_ε(ρ)$ liegt in $U$.
    \item Es ist $g(ρ) ≠ 0$.
    \item Für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ \{ρ\}$ gilt die Gleichung $g(z) =
    (z - ρ)^n · f(z)$.
  \end{enumerate}
  Die Funktion $|g|$ ist stetig.  Wenn ich $ε$ verkleinere, kann ich ohne
  Beschränkung der Allgemeinheit zusätzlich annehmen, dass für jedes $z ∈
  B_ε(ρ)$ die Gleichung
  \[
    |g(z)| > \tfrac{1}{2} |g(ρ)|
  \]
  gilt.  Also ist für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ \{ρ\}$
  \[
    \frac{1}{2} |g(ρ)| < |g(z)| = |z - ρ|^n · |f(z)| < ε^n · |f(z)|.
  \]
  Die Beispielrechnung endet hier.
\end{rem}

Zusammengefasst sagt uns die Beispielrechnung folgendes: Hat $f$ bei $ρ$ einen
Pol, dann gilt für jedes $M ∈ ℝ⁺$ und alle ausreichend kleinen $ε > 0$.
\begin{enumerate}
  \item Es ist $B_ε(ρ) ⊂ U$ und $ρ$ ist die einzige Singularität von $f$ auf
    $B_ε(ρ)$.

  \item Für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ \{ρ\}$ ist $|f(z)| > M$.
\end{enumerate}
Die Funktionswerte von $f$ explodieren also betragsmäßig, wenn ich mich dem
Punkt $ρ$ annähere.  Auf jeden Fall sind die Funktionswerte von $0$ weg
beschränkt.  \textbf{Das ist bei wesentlichen Singularitäten ganz anders!}

\begin{satz}[Satz von Casorati\footnote{Felice Casorati (* 17.~Dezember 1835 in
  Pavia; † 11.~September 1890 in Casteggio) war ein italienischer
  Mathematiker.}-Weierstraß\footnote{Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (*
  31.~Oktober 1815 in Ostenfelde bei Ennigerloh, Münsterland; † 19.~Februar 1897
  in Berlin) war ein deutscher Mathematiker, der sich um die logisch fundierte
  Aufarbeitung der Analysis verdient gemacht hat.  Daneben leistete er
  bahnbrechende Beiträge in verschiedenen Gebieten der Mathematik, wie der
  Funktionentheorie, der Variationsrechnung, der Differenzialgeometrie und der
  Theorie der elliptischen Funktionen.}]\label{satz:9-1-casorati-weierstrass}%
  \index{Satz von Casorati-Weierstraß}In der Situation von
  Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$.  Falls $f$ bei $ρ$ eine wesentliche
  Singularität hat, dann ist $f(U ∖ T) ⊂ ℂ$ dicht.
\end{satz}

\begin{bemerkung}[Anwendungsidee]
  Betrachte weiter die Situation von Definition~\ref{def:9-1-1}.  Wenn $ρ ∈ T$
  eine wesentliche Singularität ist, dann gilt für jedes $ε > 0$, dass die
  Bildmenge $f\bigl(B_ε(ρ) ∖ (U ∖ T)\bigr)$ in ganz $ℂ$ dicht ist.  Die
  Funktionswerte sind also in der Nähe von $ρ$ kein bisschen von $0$ weg
  beschränkt --- ganz im Gegensatz zum Verhalten von Funktionen mit Polstellen.
\end{bemerkung}

\begin{proof}
  Wir beweisen die Kontraposition: Angenommen, $f(U ∖ T) ⊂ ℂ$ wäre nicht dicht.
  Dann gibt es einen Punkt $z_0 ∈ ℂ$ und ein $ε > 0$, sodass $B_ε(z_0)$ die
  Bildmenge $f(U ∖ T)$ nicht schneidet.  Betrachte als Nächstes die Funktion $f
  - z_0$, dann gilt für jedes $z ∈ U ∖ T$ die Ungleichung
  \[
    |f(z) - z_0| > ε.
  \]
  Jetzt betrachte
  \[
    \frac{1}{f - z_0} ∈ 𝒪\bigl(U ∖ T\bigr)
  \]
  und stelle fest: Die Beträge dieser Funktion sind nach oben durch
  $\frac{1}{ε}$ beschränkt.  Also sind nach Satz~\ref{satz:9-1-hebbarkeit}
  („Hebbarkeitsatz von Riemann“) alle Singularitäten hebbar und es gibt eine
  holomorphe Funktion $h ∈ 𝒪(U)$ die auf $U ∖ T$ mit $\frac{1}{f - z_0}$
  übereinstimmt.  Es folgt direkt, dass $f = h^{-1} + z_0$ nur Polstellen und
  deshalb keine wesentlichen Singularitäten hat.
\end{proof}


\section{Entwicklung in Laurentreihen}
\sideremark{Vorlesung 13}

In Kapitel~\ref{chap:6} haben wir gesehen, dass holomorphe Funktionen auf
Kreisscheiben Potenzreihenentwicklungen besitzen.  Wir wollen jetzt einen
ähnlichen Satz für holomorphe Funktionen auf Kreisringen beweisen.  Dazu
verwenden wir denselben Trick wie bei der Potenzreihenentwicklung.

\begin{bemerkung}[Erinnerung]
  Gegeben Kreisscheibe $B_r(0)$ und $f ∈ 𝒪(B_r(0))$, dann wähle $0 < ρ < r$.
  Nach Satz~\vref{satz:4-4-1} („Integralformel von Cauchy“) gilt für alle $w ∈
  B_{ρ}(0)$
  \[
    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_{ρ}(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
  \]
  Schreibe
  \[
    \frac{1}{z - w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ,
  \]
  und setze dies in das Integral ein.  Vertausche Integral und Summe und erhalte
  eine Potenzreihendarstellung von $f$.
\end{bemerkung}

So etwas wollen wir jetzt auch für holomorphe Funktionen auf $B_r(0)$ machen,
die bei $0$ eine Singularität haben.  Sogar noch allgemeiner: für Funktionen auf
Kreisringen.

\begin{notation}[Kreisring]
  Seien reelle Zahlen $0 < r < R$ gegeben und sei $ρ ∈ ℂ$.  Dann sei
  \[
    K_{r,R}(ρ) = \{ z ∈ ℂ \::\: r < |z - ρ| < R \}
  \]
  der offene \emph{Kreisring}\index{Kreisring} um $p$ mit Radien $r$ und $R$.
\end{notation}

\begin{situation}[Holomorphe Funktion auf Kreisring]\label{situation:9-2-2}%
  Es seien reelle Zahlen $0 < r < R$ und es sei eine holomorphe Funktion auf dem
  Kreisring $K_{r,R}(0)$ gegeben, $f ∈ 𝒪(K_{r,R}(0))$.
\end{situation}

\begin{konstruktion}[Potenzreihenentwicklung auf Kreisring]
  In Situation~\ref{situation:9-2-2} sei ein Punkt $w ∈ K_{r,R}(0)$ gegeben.
  Dann wähle reelle Zahlen $a$ und $A$ mit
  \[
    r < a < |w| < A < R.
  \]
  und betrachte den folgenden Weg $γ$ in $K_{r,R}(0)$:
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=2]

% Radii
\def\r{0.6}
\def\a{1.0}
\def\R{1.8}

% Outer and inner circles of the annulus
\draw[thick] (0,0) circle (\R);
\draw[thick] (0,0) circle (\a);

% Coordinate axes (optional, remove if not needed)
\draw[->] (-2,0)--(2,0);
\draw[->] (0,-2)--(0,2);

% Labels for radii on x-axis
\draw (\a,0) node[below] {$a$};
\draw (\R,0) node[below] {$R$};

% Point w
\coordinate (w) at (0.65,0.55);
\fill (w) circle (0.03) node[above right] {$w$};

% small epsilon circle around w
\draw[dashed] (w) circle (0.25) node[right] {$B_\varepsilon(w)$};

% Path γ (stylized as a wiggly circle between a and R)
\begin{scope}
  \draw[thick,->,domain=0:360,smooth,variable=\t]
    plot ({1.45*cos(\t) +0.12*cos(5*\t)},
          {1.45*sin(\t) +0.12*sin(5*\t)});
\end{scope}

% Label γ
\node at (1.2,-0.2) {$\gamma$};

\end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
      % Koordinatenachsen
      \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0);
      \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5);
      
      % Äußerer Kreis (Radius A)
      \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (0:45:1.8);
      \draw[thick] (1.8,0) arc (0:360:1.8);
      \draw[thick, ->] (1.8,0) arc (360:315:1.8);
      \draw[thick, ->] (-1.8,0) arc (180:225:1.8);
      \draw[thick, ->] (0,-1.8) arc (270:315:1.8);
      
      % Innerer Kreis (Radius a)
      \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (0:45:1.0);
      \draw[thick] (1.0,0) arc (0:360:1.0);
      \draw[thick, <-] (1.0,0) arc (360:315:1.0);
      \draw[thick, <-] (-1.0,0) arc (180:225:1.0);
      \draw[thick, <-] (0,-1.0) arc (270:315:1.0);
      
      % Kleiner Kreis um w (mit gestrichelter Linie)
      \draw[dashed] (0.5,0.8) circle (0.3);
      \draw[thick, ->] (0.5,0.8) + (135:0.3) arc (135:225:0.3);
      
      % Verbindungslinien (gestrichelt)
      \draw[dashed] (0.5,0.5) -- (1.0,0);
      \draw[dashed] (0.5,1.1) -- (0,1.8);
      
      % Beschriftungen
      \node at (2.0,0) [below right] {$R$};
      \node at (1.1,0) [below right] {$a$};
      \node at (1.8,0) [below left] {$A$};
      \node at (0.5,0.8) [above right] {$\gamma$};
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \begin{center}
    \textit{[Hier würde Ihre Skizze mit den Kreisen und Wegen eingefügt.]}
  \end{center}
  Als erstes werde ich kann den Funktionswert $f(w)$ als Integral über den Weg
  $γ$ ausdrücken.  Dazu wähle eine Zahl $ε > 0$, sodass die abgeschlossene
  Kreisscheibe $\overline{B_ε(w)}$ ganz in $K_{a,A}(0)$ liegt.  Dann gilt nach
  der Cauchy Integralformel die Gleichung
  \[
    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} dz.
  \]
  Jetzt beobachte, dass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg rund um $∂ B_ε(w)$ ist.
  Also sind nach Satz~\ref{satz:4-3-6} („Invarianz von Wegintegralen unter
  freier Homotopie“) die Integrale über diese Wege gleich,
  \begin{align*}
    f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_ε(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
    & = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \\
    & = \frac{1}{2π i} \left[ \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz - \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz \right].
  \end{align*}
  Jetzt wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe zweimal an.
  \begin{itemize}
    \item Für alle $z ∈ ∂ B_A(0)$ und alle $w ∈ K_{r,A}(0)$ ist
    \[
      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{f(z)}{z} · \sum \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ
    \]
    und deshalb
    \[
      \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz
      = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_A(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} \, dz \right) · wⁱ.
    \]

    \item Für alle $z ∈ ∂ B_a(0)$ und alle $w ∈ K_{a,R}(0)$ ist
    \[
      \frac{f(z)}{z - w} = \frac{-f(z)}{w - z} = \frac{-f(z)}{w} · \frac{1}{1 - z/w} = \frac{-f(z)}{w} \sum \left(\frac{z}{w}\right)ⁱ
    \]
    und deshalb
    \[
      \int_{∂ B_a(0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂ B_a} (-f(z) \, zⁱ) \, dz \right) · w^{-(i+1)}.
    \]
  \end{itemize}
  Wie zuvor gilt: Der Wert der Integrale hängen nicht von der Wahl von $a$ und
  $A$ ab und die Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig.
  Zusammenfassend können wir sagen: Es gibt Familien von komplexen Zahlen
  $(α_i)_{i ∈ ℤ}$, sodass für jedes $w ∈ K_{r,R}(0)$ die folgende Gleichung
  gilt,
  \[
    f(w) = \sum_{i=0}^∞ α_i \, wⁱ + \sum_{i=0}^∞ α_{-(i+1)} \, w^{-(i+1)}.
  \]
  Beide Reihen konvergieren auf $K_{r,R}(0)$ lokal gleichmäßig, und es gilt
  \[
    f(w) = \lim_{n → ∞} \sum_{i=-n}^n α_i \, wⁱ.
  \]
  Die Konstruktion endet hier.
\end{konstruktion}

Die Darstellung von $f$ als „Potenzreihe mit negativen Exponenten“ ist natürlich
schrecklich wichtig.  Sie wird als
\emph{Laurentreihenentwicklung}\footnote{Pierre Alphonse Laurent (* 18.~Juli 1813
in Paris; † 2.~September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker.}
bezeichnet.

\begin{definition}[Laurentreihen]
  Eine \emph{Laurentreihe}\index{Laurentreihe} mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist ein
  Ausdruck der Form
  \[
    \sum_{i ∈ ℤ} c_i \, (z - ρ)ⁱ.
  \]
  Dabei sind die $c_i$ und $ρ$ komplexe Zahlen.  Gegeben eine natürliche Zahl
  $n$, so bezeichnet man den Ausdruck
  \[
    \sum_{i=-n}^n c_i \, (z - ρ)ⁱ
  \]
  als die \emph{$n$.te Partialsumme}\index{Partialsumme!einer Laurentreihe} der
  Laurentreihe.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert für ein $z_0 ∈ ℂ$ gegen
  $g ∈ ℂ$, wenn die Folge $\sum_{i=-n}^n c_i \, (z_0 - p)ⁱ$ gegen $g$
  konvergiert.  Man sagt, die Laurentreihe konvergiert auf einer Menge $M ⊆ ℂ$
  lokal gleichmäßig, wenn die Folge der Partialsummen auf $M$ lokal gleichmäßig
  konvergiert.
\end{definition}

% !TEX root = Funktionentheorie